소인수분해, 수를 소수의 곱으로 쪼개기

거듭제곱 — 같은 수를 여러 번 곱하기

$2 \times 2 \times 2$ 처럼 같은 수를 여러 번 곱한 것을 간단히 $2^{3}$으로 씁니다. 이것을 거듭제곱이라 하고, 곱하는 수 2를 밑, 곱한 횟수 3을 지수라고 합니다.

지수는 곱한 횟수이지 곱하는 수가 아닙니다. $2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$이지, $2 \times 3 = 6$이 아닙니다. 서로 다른 수가 섞여 있으면 같은 수끼리 모아 각각 거듭제곱으로 씁니다.

1. 1
   3이 2번 곱해져 있으므로 $3^{2}$
2. 2
   5가 3번 곱해져 있으므로 $5^{3}$
3. 3
   따라서 $3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^{2} \times 5^{3}$

소수와 합성수

1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수를 소수, 약수가 3개 이상인 수를 합성수라고 합니다. 즉 소수는 약수가 정확히 2개인 수입니다.

에라토스테네스의 체

소수를 하나씩 확인하지 않고 한꺼번에 찾는 방법입니다. 소수의 배수는 그 소수를 약수로 가지므로 합성수라는 점을 이용해, 배수를 차례로 지워 나갑니다. 체로 걸러내듯 합성수를 걸러낸다고 해서 붙은 이름입니다.

1. 1
   2부터 원하는 수까지 자연수를 차례로 씁니다.
2. 2
   2는 남기고 2의 배수(4, 6, 8, …)를 모두 지웁니다.
3. 3
   남은 수 중 다음 수인 3은 남기고 3의 배수를 모두 지웁니다.
4. 4
   같은 방법으로 5, 7, … 의 배수를 차례로 지웁니다.
5. 5
   끝까지 지워지지 않고 남은 수가 모두 소수입니다.

소인수분해 (素因數分解)

어떤 자연수의 약수 중 소수인 것을 소인수라 하고, 자연수를 소인수만의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고 합니다. 어떤 순서로 쪼개더라도 결과는 항상 같습니다.

1. 1
   가장 작은 소수 2부터, 나누어떨어지는지 확인합니다.
2. 2
   나누어떨어지면 몫을 다시 같은 방법으로 나눕니다.
3. 3
   2로 나누어지지 않으면 3, 5, 7, … 순으로 소수를 바꿔 나눕니다.
4. 4
   몫이 소수가 되면 멈추고, 나눈 소수들을 곱으로 씁니다. 같은 소인수는 거듭제곱으로 정리합니다.

1. 1
   $72 \div 2 = 36, 36 \div 2 = 18, 18 \div 2 = 9$
2. 2
   9는 2로 나누어지지 않으므로 3으로: $9 \div 3 = 3$. 몫 3은 소수이므로 멈춥니다.
3. 3
   나눈 소수는 $2, 2, 2, 3, 3 \to 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$

소인수분해로 약수의 개수 구하기

약수는 그 수를 나누어떨어지게 하는 수입니다. $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$ 을 소수 재료 다섯 개로 만든 수라고 생각해 봅시다. 72의 약수는 이 재료 중 일부만 골라 곱한 수입니다. 예를 들어 $12 = 2 \times 2 \times 3$ 은 2를 2개, 3을 1개 골라 만든 약수이고, 1은 아무것도 고르지 않은 약수입니다.

그러니 약수를 하나 만들려면 두 가지만 정하면 됩니다. 2를 몇 개 쓸지(0개·1개·2개·3개 → 4가지)와 3을 몇 개 쓸지(0개·1개·2개 → 3가지)입니다. 0개는 '그 소수를 쓰지 않는 경우'입니다. 둘 다 0개로 고르면 아무것도 곱하지 않은 약수 1이 됩니다. 아래 표에서 가로는 2를 쓰는 개수, 세로는 3을 쓰는 개수이고, 칸에는 둘을 곱한 약수가 들어갑니다.

표의 칸 하나하나가 72의 약수이고(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72), 같은 약수는 두 번 나오지 않습니다. 그래서 약수의 개수 = 칸의 개수 = 가로 4칸 × 세로 3칸 = 12개입니다. 가로 칸 수 4는 2의 지수 3에 '안 쓰는 경우' 1을 더한 것이고, 세로 칸 수 3은 3의 지수 2에 1을 더한 것입니다.

이것을 일반적으로 쓰면, 각 소인수의 지수에 1을 더해 모두 곱한 값이 약수의 개수입니다. a, b가 서로 다른 소수일 때 $a^{m} \times b^{n}$ 의 약수의 개수는 다음과 같습니다. 소인수가 셋 이상이어도 고르는 방향이 하나씩 늘어날 뿐 같은 방법으로 셉니다.

최대공약수 (最大公約數)

두 수의 공통인 약수를 공약수, 그중 가장 큰 수를 최대공약수라고 합니다. 두 수를 모두 나누어떨어지게 하는 가장 큰 수가 최대공약수이며, 모든 공약수는 최대공약수의 약수입니다. 최대공약수가 1인 두 수는 서로소라고 합니다.

앞에서 약수는 '소수 재료 중 일부를 골라 곱한 수'라고 했습니다. 공약수는 두 수 모두의 약수이므로 두 수가 공통으로 가진 재료로만 만들 수 있습니다. 24와 36의 재료를 나란히 놓아 보면 이렇습니다.

2는 24에 3개, 36에 2개 있으므로 둘 다 가진 것은 2개까지입니다. 3개를 쓰면 36을 나눌 수 없습니다. 3은 24에 1개뿐이므로 1개까지입니다. 이 공통 재료를 모두 쓴 $2 \times 2 \times 3 = 12$ 가 가장 큰 공약수입니다. 그래서 소인수분해로 구할 때는 공통으로 들어 있는 소인수만 골라, 지수는 작은 쪽을 택해 곱합니다.

1. 1
   $24 = 2^{3} \times 3, 36 = 2^{2} \times 3^{2}$
2. 2
   공통 소인수는 2와 3
3. 3
   2의 지수는 3과 2 중 작은 2, 3의 지수는 1과 2 중 작은 1
4. 4
   최대공약수 $= 2^{2} \times 3 = 12$

최소공배수 (最小公倍數)

두 수의 공통인 배수를 공배수, 그중 가장 작은 수를 최소공배수라고 합니다. 모든 공배수는 최소공배수의 배수입니다.

이번에는 반대입니다. 어떤 수가 24의 배수이려면 24의 재료$(2 \times 2 \times 2 \times 3)$를 모두 품고 있어야 하고, 36의 배수이려면 36의 재료$(2 \times 2 \times 3 \times 3)$도 모두 품어야 합니다. 두 조건을 한꺼번에 채우는 가장 작은 수를 만들어 봅시다.

2는 24가 3개를 요구하므로 3개는 있어야 합니다. 3은 36이 2개를 요구하므로 2개는 있어야 합니다. 이보다 적으면 둘 중 하나의 배수가 되지 못하고, 더 많으면 가장 작은 수가 아닙니다. 그래서 소인수분해로 구할 때는 두 수에 나오는 소인수를 모두 쓰고, 지수는 큰 쪽을 택합니다.

1. 1
   $24 = 2^{3} \times 3, 36 = 2^{2} \times 3^{2}$
2. 2
   2의 지수는 3과 2 중 큰 3, 3의 지수는 1과 2 중 큰 2
3. 3
   최소공배수 $= 2^{3} \times 3^{2} = 72$

두 수의 곱 = 최대공약수 × 최소공배수

두 자연수 A, B의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라 하면 항상 $A \times B = G \times L$이 성립합니다. 24와 36으로 왜 그런지 따라가 봅시다.

1. 1
   최대공약수는 12이므로 두 수를 12로 묶어 씁니다: $24 = 12 \times 2, 36 = 12 \times 3$
2. 2
   묶고 남은 2와 3은 더 이상 공통 재료가 없는 서로소입니다. 공통 재료는 이미 12에 다 들어갔기 때문입니다.
3. 3
   최소공배수는 공통 재료 12에 각자 남은 재료 2와 3을 모두 붙인 수입니다: $L = 12 \times 2 \times 3 = 72$
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   두 수의 곱은 $24 \times 36 = (12 \times 2) \times (12 \times 3) = 12 \times (12 \times 2 \times 3) = 12 \times 72 = G \times L$

두 수를 곱하면 공통 재료 G가 두 번 들어갑니다. 최대공약수 × 최소공배수에도 G가 한 번은 G 자체로, 한 번은 L 안에 들어 있어 똑같이 두 번 들어갑니다. 그래서 어떤 두 수든 이 관계가 성립합니다. 문자로 쓰면 다음과 같습니다.

1. 1
   $A = G \times a, B = G \times b$ 로 씁니다. (a와 b는 서로소)
2. 2
   최소공배수는 $L = G \times a \times b$ 입니다.
3. 3
   $G \times L = G \times G \times a \times b = (G \times a) \times (G \times b) = A \times B$

1. 1
   $A \times B = G \times L$ 을 이용합니다.
2. 2
   두 수의 곱 $= 4 \times 60 = 240$