곱셈공식과 인수분해, 전개와 그 역과정

완전제곱식 $(a \pm b)^{2}$

$(a + b)^{2}$은 (a + b)(a + b)입니다. 분배법칙으로 전개하면 $a^{2} + ab + ba + b^{2}$ 이고, ab와 ba는 같으므로 가운데 항이 2ab가 됩니다. 이렇게 (어떤 식)² 꼴로 정리되는 식을 완전제곱식이라 합니다.

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   $(x + 3)^{2} = x^{2} + 2\cdot x\cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6x + 9$
2. 2
   $(2x - 1)^{2} = (2x)^{2} - 2\cdot 2x\cdot 1 + 1^{2} = 4x^{2} - 4x + 1$

합차공식 (a + b)(a − b)

$(a + b)(a - b) = a^{2} - ab + ab - b^{2}$ 에서 가운데 두 항이 서로 지워져 $a^{2} - b^{2}$ 만 남습니다. 합과 차의 곱은 제곱의 차가 됩니다.

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   $(x + 4)(x - 4) = x^{2} - 4^{2} = x^{2} - 16$
2. 2
   $(3x + 2)(3x - 2) = (3x)^{2} - 2^{2} = 9x^{2} - 4$

(x + a)(x + b) 와 (ax + b)(cx + d)

$(x + a)(x + b) = x^{2} + bx + ax + ab$ 에서 x의 계수는 a + b (두 수의 합), 상수항은 ab (두 수의 곱)입니다. $x^{2}$ 앞에 계수가 있는 (ax + b)(cx + d)도 같은 방식으로 전개하되, x의 계수는 바깥끼리(ad)와 안쪽끼리(bc)의 곱을 더한 것입니다.

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   (x + 2)(x + 5): 합 2 + 5 = 7, 곱 $2 \times 5 = 10 \to x^{2} + 7x + 10$
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   $(2x + 1)(3x + 2): x^{2}$ 계수 $2 \times 3 = 6, x$ 계수 $2 \times 2 + 1 \times 3 = 7$, 상수 $1 \times 2 = 2 \to 6x^{2} + 7x + 2$

$a^{2} + b^{2}$ 를 합과 곱으로 나타내기

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ 에서 2ab를 이항하면 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab$. 즉 a, b를 각각 몰라도 합 a + b와 곱 ab만 알면 $a^{2} + b^{2}$을 계산할 수 있습니다. 같은 방식으로 $(a - b)^{2}$도 합과 곱으로 표현됩니다.

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   $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2xy$
2. 2
   $= 5^{2} - 2 \times 4 = 25 - 8$
3. 3
   = 17

곱셈공식으로 수 계산하기

$101^{2}$ 처럼 큰 수의 제곱은 100 + 1로 쪼개 완전제곱식을 쓰면 암산이 됩니다. $98 \times 102$ 처럼 어떤 수를 중심으로 대칭인 두 수의 곱은 합차공식이 딱 맞습니다.

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   $101^{2} = (100 + 1)^{2} = 100^{2} + 2\cdot 100\cdot 1 + 1^{2} = 10000 + 200 + 1 = 10201$
2. 2
   $98 \times 102 = (100 - 2)(100 + 2) = 100^{2} - 2^{2} = 10000 - 4 = 9996$
3. 3
   $52 \times 53 = (50 + 2)(50 + 3) = 50^{2} + (2 + 3)\cdot 50 + 2\cdot 3 = 2500 + 250 + 6 = 2756$

인수분해의 뜻과 공통인수

$x^{2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$ 처럼 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라 하고, 이때 곱해진 각 식을 인수라 합니다. 전개의 정확히 반대 과정입니다.

가장 먼저 볼 것은 공통인수입니다. 모든 항에 공통으로 들어 있는 인수를 분배법칙을 거꾸로 써서 괄호 밖으로 묶어 냅니다.

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   $3x^{2} + 6x$: 공통인수 3x → 3x(x + 2)
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   $2a^{2}b - 4ab^{2}$: 공통인수 2ab → 2ab(a − 2b)

인수분해 공식 ① 완전제곱식·합차공식

곱셈공식을 거꾸로 읽으면 인수분해 공식이 됩니다. 항이 3개이고 양 끝이 제곱, 가운데가 (양 끝 제곱근의 곱$) \times 2$이면 완전제곱식으로, 항이 2개이고 제곱의 차이면 합차공식으로 인수분해합니다.

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   $x^{2} - 10x + 25: x^{2}$과 $5^{2}$, 가운데 $-2\cdot x\cdot 5 = -10x \to (x - 5)^{2}$
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   $4x^{2} - 9 = (2x)^{2} - 3^{2} \to (2x + 3)(2x - 3)$

인수분해 공식 ② 이차식 $x^{2} + (a + b)x + ab, acx^{2} + (ad + bc)x + bd$

$x^{2} + 5x + 6$ 을 (x + a)(x + b)로 인수분해하려면 곱해서 6, 더해서 5가 되는 두 수를 찾습니다. 2와 3이므로 $(x + 2)(x + 3). x^{2}$의 계수가 1이 아닐 때는 $x^{2}$ 계수를 두 수의 곱 ac로, 상수항을 bd로 쪼갠 뒤, 십자 모양으로 곱해 더한 값이 x의 계수가 되는 조합을 찾습니다.

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   $x^{2} - x - 12$: 곱 −12, 합 −1 → −4와 3 → (x − 4)(x + 3)
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   $2x^{2} + 7x + 3: 2x^{2} = 2x\cdot x, 3 = 1\cdot 3$. 십자로 곱해 더하면 2x·3 + x·1 = 7x → (2x + 1)(x + 3)
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   확인: 전개해서 원래 식이 나오는지 항상 검산한다

공통인수 먼저, 그다음 공식 — 그리고 치환

$2x^{2} + 8x + 8$ 은 그대로 보면 공식이 안 맞지만, 공통인수 2를 묶으면 $2(x^{2} + 4x + 4) = 2(x + 2)^{2}$ 입니다. 공통인수를 먼저 묶는 것이 항상 첫 단계입니다.

$(x - 2)^{2} + 6(x - 2) + 9$ 처럼 같은 덩어리가 반복되면 그 덩어리를 한 문자로 치환해 간단한 이차식으로 바꿉니다. 인수분해한 뒤 원래 식으로 되돌리는 것을 잊지 마세요.

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   x − 2 = A로 놓으면 $A^{2} + 6A + 9$
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   $= (A + 3)^{2}$
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   A를 되돌리면 $(x - 2 + 3)^{2} = (x + 1)^{2}$

항이 4개 이상일 때 — 두 항씩 묶기

항이 4개면 공식이 바로 적용되지 않습니다. 두 항씩 짝지어 각각 공통인수를 묶으면, 두 묶음에 같은 인수가 나타나는 경우가 많습니다. 그 공통인 괄호를 다시 묶어 내면 인수분해가 끝납니다. 세 항이 완전제곱식을 이루면 (3항) − (1항) 으로 묶어 합차공식을 쓰기도 합니다.

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   앞 두 항, 뒤 두 항을 묶는다: x(y − 2) + (y − 2)
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   (y − 2)가 공통인수 → (y − 2)(x + 1)

인수분해의 활용 — 수의 계산과 식의 값

$101^{2} - 99^{2}$ 을 직접 계산하면 10201 − 9801 이지만, 합차공식으로 인수분해하면 $(101 + 99)(101 - 99) = 200 \times 2 = 400$ 으로 훨씬 빠릅니다. 문자의 값이 주어진 식도 먼저 인수분해한 뒤 대입하면 계산이 간단해집니다.

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   $x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2}$
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   x = 103 대입 $\to (103 - 3)^{2} = 100^{2}$
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   = 10000