정수와 유리수, 음수까지 넓어진 수의 세계

양수와 음수, 정수

영상 5℃와 영하 5℃, 이익 3만 원과 손해 3만 원처럼 서로 반대되는 성질의 양은 0을 기준으로 한쪽에 + (플러스), 다른 쪽에 − (마이너스) 부호를 붙여 나타냅니다. 0보다 큰 수를 양수, 0보다 작은 수를 음수라고 합니다. 0은 양수도 음수도 아닙니다.

자연수에 + 부호를 붙인 수가 양의 정수, − 부호를 붙인 수가 음의 정수이고, 이들과 0을 합쳐 정수라고 합니다. 양의 정수는 자연수와 같으며, + 부호는 생략해 쓸 수 있습니다.

유리수와 유리수의 분류

유리수는 (정수$) \div (0$이 아닌 정수), 즉 분수 꼴로 나타낼 수 있는 수입니다. $-3 = -\dfrac{3}{1}, 0.5 = \dfrac{1}{2}$ 이므로 정수와 유한소수는 모두 유리수입니다.

부호로 나누면 양의 유리수, 0, 음의 유리수로도 분류합니다. 정수는 모두 유리수이지만, $\dfrac{1}{2}$처럼 정수가 아닌 유리수도 있습니다.

수직선과 절댓값

직선 위에 기준점 0(원점)을 잡고 오른쪽에 양수, 왼쪽에 음수를 같은 간격으로 놓은 것이 수직선입니다. 정수뿐 아니라 유리수도 수직선 위에 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 −1.5는 −1과 −2의 한가운데입니다.

수직선에서 원점으로부터 어떤 수까지의 거리를 그 수의 절댓값이라 하고 | | 기호로 씁니다. 거리이므로 절댓값은 항상 0 이상이고, 부호를 떼어낸 수와 같습니다.

정수와 유리수의 대소관계

수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 큽니다. 이 한 가지 사실로 모든 대소 비교가 정리됩니다.

음수끼리는 절댓값이 클수록 원점에서 왼쪽으로 멀어지므로 더 작습니다. 분수는 통분해서 비교합니다.

1. 1
   분모 3, 4의 최소공배수 12로 통분 $\to -\dfrac{8}{12}, -\dfrac{9}{12}$
2. 2
   절댓값 비교: $\dfrac{8}{12} < \dfrac{9}{12}$
3. 3
   음수끼리는 절댓값이 작은 쪽이 크므로 $-\dfrac{2}{3} > -\dfrac{3}{4}$

부등호의 사용

두 수의 크기 관계를 나타내는 기호 <, >, ≤, ≥ 를 부등호라고 합니다. 말로 된 조건을 부등호로 바꿀 때는 '이상·이하'에는 등호가 들어가고 '초과·미만'에는 들어가지 않는다는 점을 기억합니다.

1. 1
   −2 이상 $\to -2 \le x$
2. 2
   3 미만 → x < 3
3. 3
   둘을 합쳐 $-2 \le x < 3$

덧셈 — 부호 규칙과 계산 법칙

부호가 있는 수의 덧셈은 수직선 위에서 움직이는 것으로 생각합니다. 양수를 더하면 오른쪽으로, 음수를 더하면 왼쪽으로 그 절댓값만큼 이동합니다. 그 결과를 규칙으로 정리하면 다음과 같습니다.

덧셈에서는 순서를 바꿔도(교환법칙), 어느 것부터 묶어 더해도(결합법칙) 결과가 같습니다. 이를 이용해 양수끼리, 음수끼리 먼저 모으면 계산이 쉬워집니다.

뺄셈 — 빼는 수의 부호를 바꿔 더하기

어떤 수를 빼는 것은 그 수의 부호를 바꾼 수를 더하는 것과 같습니다. 5에서 3을 빼는 것과 5에 −3을 더하는 것이 같듯이, 뺄셈은 언제나 덧셈으로 바꿔 계산합니다.

1. 1
   (+3) − (+8) = (+3) + (−8) = −5
2. 2
   (−4) − (−6) = (−4) + (+6) = +2

덧셈과 뺄셈의 혼합계산

1. 1
   뺄셈을 모두 덧셈으로 바꿉니다.
2. 2
   괄호와 양수의 + 부호를 생략해 간단히 씁니다. 예: (+3) − (+7) + (+2) → 3 − 7 + 2
3. 3
   양수끼리, 음수끼리 모아서 계산합니다.

1. 1
   3 − 7 + 2 = (3 + 2) − 7 = 5 − 7 = −2
2. 2
   $\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{5}{6} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}$

곱셈 — 부호 규칙과 계산 법칙

두 수의 곱은 부호가 같으면 +, 다르면 −를 붙이고 절댓값끼리 곱합니다. (−1)을 곱하는 것은 수직선에서 원점 반대편으로 뒤집는 것이므로, 음수 두 개를 곱하면 두 번 뒤집혀 다시 양수가 됩니다.

셋 이상을 곱할 때는 음수의 개수가 짝수면 +, 홀수면 −입니다. 곱셈도 교환법칙 $a \times b = b \times a$, 결합법칙 $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$가 성립합니다.

거듭제곱의 부호도 같은 원리입니다. $(-2)^{2} = (-2) \times (-2) = +4$ 이지만, $-2^{2}$ 은 $2^{2}$에 − 부호를 붙인 것이므로 −4 입니다. 괄호의 위치를 꼭 확인하세요.

나눗셈과 역수, 혼합계산

나눗셈의 부호 규칙은 곱셈과 같습니다. $(-12) \div (+3) = -4, (-12) \div (-3) = +4$. 분수의 나눗셈은 역수를 이용합니다. 두 수의 곱이 1일 때 한 수를 다른 수의 역수라 하며, 분자와 분모를 바꾸면 됩니다. 부호는 그대로입니다.

1. 1
   나누는 수 $-\dfrac{9}{8}$ 의 역수는 $-\dfrac{8}{9}$
2. 2
   $(-\dfrac{3}{4}) \times (-\dfrac{8}{9})$: 부호는 (−) × (−) = +
3. 3
   절댓값 $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3} \to$ 답은 $+\dfrac{2}{3}$

여러 연산이 섞여 있으면 거듭제곱 → 괄호 안 → 곱셈·나눗셈 → 덧셈·뺄셈 순서로 계산합니다.

분배법칙

어떤 수에 두 수의 합을 곱한 것은, 각각에 곱해서 더한 것과 같습니다. 이것이 분배법칙입니다. 분수나 큰 수가 섞인 계산을 쉽게 만들어 줍니다.

1. 1
   $12 \times \dfrac{1}{3} - 12 \times \dfrac{1}{4}$
2. 2
   = 4 − 3
3. 3
   = 1