일과 에너지, 중력과 용수철에 저장하기

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이 레슨에서 해볼 일

힘과 이동 방향으로 일의 부호를 판단하고 알짜일을 운동 에너지 변화와 연결합니다.
같은 단위로 운동·중력 위치·탄성 위치 에너지를 계산하며 기준 높이와 변형 길이를 확인합니다.
계와 마찰 조건을 점검해 두 저장 에너지의 합을 운동 에너지로 연결하고, 속력의 제곱 관계를 해석합니다.

예상하고 관찰해 보기

먼저 볼 개념과 교과 연결

현재 교과의 개념을 연결합니다.

기준 높이와 위치·운동 에너지 대입과 식의 값 제곱근이란?

2022 개정 · 고등학교 물리학: 12물리01-042022 물리학 12물리01-04의 알짜일–운동 에너지 관계와 지표 근처 중력·이상적인 용수철의 탄성 위치 에너지를 다룹니다. 중력가속도는 이 레슨에서 g=10 m/s²로 둡니다. 기준 높이와 자연 길이를 명시하고, 역학적 에너지 보존에는 마찰·공기저항 및 외부 에너지 출입이 없는 계를 가정합니다. 변하는 힘의 일은 단순 도형 넓이까지만 다룹니다.

교육과정 원문 대조 기준이며 교과서 진도와 교사 최종 검토는 확인 중입니다.

기본 목표 문제0/4 확인

대표 목표를 확인하는 문제입니다. 선택 심화는 별도로 도전할 수 있어요.

전체 진도0%

01. 한 힘의 일과 알짜일을 구별합니다
0/2 · 0%
02. 두 가지 위치 에너지에 저장합니다
0/2 · 0%
03. 저장량의 합을 운동으로 연결합니다
0/2 · 0%
04. 새 자료에서 조건과 계산을 검산합니다
0/3 · 0%
기초
0/5 · 0%
교과 연결
0/6 · 0%
선택 심화
0/2 · 0%

개념 카드는 읽은 만큼, 문제는 맞힌 만큼 올라갑니다. 이 기기에만 저장됩니다.

01한 힘의 일과 알짜일을 구별합니다

힘이 어느 방향으로, 얼마나 이동하는 동안 작용했는지 봅니다.

같은 방향·반대 방향·수직 방향의 일

일은 힘이 이동을 따라 에너지를 전달한 양입니다. 일정한 힘과 직선 이동이 나란할 때 일의 크기는 힘×입니다. 같은 방향이면 양수, 반대면 음수입니다. 이동에 수직인 힘의 일은 0입니다.

힘과 이동의 관계	한 힘이 한 일	예
같은 방향	W=+Fs	수평으로 미는 힘과 수평 이동
반대 방향	W=−Fs	오른쪽 미끄럼과 왼쪽
수직	W=0	수평 이동과 수직으로 떠받치는 힘
이동 없음	W=0	정지한 물체를 들고 있기

F의 단위 N과 의 단위 m를 곱하면 N·m=J(줄)입니다. 힘을 주며 피곤함을 느끼는 것과 그 힘이 물체에 한 과학적 일은 구별합니다.

알짜일은 운동 에너지의 변화

W_{\mathrm{net}}=\sum W=\Delta K=\frac12 mv^2-\frac12 mu^2

물체에 작용한 모든 힘의 일을 더한 알짜일이 의 변화와 같습니다. 알짜일이 양수이면 이 커지고 음수이면 작아집니다. 특정 한 힘의 일만 알면서 곧바로 운동 에너지 증가라고 말하면 다른 힘의 일을 놓칠 수 있습니다.

힘이 변하면 그래프 아래의 부호 있는 넓이가 일입니다. 이 예는

4\times 10\div 2=20 J

이며 가 그만큼 증가합니다.

02두 가지 위치 에너지에 저장합니다

모든 에너지의 단위는 J이지만 기준과 변수를 각각 확인합니다.

중력 위치 에너지와 기준 높이

지표 근처에서 물체와 지구의 상대적 높이에 따른 는 $U_g=mgh$ 입니다. 이 레슨은 $g=10\,\mathrm{m}/s^{2}$ 를 씁니다. h는 선택한 에서 잽니다. 기준을 바꾸면 위치 에너지 값은 바뀌어도 같은 두 상태 사이의 변화량은 같습니다.

U_g=mgh,\qquad W_g=-\Delta U_g=mg(h_i-h_f)

1 kg 물체의 위치	바닥을 기준	바닥 위 1 m를 기준
바닥 위 3 m	30 J	20 J
바닥 위 1 m	10 J	0 J
3 m에서 1 m로 이동할 때 변화	−20 J	−20 J

내려오면 은 양의 일을 하고 중력 는 줄어듭니다. 위치 에너지를 계의 저장량으로 세었다면 중력이 한 일을 또 더해 같은 에너지 전달을 두 번 세지 않습니다.

용수철의 자연 길이와 탄성 위치 에너지

이상적인 용수철은 자연 길이에서의 변형량 x에 따라 를 저장합니다. k는 용수철 상수 $(\dfrac{N}{m}), x$ 는 자연 길이에서 늘어나거나 압축된 길이(m)입니다. 전체 용수철 길이를 x에 넣지 않습니다.

U_s=\frac12 kx^2

같은 용수철의 변형량	저장 에너지의 비
x	1
2x	4
3x	9

변형을 늘리는 데 필요한 힘이 0부터 kx까지 증가하므로 힘·변형량 그래프의 삼각형 넓이는 $(kx)\times x\div 2$ 입니다. 늘림과 압축 모두 제곱 때문에 양의 에너지가 저장되며, 자연 길이에서는 이 저장량을 0으로 둡니다.

03저장량의 합을 운동으로 연결합니다

에너지의 합을 세기 전에 계와 처음·나중 상태를 적습니다.

중력·탄성·운동 에너지의 보존 조건

물체·지구·용수철을 계에 포함하면 과 에 의한 에너지를 저장량으로 셀 수 있습니다. 마찰·공기저항이 없고 계 밖에서 에너지가 들어오거나 나가지 않으며 고정 지지대도 일을 하지 않는 모형에서는 의 합 $K+U_g+U_s$ 가 일정합니다.

\frac12 mv^2+mgh+\frac12 kx^2=\text{일정}

처음 정지한 물체가 h=0, 용수철 자연 길이 x=0인 상태에 도달하면 처음의 두 저장 에너지가 모두 가 됩니다. 그 상태에 실제 도달하는 장치를 가정합니다. 중간 상태에 높이나 변형이 남아 있으면 그 저장량을 빼고 운동 에너지를 구해야 합니다.

E_{\mathrm{initial}}=mgh_i+\frac12 kx_i^2,\qquad v_f=\sqrt{\frac{2E_{\mathrm{initial}}}{m}}

높이·질량·용수철을 바꾸며 먼저 예상하기

중력과 용수철의 저장 에너지

물체는 처음 정지, g=10 m/s², 마찰·공기저항·장치 질량을 무시합니다. 처음의 중력·탄성 저장이 기준 높이/원래 용수철 길이인 지점에서 모두 운동으로 바뀌는 모형입니다.

초기 저장 → 기준 지점 운동 · 가로축 0~100 J 고정

E = mgh + kx²/2 = mv²/2 · g = 10 m/s²

물체 질량 (kg)

처음 높이 (m)

용수철 상수 (N/m)

처음 압축 길이 (m)

먼저 예상해 보기

마찰 없이 기준 높이·원래 용수철 길이에 도달하면, 처음 저장한 에너지는 어디에 있나요?

관찰에서 근거로 연결하기

어느 물체와 계를 보는지, 어떤 방향과 기준을 썼는지 말해 보세요.
한 조건씩 바꾸고 처음 예상과 관찰이 어떻게 다른지 비교하세요.
활동과 다른 자료의 문제에서 필요한 개념과 가정을 직접 골라 보세요.

04새 자료에서 조건과 계산을 검산합니다

저장 에너지가 모두 사라진 상태인지, 일부가 남았는지 구별합니다.

안내 연결: 두 저장량을 빠뜨리지 않기

안내 연결

마찰 없는 장치에서 1 kg 물체가 0.8 m에 정지해 있고, $k=100 \dfrac{N}{m}$ 용수철이 0.2 m 압축되어 있습니다. 물체·지구·용수철을 계로 잡고 외부 에너지 출입은 없습니다. 물체가 h=0, x=0에 도달하는 순간을 비교합니다. $g=10\,\mathrm{m}/s^{2}$ 입니다.

1
처음 는 0입니다. 저장량은 $1\times 10\times 0.8=8 J$ , 탄성 저장량은 $(\dfrac{1}{2})\times 100\times 0.2^{2}=2 J$ 입니다.
2
보존되는 합은 10 J입니다. 나중에는 두 저장량이 0이므로 운동 에너지가 10 J입니다.
3
$(\dfrac{1}{2})\times 1\times v^{2}=10$ 에서 $v^{2}=20$ 입니다. 은 음수가 아니므로 $v=\sqrt{20} m/s$ 를 택합니다.

활동 뒤 첫 교과 연결 문제는 ·높이·용수철 자료가 다릅니다. 먼저 두 저장량을 합하고, 에서 으로 돌아갈 때 제곱근을 취하세요.

마찰이 있으면 역학적 합을 고정하지 않습니다

물체의 알짜일– 관계는 마찰이 있어도 성립합니다. ·를 저장량으로 센 모형에서는 마찰 같은 비보존력이 한 일이 합의 변화와 연결됩니다. 마찰만 남은 비보존 작용이면 $W_f=\Delta(K+U_g+U_s)$ 입니다.

합이 줄었다고 전체 에너지가 소멸한 것은 아닙니다. 물체와 주변의 등으로 바뀐 부분은 뒤의 열 전환 학습과 연결합니다. 여기서는 보존 조건이 충족되는지와 일의 부호를 확인합니다.

제곱 관계와 속력의 양의 제곱근

고정한 조건	변화	결과
같은	2배	4배
같은 용수철 상수	변형량 2배	4배
같은 운동 에너지	질량 4배	속력 $\dfrac{1}{2}$ 배

에서 구하는 것은 입니다. $v^{2}$ 의 양의 제곱근을 택하되, 진행 방향이 필요하면 별도 운동 조건으로 판단해야 합니다. ·운동 에너지 사이의 숫자 관계만으로 방향까지 정해지지는 않습니다.

05레벨별로 풀어보기

개념을 확인했다면 아래 문제로 점검해 보세요. 답을 입력하고 채점하기를 누르면 결과가 나타납니다.

채점표

기초

0/5

교과 연결

0/6

선택 심화

0/2

기초개념의 뜻과 조건을 확인합니다.

문제 1

물체를 오른쪽으로 3 m 이동시키는 동안 오른쪽 5 N의 힘이 일정하게 작용했다. 이 힘이 한 일은 몇 J인가?

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

높이가 변하지 않는 수평 바닥에서 물체가 오른쪽으로 4 m 이동한다. 물체를 수직 위로 떠받치는 20 N의 힘이 한 일은 몇 J인가?

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

오른쪽으로 2 m 미끄러지는 상자에 왼쪽 6 N이 일정하게 작용했다. 마찰력이 한 부호 있는 일은 몇 J인가?

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

2 kg 물체의 이 3 m/s이다. 는 몇 J인가?

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

용수철 상수가

200 \dfrac{N}{m}

인 이상적인 용수철을 자연 길이에서 0.10 m 압축했다. 는 몇 J인가?

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

교과 연결서로 다른 근거를 연결해 새 자료를 해석합니다.

문제 1

활동과 다른 마찰 없는 장치다. 처음 정지한 4 kg 물체의 는 0.50 m이고,

k=200 \dfrac{N}{m}

용수철의 압축량은 0.20 m이다. 물체·지구·용수철 계에 외부 에너지 출입은 없다. 물체가 h=0, 용수철 자연 길이 x=0에 도달할 때 은 몇 m/s인가?

g=10\,\mathrm{m}/s^{2}

이며 정확한 근호 값으로 답하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

2 kg 물체의 이 3 m/s에서 5 m/s로 변했다. 이 동안 모든 힘이 물체에 한 알짜일은 몇 J인가?

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

2 kg 물체가 같은 기준에서 높이 1.5 m에서 0.5 m로 내려왔다.

g=10\,\mathrm{m}/s^{2}

일 때 이 물체에 한 일은 몇 J인가?

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

같은 이상적인 용수철의 자연 길이에서 변형량을 0.10 m에서 0.30 m로 늘렸다. 나중 는 처음의 몇 배인가?

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

직선 이동 중 · 그래프가 (0 m, 0 N)에서 (2 m, +12 N)까지 직선으로 증가했다. 힘은 이동과 같은 방향이다. 이 동안 물체의 는 몇 J 증가했는가?

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 6

·를 같은 기준으로 계산한 물체의 합이 처음 36 J에서 나중 25 J가 되었다. 이 모형에서 역학적 합을 바꾼 비보존 작용은 마찰뿐이다. 이 한 부호 있는 일은 몇 J인가?

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

선택 심화기본 목표와 별도로 가정을 점검하고 깊이 설명합니다.

문제 1

마찰·외부 에너지 출입이 없는 물체·지구·용수철 계다. 2 kg 물체를 2 m에서 정지로 놓고, 처음

k=100 \dfrac{N}{m}

용수철의 압축량은 0.20 m이다. 나중 물체 높이는 1 m, 용수철 변형량은 0.10 m였다.

g=10\,\mathrm{m}/s^{2}

일 때 나중 는 몇 J인가?

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

같은 용수철을 같은 길이만큼 압축해 정지한 물체를 수평으로 발사한다. 마찰·외부 에너지 출입과 용수철 을 무시하고, 자연 길이에 도달할 때 저장 에너지가 모두 물체의 로 바뀐다. 물체 질량을 1 kg에서 4 kg으로 바꾸면 나중 은 처음 경우의 몇 배인가? 분수로 답하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)