이차방정식, 해가 두 개일 수 있다

이차방정식의 꼴

이차방정식은 정리했을 때 $ax^{2} + bx + c = 0 (a \ne 0)$ 꼴이 되는 방정식입니다. a가 0이면 $x^{2}$항이 사라져 일차방정식이 되므로 $a \ne 0$이 반드시 필요합니다.

AB = 0의 성질

두 수(또는 식) A, B에 대해 $A \times B = 0$이면 A = 0 또는 B = 0입니다. 이 성질을 이용해 좌변을 두 일차식의 곱으로 인수분해하면 각각을 0으로 놓아 풀 수 있습니다.

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   우변이 0이 되도록 식을 정리합니다.
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   좌변을 두 일차식의 곱으로 인수분해합니다.
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   각 일차식을 0으로 놓고 각각 풉니다.

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   곱해서 6, 더해서 −5가 되는 두 수는 −2, −3
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   인수분해 → (x − 2)(x − 3) = 0
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   x − 2 = 0 또는 x − 3 = 0 → x = 2 또는 x = 3

근의 공식

$ax^{2} + bx + c = 0 (a \ne 0)$의 해는 계수 a, b, c만 알면 아래 공식에 대입해서 바로 구할 수 있습니다.

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   $b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4\times 1\times 1 = 9 - 4 = 5$
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   $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$
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   따라서 해는 $x = \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$ 또는 $x = \dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}$

판별식 — 근의 개수 미리 알기

근의 공식의 루트(√) 안, $b^{2} - 4ac$를 판별식이라 합니다. 이 값의 부호만으로 실제로 계산하지 않아도 해가 몇 개인지 알 수 있습니다.

핵심 아이디어

미지수를 정하고 조건을 식으로 세운 뒤 정리하면 $ax^{2}+bx+c=0$ 꼴이 나옵니다. 인수분해나 근의 공식으로 풀고, 구한 해가 문제 상황에 맞는지(예: 길이는 양수) 반드시 확인해야 합니다.

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   원래 한 변을 x cm라 하면 직사각형의 가로는 x + 3, 세로는 x 이므로 x(x+3) = 40
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   전개하면 $x^{2} + 3x - 40 = 0$
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   인수분해 → (x+8)(x−5) = 0 → x = −8 또는 x = 5
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   길이는 음수가 될 수 없으므로 x = 5 (원래 한 변은 5cm)