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중3 수학 · 실수와 그 계산

제곱근과 실수, 근호(√)를 다루는 법

제곱해서 2가 되는 수는 분수로 나타낼 수 없습니다. 이런 수를 √ 기호로 표현하는 법부터, 무리수까지 포함한 실수의 세계와 근호가 든 수의 사칙계산까지 순서대로 익힙니다.

↩ 이전 자료: 유리수와 순환소수, 분수를 소수로 바꾸면

01제곱근의 뜻과 성질

제곱해서 a가 되는 수를 a의 제곱근이라 부르고, 기호 √로 나타냅니다.

제곱근이란?

어떤 수 x를 제곱해서 a가 될 때, 즉 x2=ax^{2} = a일 때 x를 a의 제곱근이라 합니다. 예를 들어 32=9,(−3)2=93^{2} = 9, (-3)^{2} = 9이므로 9의 제곱근은 3과 −3, 두 개입니다.

양수 a의 제곱근은 항상 양수와 음수 두 개이고, 절댓값이 같습니다. 이 중 양의 제곱근을 기호 √(근호, 루트)를 써서 a\sqrt{a}, 음의 제곱근을 −a-\sqrt{a}로 나타내며, 둘을 합쳐 ±a\pm \sqrt{a}로 씁니다.

aa의 제곱근:±a(a>0): \pm \sqrt{a} (a > 0)
수제곱근양의 제곱근 √
9±3\pm 33
2±2\pm \sqrt{2}2\sqrt{2}
00 (하나뿐)0
−4없음 (제곱해서 음수가 되는 수는 없다)—
Check

'4의 제곱근'은 ±2(\pm 2 (두 개), '제곱근 4'는 4=2(\sqrt{4} = 2 (양의 제곱근 하나)입니다. 말이 비슷하지만 뜻이 다르니 구별하세요.

제곱근의 성질 — a2=∣a∣\sqrt{a^{2}} = |a|

a\sqrt{a}는 '제곱하면 a가 되는 양수'이므로 (a)2=a,(−a)2=a(\sqrt{a})^{2} = a, (-\sqrt{a})^{2} = a 입니다. 반대로 어떤 수의 제곱에 근호를 씌우면 항상 0 이상인 값이 나옵니다.(−5)2=25. (-5)^{2} = 25이고 25=5\sqrt{25} = 5이므로 (−5)2=5\sqrt{(-5)^{2}} = 5, 즉 −5의 절댓값입니다.

(a)2=a,(−a)2=a(a≥0)(\sqrt{a})^{2} = a, (-\sqrt{a})^{2} = a (a \ge 0)
a2=∣a∣→a≥0\sqrt{a^{2}} = |a| \to a \ge 0이면 a,a<0a, a < 0이면 −a-a
예제

(−7)2\sqrt{(-7)^{2}} 과 −72-\sqrt{7^{2}} 을 각각 구하시오.

  1. 1
    (−7)2=49(-7)^{2} = 49 이므로 (−7)2=49=7\sqrt{(-7)^{2}} = \sqrt{49} = 7
  2. 2
    72=497^{2} = 49 이므로 72=7\sqrt{7^{2}} = 7, 따라서 −72=−7-\sqrt{7^{2}} = -7
  3. 3
    근호 밖의 부호는 그대로 남고, 근호 안의 부호는 사라진다

제곱근의 대소관계

양수 a, b에 대해 a < b이면 a<b\sqrt{a} < \sqrt{b}입니다. 제곱해서 큰 수가 될수록 원래 수도 크기 때문입니다. 근호가 없는 수와 비교할 때는 그 수를 근호 안에 넣어 비교합니다. 예:3=9: 3 = \sqrt{9} 이므로 10>3\sqrt{10} > 3.

  1. 1
    근호 밖의 수를 근호 안으로 넣는다:n=n2(n>0): n = \sqrt{n^{2}} (n > 0)
  2. 2
    근호 안의 수끼리 크기를 비교한다
  3. 3
    음수끼리는 절댓값이 클수록 작다:−5<−3: -\sqrt{5} < -\sqrt{3}
Check

2와 3:2=4\sqrt{3}: 2 = \sqrt{4} 이고 4 > 3 이므로 2>32 > \sqrt{3}. 또 −2와 −3-\sqrt{3}은 부호가 반대이므로 −2<−3-2 < -\sqrt{3}.