y = ax + b 그래프의 모양은 a, b의 부호가 정합니다. 그래프의 특징과 직선의 방정식, 그리고 연립방정식의 해가 두 직선의 교점이라는 사실까지 하나로 연결해서 익힙니다.
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a와 b의 부호만 보면 그래프의 모양이 보입니다.
a는 x가 1 커질 때 y가 얼마나 변하는지입니다. a > 0이면 x가 증가할 때 y도 증가하므로 는 오른쪽 위로 향하고, a < 0이면 y가 감소하므로 오른쪽 아래로 향합니다. a의 이 클수록 은 가파릅니다. b는 과 만나는 점의 위치이므로, b > 0이면 y축의 양의 부분, b < 0이면 음의 부분에서 만납니다.
| 증가/감소 | 지나는 | 예 | |
|---|---|---|---|
| a > 0, b > 0 | 증가 | 제1, 2, 3사분면 | y = 2x + 1 |
| a > 0, b < 0 | 증가 | 제1, 3, 4사분면 | y = 2x − 3 |
| a < 0, b > 0 | 감소 | 제1, 2, 4사분면 | y = −x + 2 |
| a < 0, b < 0 | 감소 | 제2, 3, 4사분면 | y = −x − 2 |
y = 2x − 3의 가 지나지 않는 은? a = 2 > 0이므로 오른쪽 위로 향하고, b = −3 < 0이므로 아래쪽에서 출발합니다. 제1, 3, 4사분면을 지나므로 지나지 않는 곳은 제2사분면입니다.
y = ax + b의 는 y = ax의 그래프를 방향으로 b만큼 한 것입니다. 그래서 가 같은 두 은 모양이 같고 위치만 다릅니다. 기울기가 같고 이 다르면 (만나지 않음)하고, 기울기와 y절편이 모두 같으면 일치(같은 직선)합니다.
| 조건 | 두 의 관계 |
|---|---|
| 같음, 다름 | — 만나지 않는다 |
| 기울기 같음, y절편 같음 | 일치 — 완전히 겹친다 |
| 기울기 다름 | 한 점에서 만난다 |
y = 2x + 1과 y = 2x − 5는 가 2로 같고 이 다르므로 합니다. y = 2x + 1과 y = −x + 1은 y절편이 같아도 기울기가 다르므로 평행이 아니고, 점 (0, 1)에서 만납니다.
ax + by + c = 0 도 결국 하나의 직선입니다.
가 두 개인 ax + by + c = 0의 해 (x, y)는 무수히 많습니다. 이 해들을 에 모두 찍으면 하나의 이 되는데, 이것을 이라고 합니다. 이면 식을 y에 대해 정리해 y = ()x + () 꼴로 고칠 수 있으므로, 이 직선은 곧 일차함수의 입니다.
2x − 3y + 6 = 0 을 꼴로 고쳐 와 을 구하시오.
ax + by + c = 0에서 b = 0이면 x = p 꼴이 되어 에 한 이 됩니다. x값이 p 하나에 y값이 무수히 되므로 이 직선은 의 가 아닙니다. a = 0이면 y = q 꼴이 되어 에 평행한 직선이 되고, 이것은 가 0인 함수의 그래프입니다.
| 모양 | 지나는 점 | 인가? | |
|---|---|---|---|
| x = p | 에 (세로선) | (p, 0) | 아니다 |
| y = q | 에 평행 (가로선) | (0, q) | 그렇다 ( 0) |
점 (3, −2)를 지나고 에 한 과 에 평행한 은? x축에 평행하면 y가 항상 −2이므로 y = −2. y축에 평행하면 x좌표가 항상 3이므로 x = 3.
에서 읽을 수 있는 정보에 따라 식을 세우는 방법이 정해집니다. 어떤 경우든 를 먼저 구하고, 한 점을 해 을 구한다는 흐름은 같습니다.
| 읽은 정보 | 구하는 법 |
|---|---|
| a와 한 점 | y = ax + b에 점을 해 b를 구함 |
| 두 점 | 기울기 을 구한 뒤 한 점 대입 |
| p, q | 두 점 (p, 0), (0, q)를 지나므로 기울기 |
이 4, 이 −2인 은? 두 점 (4, 0), (0, −2)를 지나므로 절편이 −2이므로 .
두 직선이 만나는 점이 바로 연립방정식의 해입니다.
의 해 (x, y)는 두 식을 동시에 만족하는 값입니다. 각 식은 이므로, 두 식을 모두 만족하는 점은 두 직선 위에 모두 있는 점, 즉 입니다. 따라서 연립방정식을 푸는 것과 두 직선의 교점을 구하는 것은 같은 일입니다.
두 y = x + 1, y = −x + 5의 을 구하시오. 교점에서는 두 y값이 같으므로 x + 1 = −x + 5 → 2x = 4 → x = 2, y = 3. 교점은 (2, 3)이고, 이것이 { y = x + 1, y = −x + 5 }의 해입니다.
두 이 한 점에서 만나면 해는 하나입니다. 하지만 두 직선이 하면 이 없으므로 해가 없고, 일치하면 직선 위의 모든 점이 교점이므로 해가 무수히 많습니다. 각 식을 y = ax + b 꼴로 고쳐 와 을 비교하면 판단할 수 있습니다.
| 두 의 위치 | · | 의 해 |
|---|---|---|
| 한 점에서 만남 | 기울기가 다름 | 해가 1개 |
| 기울기 같음, y절편 다름 | 해가 없음 | |
| 일치 | 기울기 같음, y절편 같음 | 해가 무수히 많음 |
{ 2x − y = 1, 4x − 2y = 5 } 와 { x + y = 3, 2x + 2y = 6 } 의 해의 개수는? 첫 번째: 같고 다름 → → 해 없음. 두 번째: y = −x + 3, y = −x + 3 → 일치 → 해 무수히 많음.
변하는 두 양 사이의 관계를 y = ax + b로 세웁니다.
일정한 로 변하는 양은 로 나타낼 수 있습니다. 처음 값이 b, 한 단위마다 변하는 양이 a입니다. 줄어드는 양이면 a는 입니다.
지면의 기온이 20°C이고, 가 1km 올라갈 때마다 기온이 6°C씩 내려간다. 높이 2.5km에서의 기온은? 높이 x km에서의 기온을 y°C라 하면 처음 값 20, 1km당 −6 → y = −6x + 20. x = 2.5를 하면 y = −15 + 20 = 5°C.
기본요금 3000원에 1분당 50원이 추가되는 요금제가 있다. 요금이 9000원일 때 사용 시간은? x분 사용 시 요금 y원 → y = 50x + 3000. 9000 = 50x + 3000 → 50x = 6000 → x = 120분.
그래프 읽기 → 교점 → 밑변과 수직 높이 → 넓이, 그리고 혼자 풀기.
두 직선과 y축이 둘러싼 삼각형의 넓이를 그래프·방정식·도형을 연결해 구해 봅시다.
같은 점에서는 무엇이 같을까요?
교점은 두 그래프에 동시에 속하는 한 점입니다. x좌표도 y좌표도 같으므로 두 식의 y를 같다고 놓을 수 있습니다. 구한 좌표는 그림에서 길이를 재는 정보로 다시 사용합니다.
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