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중3 수학 · 삼각비의 활용

삼각비의 활용, 각으로 길이와 넓이 구하기

직각삼각형에서 시작한 삼각비를 0°와 90°까지 넓히고, 수선 하나를 그어 일반 삼각형의 변·높이·넓이를 계산하는 방법을 익힙니다. 특수각 30°, 45°, 60°의 값만 알면 대부분의 계산이 깔끔하게 떨어집니다.

↩ 이전 자료: 삼각비, 직각삼각형 변의 비율

010°와 90°의 삼각비, 삼각비의 대소

반지름이 1인 사분원 위에서 각을 움직여 보면 값의 변화가 보입니다.

반지름 1인 사분원에서 보는 sin⁡,cos⁡\sin , \cos

반지름이 1인 사분원 위의 점 P에서 밑변에 수선을 내리면 빗변의 길이가 1인 직각삼각형이 생깁니다. 빗변이 1이므로 sin⁡x=\sin x = 높이,cos⁡x=, \cos x = 밑변의 길이가 됩니다. 이제 각 x를 0°와 90° 쪽으로 밀어 봅시다.

OP1sin xcos xx
반지름 1인 사분원 — 높이가 sin⁡x\sin x, 밑변이 cos⁡x\cos x

x가 0°에 가까워지면 P가 밑변 쪽으로 내려와 높이는 0, 밑변은 1에 가까워집니다. x가 90°에 가까워지면 P가 위로 올라가 높이는 1, 밑변은 0에 가까워집니다.tan⁡x=. \tan x = 높이 ÷ 밑변인데 90°에서는 밑변이 0이 되어 나눌 수 없으므로 tan⁡90∘\tan 90^{\circ}는 정할 수 없습니다.

각sin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
0°010
90°10정할 수 없음

각이 커지면 삼각비는 어떻게 변할까

사분원에서 각이 커질수록 높이는 커지고 밑변은 짧아집니다. 따라서 0°에서 90°로 갈 때 sin⁡\sin과 tan⁡\tan은 커지고,cos⁡, \cos은 작아집니다. 특히 45°에서는 sin⁡45∘=cos⁡45∘\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ}이고, 45°보다 작으면 sin⁡x<cos⁡x\sin x < \cos x, 크면 sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x입니다.

각0°30°45°60°90°
sin⁡\sin01/22/2\sqrt{2}/23/2\sqrt{3}/21
cos⁡\cos13/2\sqrt{3}/22/2\sqrt{2}/21/20
tan⁡\tan03/3\sqrt{3}/313\sqrt{3}없음
Check

sin⁡20∘<sin⁡50∘<sin⁡70∘(\sin 20^{\circ} < \sin 50^{\circ} < \sin 70^{\circ} (각이 클수록 sin⁡\sin이 크다),cos⁡20∘>cos⁡50∘>cos⁡70∘(), \cos 20^{\circ} > \cos 50^{\circ} > \cos 70^{\circ} (각이 클수록 cos⁡\cos이 작다). 또 x가 예각이면 0<sin⁡x<1,0<cos⁡x<10 < \sin x < 1, 0 < \cos x < 1이지만 tan⁡x\tan x는 45°를 넘으면 1보다 커지고 한없이 커질 수 있습니다.

삼각비의 표 읽기

삼각비의 표는 0°부터 90°까지 1° 간격으로 sin⁡,cos⁡,tan⁡\sin , \cos , \tan의 값을 소수점 아래 넷째 자리까지 적어 둔 표입니다. 왼쪽 세로줄에서 각을 찾고, 그 행에서 원하는 삼각비의 열을 읽습니다. 거꾸로 값을 알 때 각을 찾을 수도 있습니다.

각sin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
36°0.58780.80900.7265
37°0.60180.79860.7536
38°0.61570.78800.7813
예제

위 표에서 cos⁡37∘=0.7986\cos 37^{\circ} = 0.7986입니다. 반대로 tan⁡x=0.7265\tan x = 0.7265이면 tan⁡\tan 열에서 0.7265를 찾아 x = 36°임을 알 수 있습니다. 표에서도 각이 커질수록 sin⁡⋅tan⁡\sin \cdot \tan은 커지고 cos⁡\cos은 작아지는 것이 확인됩니다.