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01곱셈공식 — 자주 나오는 전개를 공식으로

분배법칙으로 한 번 유도해 보면, 왜 그런 꼴이 되는지 알고 외울 수 있습니다.

완전제곱식 $(a \pm b)^{2}$

$(a + b)^{2}$ 은 (a + b)(a + b)입니다. 분배법칙으로 전개하면 $a^{2} + ab + ba + b^{2}$ 이고, ab와 ba는 같으므로 가운데 항이 2ab가 됩니다. 이렇게 (어떤 식)² 꼴로 정리되는 식을 완전제곱식이라 합니다.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

예제

$(x + 3)^{2}$ 과 $(2x - 1)^{2}$ 을 전개하시오.

1
$(x + 3)^{2} = x^{2} + 2\cdot x\cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6x + 9$
2
$(2x - 1)^{2} = (2x)^{2} - 2\cdot 2x\cdot 1 + 1^{2} = 4x^{2} - 4x + 1$

Check

$(a - b)^{2}$ 은 $(a + b)^{2}$ 에서 가운데 항의 부호만 바뀝니다 $. (x - 3)^{2} = x^{2} - 6x + 9$ 이지 $x^{2} - 9$ 가 아닙니다.

합차공식 (a + b)(a − b)

$(a + b)(a - b) = a^{2} - ab + ab - b^{2}$ 에서 가운데 두 항이 서로 지워져 $a^{2} - b^{2}$ 만 남습니다. 합과 차의 곱은 제곱의 차가 됩니다.

(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}

예제

(x + 4)(x − 4) 와 (3x + 2)(3x − 2) 를 전개하시오.

1
$(x + 4)(x - 4) = x^{2} - 4^{2} = x^{2} - 16$
2
$(3x + 2)(3x - 2) = (3x)^{2} - 2^{2} = 9x^{2} - 4$

(x + a)(x + b) 와 (ax + b)(cx + d)

$(x + a)(x + b) = x^{2} + bx + ax + ab$ 에서 x의 계수는 a + b (두 수의 합), 상수항은 ab (두 수의 곱)입니다 $. x^{2}$ 앞에 계수가 있는 (ax + b)(cx + d)도 같은 방식으로 전개하되, x의 계수는 바깥끼리(ad)와 안쪽끼리(bc)의 곱을 더한 것입니다.

(x + a)(x + b) = x^{2} + (a + b)x + ab

(ax + b)(cx + d) = acx^{2} + (ad + bc)x + bd

예제

(x + 2)(x + 5) 와 (2x + 1)(3x + 2) 를 전개하시오.

1
(x + 2)(x + 5): 합 2 + 5 = 7, 곱 $2 \times 5 = 10 \to x^{2} + 7x + 10$
2
$(2x + 1)(3x + 2): x^{2}$ 계수 $2 \times 3 = 6, x$ 계수 $2 \times 2 + 1 \times 3 = 7$ , 상수 $1 \times 2 = 2 \to 6x^{2} + 7x + 2$

01곱셈공식 — 자주 나오는 전개를 공식으로

완전제곱식 (a±b)2(a \pm b)^{2}(a±b)2

합차공식 (a + b)(a − b)

(x + a)(x + b) 와 (ax + b)(cx + d)

완전제곱식 $(a \pm b)^{2}$