일차함수의 그래프가 직선이었다면, 이차함수의 그래프는 곡선(포물선)입니다. 꼭짓점을 중심으로 그래프를 읽는 법과, 이차방정식과의 연결고리를 익힙니다.
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x의 최고차항이 2차인 함수이고, 그래프는 곡선입니다.
는 꼴로 나타나는 입니다. 는 이 아니라 매끄러운 곡선인 모양입니다.
| a의 | 모양 |
|---|---|
| a > 0 | 아래로 볼록 (밥그릇 모양) |
| a < 0 | 위로 볼록 (뒤집힌 모양) |
포물선의 가장 낮거나 높은 지점을 꼭짓점이라 합니다.
가장 간단한 의 꼭짓점은 (0, 0)입니다. 여기서 방향으로 p, 방향으로 q만큼 옮기면 꼴이 되고, 이때 은 (p, q)가 됩니다.
의 은 (1, 3)입니다. 의 꼭짓점은 (−2, −1)입니다.
먼저 예상해 보기
이차함수(a≠0)에서 a와 q를 그대로 두고 p를 크게 하면 꼭짓점은 어디로 갈까요?
표준형 · 이차함수의 조건
전개하면
꼭짓점: (0, 0) · 축 x = 0
y절편: 0 · x축과 만나는 x좌표: 0
비교를 위해 표시 창은 x: −6~6, y: −8~8로 고정합니다. 함수의 정의역을 이 구간으로 제한한 것은 아닙니다.
-30.5 간격3
-40.5 간격4
-40.5 간격4
a가 같아 모양은 같습니다. 꼭짓점은 기준 (0, 0) → 현재 (0, 0)입니다.
위로 열린 포물선(아래로 볼록)입니다. 꼭짓점에서 같은 가로 거리만큼 떨어졌을 때, |a|가 클수록 높이 차의 절댓값이 커져 폭이 좁아집니다.
| 점 | x | y |
|---|---|---|
| L | −1 | 1 |
| V | 0 | 0 |
| R | 1 | 1 |
p와 q만 바꾸면 a가 같아서 모양을 유지한 채 이동합니다. p가 양수이면 식 안에는 x−p가 들어가지만 꼭짓점은 오른쪽에 있습니다.
a의 부호만 바꾸면 직선 y=q에 대한 대칭입니다. q≠0일 때 x축 대칭과 혼동하지 마세요. a=0이면 q만 남는 상수함수여서 p로 꼭짓점을 옮길 수 없습니다.
그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 바로 방정식의 해입니다.
의 가 과 만나는 점은 y = 0인 곳이므로, 그 x는 의 해와 정확히 같습니다.
의 가 과 만나는 점의 x는? 을 풀면 (x−2)(x−3)=0 → x=2 또는 x=3
은 10공수1-02-02와 연결되는 선택 추가 탐구입니다. 중학교 기본 문제는 ·와 으로 풀 수 있어요. 기본 목표 달성에 이 표의 암기는 필요하지 않습니다.
이전 레슨의 도 그대로 이어집니다: 판별식 값의 에 따라 가 과 몇 번 만나는지가 정해집니다.
| 과의 관계 | |
|---|---|
| > 0 | 서로 다른 두 점에서 만난다 |
| = 0 | 한 점에서 만난다() |
| < 0 | 만나지 않는다 |
포물선이 위로 벌어지는지 아래로 벌어지는지에 따라 정반대입니다.
에서 부분은 항상 0 이상입니다. 그래서 a > 0이면 에서 q를 갖고 은 없으며, a < 0이면 꼭짓점에서 최댓값 q를 갖고 최솟값은 없습니다.
는 a=−1<0이므로 x=2일 때 5를 갖습니다.
그래프를 읽고 방정식을 푼 뒤, 필요한 길이를 골라 넓이를 구합니다.
그래프의 정보로 방정식을 풀고, 구한 좌표를 도형의 길이로 바꾸어 봅시다.
개념을 확인했다면 아래 문제로 점검해 보세요. 답을 입력하고 채점하기를 누르면 결과가 나타납니다.