삼각비의 활용, 각으로 길이와 넓이 구하기

반지름 1인 사분원에서 보는 $\sin , \cos$

반지름이 1인 사분원 위의 점 P에서 밑변에 수선을 내리면 빗변의 길이가 1인 직각삼각형이 생깁니다. 빗변이 1이므로 $\sin x =$ 높이, $\cos x =$ 밑변의 길이가 됩니다. 이제 각 x를 0°와 90° 쪽으로 밀어 봅시다.

x가 0°에 가까워지면 P가 밑변 쪽으로 내려와 높이는 0, 밑변은 1에 가까워집니다. x가 90°에 가까워지면 P가 위로 올라가 높이는 1, 밑변은 0에 가까워집니다. $\tan x =$ 높이 ÷ 밑변인데 90°에서는 밑변이 0이 되어 나눌 수 없으므로 $\tan 90^{\circ}$는 정할 수 없습니다.

각이 커지면 삼각비는 어떻게 변할까

사분원에서 각이 커질수록 높이는 커지고 밑변은 짧아집니다. 따라서 0°에서 90°로 갈 때 $\sin$과 $\tan$은 커지고, $\cos$은 작아집니다. 특히 45°에서는 $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ}$이고, 45°보다 작으면 $\sin x < \cos x$, 크면 $\sin x > \cos x$입니다.

삼각비의 표 읽기

삼각비의 표는 0°부터 90°까지 1° 간격으로 $\sin , \cos , \tan$의 값을 소수점 아래 넷째 자리까지 적어 둔 표입니다. 왼쪽 세로줄에서 각을 찾고, 그 행에서 원하는 삼각비의 열을 읽습니다. 거꾸로 값을 알 때 각을 찾을 수도 있습니다.

직각삼각형에서 — 복습

직각삼각형에서 한 예각 A와 변 하나를 알면 나머지 변은 삼각비로 구합니다. 빗변 c를 알면 높이 $= c \sin A$, 밑변 $= c \cos A$, 밑변 b를 알면 높이 $= b \tan A$입니다.

일반 삼각형에서 — 두 변과 끼인각을 알 때

직각이 없는 삼각형 ABC에서 두 변 AB, BC와 끼인각 B를 알 때 나머지 변 AC를 구하려면, 꼭짓점 A에서 변 BC에 수선 AH를 내려 직각삼각형 ABH와 AHC 두 개로 나눕니다. ABH에서 AH와 BH를 삼각비로 구하고, CH = BC − BH를 구한 뒤, AHC에서 피타고라스 정리로 AC를 구합니다.

1. 1
   직각삼각형 ABH에서 $AH = 5 \sin 60^{\circ} = 5\sqrt{3}/2, BH = 5 \cos 60^{\circ} = \dfrac{5}{2}$
2. 2
   $CH = BC - BH = 8 - \dfrac{5}{2} = \dfrac{11}{2}$
3. 3
   직각삼각형 AHC에서 $AC^{2} = AH^{2} + CH^{2} = \dfrac{75}{4} + \dfrac{121}{4} = \dfrac{196}{4} = 49$
4. 4
   AC = 7

예각삼각형의 높이

삼각형 ABC에서 밑변 BC = a와 두 밑각 $\angle B, \angle C($모두 예각)를 알 때, 꼭짓점 A에서 내린 수선의 길이를 h라 합시다. 수선 AH는 $\angle A$를 $\angle BAH = x, \angle CAH = y$로 나누는데, $x = 90^{\circ} - \angle B, y = 90^{\circ} - \angle C$입니다. 직각삼각형 ABH에서 $BH = h \tan x$, 직각삼각형 ACH에서 $CH = h \tan y$이고, BH + CH = a이므로 h를 구할 수 있습니다.

1. 1
   $x = \angle BAH = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}, y = \angle CAH = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$
2. 2
   $BH = h \tan 45^{\circ} = h, CH = h \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} h$
3. 3
   $h + \sqrt{3} h = 10 \to h(1 + \sqrt{3}) = 10$
4. 4
   $h = \dfrac{10}{1 + \sqrt{3}} = 10(\sqrt{3} - 1)/2 = 5(\sqrt{3} - 1)$

둔각삼각형의 높이

$\angle C$가 둔각이면 수선의 발 H가 변 BC의 연장선 위에 떨어집니다. 이때는 $BH = h \tan x, CH = h \tan y$이고 BH − CH = a가 됩니다. 여기서 y는 $\angle CAH$이며, 직각삼각형 ACH에서 $y = 90^{\circ} - \angle ACH, \angle ACH = 180^{\circ} - \angle C$입니다.

1. 1
   $\angle ACH = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$이므로 y = 90° − 60° = 30°, x = 90° − 30° = 60°
2. 2
   $BH = h \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} h, CH = h \tan 30^{\circ} = (\dfrac{\sqrt{3}}{3}) h$
3. 3
   $\sqrt{3} h - (\dfrac{\sqrt{3}}{3}) h = 4 \to (2\sqrt{3}/3) h = 4$
4. 4
   $h = 4 \times \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$

삼각형의 넓이 $S = (\dfrac{1}{2}) ab \sin C$

삼각형의 넓이는 (밑변 × 높이$) \div 2$입니다. 두 변 a = BC, b = CA와 끼인각 C를 알면, 꼭짓점 A에서 BC에 수선을 내렸을 때 높이가 $b \sin C$이므로 넓이를 바로 쓸 수 있습니다. C가 둔각이면 수선의 발이 연장선 위에 떨어지고 높이는 $b \sin (180^{\circ} - C)$가 됩니다.

사각형의 넓이

평행사변형은 대각선 하나로 합동인 삼각형 두 개로 나뉘므로, 이웃한 두 변 a, b와 끼인각 θ를 알면 넓이는 삼각형 넓이의 2배인 $S = ab \sin \theta$입니다(θ가 둔각이면 $\sin (180^{\circ} - \theta ))$.

일반 사각형은 두 대각선의 길이 p, q와 그 끼인각 θ로 구합니다. 네 꼭짓점을 지나고 대각선에 평행한 직선을 그으면 넓이가 2배인 평행사변형(두 변 p, q, 끼인각 θ)이 생기므로 사각형의 넓이는 그 절반인 $S = (\dfrac{1}{2}) pq \sin \theta$입니다.