유리수와 순환소수, 분수를 소수로 바꾸면

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이 레슨에서 해볼 일

기약분수의 분모로 유한소수 가능 여부를 설명한다.
반복되는 소수 부분을 소거하여 간단한 순환소수를 분수로 나타낸다.

먼저 볼 개념과 교과 연결

현재 교과의 개념을 연결합니다.

유리수와 유리수의 분류 소인수분해 (素因數分解)

2022 개정 · 중학교 수학: 9수01-06순환소수의 분수 변환은 유리수임을 이해할 정도로 다룹니다. 자릿수 탐색·복합 연산은 선택 연습이며 유한소수를 순환소수로 바꾸지 않습니다.
2015 개정 · 중학교 수학: 9수01-062015 원문의 대응 주제입니다. 2022와 코드·배치·적용 한계를 동일하게 보지 않습니다.

교육과정 원문 대조 기준이며 교과서 진도와 교사 최종 검토는 확인 중입니다.

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기본 목표 문제0/2 확인

대표 목표를 확인하는 문제입니다. 선택 심화는 별도로 도전할 수 있어요.

전체 진도0%

01. 유한소수와 무한소수
0/2 · 0%
02. 순환소수와 순환마디
0/2 · 0%
03. 순환소수를 분수로 나타내기
0/3 · 0%
04. 순환소수의 대소 비교와 사칙연산
0/2 · 0%
기초
0/5 · 0%
응용
0/5 · 0%
심화
0/3 · 0%

개념 카드는 읽은 만큼, 문제는 맞힌 만큼 올라갑니다. 이 기기에만 저장됩니다.

01유한소수와 무한소수

분수를 소수로 나타내면 두 종류로 나뉩니다.

소수의 두 종류

는 를 로 나누면 로 나타낼 수 있습니다. $\dfrac{1}{4} = 0.25$ 처럼 소수점 아래 숫자가 유한개인 소수를 , $\dfrac{1}{3} = 0.333\cdots$ 처럼 소수점 아래 숫자가 끝없이 이어지는 소수를 라고 합니다.

		종류
$\dfrac{1}{4}$	0.25
$\dfrac{3}{8}$	0.375	유한소수
$\dfrac{1}{3}$	0.333…
$\dfrac{5}{6}$	0.8333…	무한소수

유한소수로 나타낼 수 있는 분수

는 $0.25 = \dfrac{25}{100}$ 처럼 가 10, 100, 1000, … 인 로 쓸 수 있습니다. $10 = 2 \times 5$ 이므로 분모의 가 2 또는 5뿐이면 분모·에 알맞은 수를 곱해 분모를 10의 으로 만들 수 있고, 따라서 유한소수가 됩니다. 반대로 분모에 2, 5 이외의 소인수(3, 7, …)가 남아 있으면 분모를 10의 거듭제곱으로 만들 수 없어 가 됩니다.

기약분수의 분모의 소인수가

2, 5

뿐이다 ⇔ 유한소수로 나타낼 수 있다

1
를 반드시 로 만듭니다. (하면 가 사라질 수 있습니다.)
2
를 합니다.
3
소인수가 2, 5뿐이면 , 다른 소인수가 있으면 입니다.

예제

$\dfrac{3}{20}$ 과 $\dfrac{7}{12}$ 는 각각 로 나타낼 수 있을까요? $\dfrac{3}{20}: 20 = 2^{2} \times 5 \to$ 가 2, 5뿐이므로 유한소수. 실제로 ·에 5를 곱하면 $\dfrac{15}{100} = 0.15$ 입니다. $\dfrac{7}{12}: 12 = 2^{2} \times 3 \to$ 소인수 3이 있으므로 (0.5833…)입니다.

Check

$\dfrac{6}{15}$ 는 $15 = 3 \times 5$ 에 3이 있어 처럼 보이지만, 로 고치면 $\dfrac{2}{5} = 0.4$ 로 입니다. 판별 전에 반드시 부터 하세요.

02순환소수와 순환마디

무한소수 중에는 일정한 숫자가 반복되는 것이 있습니다.

순환소수의 표기

0.333…, 0.272727…처럼 소수점 아래 어떤 자리부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 를 라 하고, 되풀이되는 가장 짧은 한 부분을 라고 합니다. 순환소수는 순환마디의 양 끝 숫자 위에 점을 찍어 나타냅니다. 순환마디가 한 자리이면 점을 하나만 찍습니다.

		표기
0.333…	3	$0.\dot{3}$
0.272727…	27	$0.\dot{2}\dot{7}$
0.1666…	6	$0.1\dot{6}$
2.345345…	345	$2.\dot{3}4\dot{5}$

Check

0.1666…에서 1은 한 번만 나오고 6만 반복되므로 는 6이고, 표기는 $0.1\dot{6}$ 입니다. 0.272727…의 순환마디를 '2727'이라고 쓰면 안 됩니다 — 가장 짧은 배열 27이 순환마디입니다.

소수점 아래 n번째 자리 숫자 찾기

는 가 계속 반복되므로, 아주 뒤쪽 자리의 숫자도 순환마디의 길이로 나눈 나머지만 보면 알 수 있습니다.

1
와 그 길이를 확인합니다. (순환하지 않는 앞부분이 있으면 그 자리 수는 먼저 뺍니다.)
2
구하려는 자리의 번호를 순환마디의 길이로 나눕니다.
3
나머지가 r이면 순환마디의 r번째 숫자, 나머지가 0이면 순환마디의 마지막 숫자입니다.

예제

$0.\dot{2}\dot{7}$ 의 소수점 아래 15번째 자리의 숫자는? 27의 길이는 $2. 15 \div 2 = 7$ 나머지 1이므로 순환마디의 첫 번째 숫자인 2입니다. ( 번째는 7, 번째는 2)

03순환소수를 분수로 나타내기

10배, 100배 해서 빼면 반복되는 부분이 사라집니다.

원리: 반복되는 부분 없애기

를 x라 놓고 의 길이만큼 10의 을 곱하면 소수점 아래 부분이 원래 x와 똑같아집니다. 이 두 식을 빼면 반복되는 부분이 사라지고 만 남으므로 x를 로 구할 수 있습니다.

예제

$0.\dot{7}$ 을 로 나타내 봅시다.

1
x = 0.777… 로 놓습니다.
2
가 한 자리이므로 10을 곱합니다 → 10x = 7.777…
3
두 식을 뺍니다 → 10x − x = 7.777… − 0.777… → 9x = 7
4
$x = \dfrac{7}{9}$

예제

$0.\dot{2}\dot{7}$ 을 로 나타내 봅시다. 가 두 자리이므로 100을 곱합니다. $100x = 27.2727\cdots , x = 0.2727\cdots \to 99x = 27 \to x = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$ .

순환하지 않는 부분이 있을 때

$0.1\dot{3}$ = 0.1333…처럼 순환하지 않는 숫자가 앞에 있으면, 곱하는 수를 두 가지로 잡아 소수점 아래가 똑같은 두 식을 만들어 뺍니다.

1
x = 0.1333… 로 놓습니다.
2
소수점 아래에 만 남도록 100을 곱합니다 → 100x = 13.333…
3
순환하지 않는 부분만 넘기도록 10을 곱합니다 → 10x = 1.333…
4
두 식을 뺍니다 $\to 90x = 12 \to x = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}$

	( 전)	규칙
$0.\dot{a}$	$\dfrac{a}{9}$	한 자리 → 9
$0.\dot{a}\dot{b}$	ab/99	순환마디 두 자리 → 분모 99
$0.a\dot{b}$	$\dfrac{ab - a}{90}$	전체에서 순환하지 않는 부분을 뺀 수 / 90

Check

$0.1\dot{3}$ $= \dfrac{13 - 1}{90} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}$ . 규칙으로 구한 값이 앞의 계산과 같습니다. 로 나타낸 뒤에는 항상 로 하세요.

순환소수와 유리수

는 ()/(0이 아닌 정수) 꼴로 나타낼 수 있는 수입니다. 도 분수로 쓸 수 있고, 도 방금처럼 분수로 바꿀 수 있으므로 유한소수와 순환소수는 모두 유리수입니다. 거꾸로 분수를 로 나타내면 나눗셈의 나머지가 유한 개뿐이라 언젠가 반복되므로, 유리수는 반드시 유한소수 아니면 순환소수가 됩니다.

	인가?	예
	유리수이다	$0.25 = \dfrac{1}{4}$
	유리수이다	$0.\dot{3}$ $= \dfrac{1}{3}$
순환하지 않는	유리수가 아니다	3.14159…

Check

순환하지 않는 ( 등)는 로 나타낼 수 없어 가 아닙니다. 이런 수는 중3에서 라는 이름으로 배웁니다.

05레벨별로 풀어보기

개념을 확인했다면 아래 문제로 점검해 보세요. 답을 입력하고 채점하기를 누르면 결과가 나타납니다.

채점표

기초

0/5

응용

0/5

심화

0/3

기초소수로 나타내기, 유한소수 판별, 순환마디 읽기

문제 1

\dfrac{3}{8}

을 로 나타내시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

다음 중 로 나타낼 수 있는 를 번호로 답하시오. ①

\dfrac{5}{6}

②

\dfrac{7}{20}

③

\dfrac{4}{15}

④

\dfrac{1}{14}

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

0.272727…의 를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

\dfrac{2}{3}

을 로 나타냈을 때의 를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

0.\dot{4}

(= 0.444…)을 로 나타내시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

응용조건 찾기, n번째 자리 숫자, 분수로 바꾸기

문제 1

\dfrac{a}{28}

이 로 나타내어지도록 하는 가장 작은 a를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

\dfrac{3}{7}

을 로 나타냈을 때, 소수점 아래 20번째 자리의 숫자를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

0.\dot{3}\dot{6}

(= 0.363636…)을 로 나타내시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

1.\dot{2}

(= 1.222…)를 로 나타내시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

0.1\dot{6}

(= 0.1666…)을 로 나타내시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

심화순환소수의 연산, 조건을 만족하는 개수 세기

문제 1

0.\dot{3}

×

0.\dot{6}

을 계산하여 로 나타내시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

\dfrac{x}{60}

이 로 나타내어지도록 하는 20 이하의 x의 개수를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

1.\dot{2}\dot{3}

(= 1.232323…)을 로 나타내시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

이 레슨에서 해볼 일

01유한소수와 무한소수

소수의 두 종류

유한소수로 나타낼 수 있는 분수

02순환소수와 순환마디

순환소수의 표기

소수점 아래 n번째 자리 숫자 찾기

03순환소수를 분수로 나타내기

원리: 반복되는 부분 없애기

순환하지 않는 부분이 있을 때

순환소수와 유리수

04순환소수의 대소 비교와 사칙연산

대소 비교

사칙연산

05레벨별로 풀어보기