제곱근과 실수, 근호(√)를 다루는 법

제곱근이란?

어떤 수 x를 제곱해서 a가 될 때, 즉 $x^{2} = a$일 때 x를 a의 제곱근이라 합니다. 예를 들어 $3^{2} = 9, (-3)^{2} = 9$이므로 9의 제곱근은 3과 −3, 두 개입니다.

양수 a의 제곱근은 항상 양수와 음수 두 개이고, 절댓값이 같습니다. 이 중 양의 제곱근을 기호 √(근호, 루트)를 써서 $\sqrt{a}$, 음의 제곱근을 $-\sqrt{a}$로 나타내며, 둘을 합쳐 $\pm \sqrt{a}$로 씁니다.

제곱근의 성질 — $\sqrt{a^{2}} = |a|$

$\sqrt{a}$는 '제곱하면 a가 되는 양수'이므로 $(\sqrt{a})^{2} = a, (-\sqrt{a})^{2} = a$ 입니다. 반대로 어떤 수의 제곱에 근호를 씌우면 항상 0 이상인 값이 나옵니다. $(-5)^{2} = 25$이고 $\sqrt{25} = 5$이므로 $\sqrt{(-5)^{2}} = 5$, 즉 −5의 절댓값입니다.

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   $(-7)^{2} = 49$ 이므로 $\sqrt{(-7)^{2}} = \sqrt{49} = 7$
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   $7^{2} = 49$ 이므로 $\sqrt{7^{2}} = 7$, 따라서 $-\sqrt{7^{2}} = -7$
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   근호 밖의 부호는 그대로 남고, 근호 안의 부호는 사라진다

제곱근의 대소관계

양수 a, b에 대해 a < b이면 $\sqrt{a} < \sqrt{b}$입니다. 제곱해서 큰 수가 될수록 원래 수도 크기 때문입니다. 근호가 없는 수와 비교할 때는 그 수를 근호 안에 넣어 비교합니다. 예: $3 = \sqrt{9}$ 이므로 $\sqrt{10} > 3$.

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   근호 밖의 수를 근호 안으로 넣는다: $n = \sqrt{n^{2}} (n > 0)$
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   근호 안의 수끼리 크기를 비교한다
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   음수끼리는 절댓값이 클수록 작다: $-\sqrt{5} < -\sqrt{3}$

무리수와 실수체계

$\sqrt{2} = 1.41421356\cdots$ 은 순환하지 않는 무한소수라 분수로 나타낼 수 없습니다. 이렇게 유리수가 아닌 수, 즉 순환하지 않는 무한소수를 무리수라 하고, 유리수와 무리수를 합쳐 실수라 합니다.

근호가 붙었다고 모두 무리수는 아닙니다. $\sqrt{4} = 2, \sqrt{\dfrac{1}{9}} = \dfrac{1}{3}$ 처럼 근호 안이 제곱수(또는 제곱수의 비)면 유리수입니다. $\pi = 3.14159\cdots$ 도 무리수입니다.

무리수를 수직선 위에 나타내기

한 변이 1인 정사각형의 대각선 길이는 피타고라스 정리로 $\sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ 입니다. 이 길이를 컴퍼스로 옮기면 수직선 위에 $\sqrt{2}$에 대응하는 점을 정확히 찍을 수 있습니다. 이렇게 모든 실수는 수직선 위의 점에 하나씩 대응하고, 수직선은 실수로 빈틈없이 채워집니다.

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   0과 1 사이를 한 변으로 하는 정사각형을 그린다
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   원점을 중심으로, 대각선 길이 $\sqrt{2}$를 반지름으로 하는 원을 그린다
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   원이 수직선의 양의 쪽과 만나는 점이 $\sqrt{2}$, 음의 쪽과 만나는 점이 $-\sqrt{2}$
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   기준점을 옮기면 $1 + \sqrt{2}, 3 - \sqrt{2}$ 같은 수도 나타낼 수 있다

실수의 대소관계

실수도 유리수처럼 수직선에서 오른쪽에 있을수록 큽니다. 두 실수 a, b의 크기를 비교할 때는 차 a − b의 부호를 봅니다. a − b > 0이면 a > b, a − b < 0이면 a < b 입니다.

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   $(\sqrt{5} + 1) - 3 = \sqrt{5} - 2$
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   $2 = \sqrt{4}$ 이고 $\sqrt{5} > \sqrt{4}$ 이므로 $\sqrt{5} - 2 > 0$
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   따라서 $\sqrt{5} + 1 > 3$

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a}b$, 근호 안의 수 꺼내기

$\sqrt{2} \times \sqrt{3}$ 을 제곱하면 $(\sqrt{2})^{2} \times (\sqrt{3})^{2} = 2 \times 3 = 6$ 이므로 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ 입니다. 즉 근호끼리의 곱은 근호 안의 수를 곱한 것과 같습니다. 나눗셈도 마찬가지입니다.

이 성질을 거꾸로 쓰면 근호 안의 제곱인 인수를 밖으로 꺼낼 수 있습니다. $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. 근호 안은 제곱인 인수가 없을 때까지 작게 만드는 것이 기본입니다.

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   $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
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   $\sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

분모의 유리화

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 처럼 분모에 근호가 있으면 값을 가늠하기도, 계산하기도 불편합니다. 분모와 분자에 같은 근호를 곱해 분모를 유리수로 바꾸는 것을 분모의 유리화라 합니다. $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ 이므로 분모의 근호가 사라집니다.

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   분모, 분자에 $\sqrt{3}$을 곱한다 $\to 6\sqrt{3} / (\sqrt{3} \times \sqrt{3})$
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   $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \to 6\sqrt{3} / 3$
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   약분 $\to 2\sqrt{3}$

동류항처럼 더하고 빼기

$2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$ 은 $\sqrt{3}$이 2개와 5개 있는 것이므로 $7\sqrt{3}$ 입니다. 근호 안의 수가 같은 항은 문자의 동류항처럼 계수끼리 더하고 뺍니다. $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 처럼 근호 안이 다르면 더 이상 간단히 할 수 없고, $\sqrt{2} + \sqrt{3} \ne \sqrt{5}$ 임에 주의하세요.

근호 안이 달라 보여도 먼저 간단히 하면 같아지는 경우가 많습니다. $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

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   $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}, \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$
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   $4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \sqrt{3}$
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   $= (4 - 3 + 1)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

제곱근의 근삿값과 제곱근표

$\sqrt{2} = 1.414\cdots , \sqrt{3} = 1.732\cdots , \sqrt{5} = 2.236\cdots$ 처럼 무리수는 소수로 끝없이 이어지므로 근삿값을 씁니다. 제곱근표는 1.00부터 99.9까지 제곱근의 값을 소수 넷째 자리에서 반올림해 정리한 표입니다. 표에 없는 큰 수나 작은 수는 $\sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ 처럼 근호 안을 변형해서 구합니다.

무리수의 정수부분과 소수부분

$\sqrt{7}$은 $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, 즉 $2 < \sqrt{7} < 3$ 이므로 정수부분이 2입니다. 무리수 = 정수부분 + 소수부분이므로 소수부분 = 무리수 − 정수부분 $= \sqrt{7} - 2$ 로 나타냅니다. 소수부분을 0.6457…로 쓰지 않고 $\sqrt{7} - 2$ 로 정확히 쓰는 것이 핵심입니다.

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   근호 안의 수를 양쪽 제곱수 사이에 끼운다: $n^{2} < a < (n + 1)^{2}$
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   정수부분 = n
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   소수부분 $= \sqrt{a} - n$

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   $9 < 11 < 16 \to 3 < \sqrt{11} < 4$
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   정수부분 3
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   소수부분 $\sqrt{11} - 3$