이차방정식의 여러 풀이법과 근과 계수의 관계

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이 레슨에서 해볼 일

제곱근·완전제곱식·인수분해로 이차방정식을 푼다.
계수가 분수·소수일 때 먼저 정리한다.
근과 계수 관계는 중학교 기본과 구분한 고교 선택 학습으로 탐색한다.

먼저 볼 개념과 교과 연결

현재 교과의 개념을 연결합니다.

인수분해 공식 ② 이차식 x² + (a + b)x + ab, acx² + (ad + bc)x + bd 제곱근이란?

2022 개정 · 중학교 수학: 9수02-20
2015 개정 · 중학교 수학: 9수02-13
2022 개정 · 고등학교 공통수학1: 10공수1-02-02, 10공수1-02-03c2-3의 판별식 정리와 c4·표시된4문항의 근과 계수 관계는 고교 선택 추가 탐구입니다. 중학교 기본 목표에서 제외합니다.

교육과정 원문 대조 기준이며 교과서 진도와 교사 최종 검토는 확인 중입니다.

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기본 목표 문제0/3 확인

대표 목표를 확인하는 문제입니다. 선택 심화는 별도로 도전할 수 있어요.

전체 진도0%

01. 제곱근과 완전제곱식을 이용한 풀이
0/2 · 0%
02. 근의 공식 — 완전제곱식을 일반화하기
0/3 · 0%
03. 복잡한 이차방정식의 풀이
0/1 · 0%
04. 근과 계수의 관계
0/3 · 0%
기초
0/5 · 0%
응용
0/5 · 0%
심화
0/3 · 0%

개념 카드는 읽은 만큼, 문제는 맞힌 만큼 올라갑니다. 이 기기에만 저장됩니다.

01제곱근과 완전제곱식을 이용한 풀이

$x^{2} = k$ 꼴이면 제곱근을 바로 취할 수 있습니다. 그렇지 않은 식은 그 꼴로 고칩니다.

제곱근을 이용한 풀이

$x^{2} = 5$ 는 로는 풀리지 않지만, 뜻 그대로 읽으면 x는 5의 이므로 $x = \pm \sqrt{5}$ 입니다. $(x - p)^{2} = k$ 도 마찬가지로 x − p가 k의 제곱근이므로 $x - p = \pm \sqrt{k}$ , 즉 $x = p \pm \sqrt{k}$ 입니다. $(k \ge 0$ 일 때만 이 있습니다.)

x^{2} = k \to x = \pm \sqrt{k}, (x - p)^{2} = k \to x = p \pm \sqrt{k} (k \ge 0)

예제

$2x^{2} = 14$ 와 $(x + 3)^{2} = 5$ 를 풀어봅시다.

1
$2x^{2} = 14 \to x^{2} = 7 \to x = \pm \sqrt{7}$
2
$(x + 3)^{2} = 5 \to x + 3 = \pm \sqrt{5} \to x = -3 \pm \sqrt{5}$

완전제곱식을 이용한 풀이

$x^{2} + 6x + 4 = 0$ 은 도 안 되고 $x^{2} = k$ 꼴도 아닙니다. 하지만 x 의 절반을 한 수를 에 더하면 을 으로 만들 수 있습니다. 그러면 $(x + p)^{2} = k$ 꼴이 되어 으로 풀립니다.

x^{2} + 6x

는

x^{2}

과 3x 두 개 — 에

3^{2} = 9

를 더하면 한 변이 x + 3인 정사각형

(x + 3)^{2}

1
을 으로: $x^{2} + 6x = -4$
2
x 6의 절반 3을 한 9를 에 더한다: $x^{2} + 6x + 9 = -4 + 9$
3
을 으로: $(x + 3)^{2} = 5$
4
을 취한다: $x + 3 = \pm \sqrt{5} \to x = -3 \pm \sqrt{5}$

x^{2} + bx + c = 0 \to (x + \frac{b}{2})^{2} = (\frac{b}{2})^{2} - c

Check

$x^{2}$ 가 1이 아니면 먼저 을 그 계수로 나눕니다. $2x^{2} + 8x + 2 = 0 \to x^{2} + 4x + 1 = 0 \to (x + 2)^{2} = 3 \to x = -2 \pm \sqrt{3}$ .

02근의 공식 — 완전제곱식을 일반화하기

$ax^{2} + bx + c = 0$ 을 문자 그대로 완전제곱식으로 풀면 근의 공식이 나옵니다.

근의 공식의 유도

앞 절의 풀이를 a, b, c를 그대로 둔 채 진행하면, 모든 에 통하는 하나의 공식이 나옵니다. 이것이 입니다. 공식을 외우는 것도 중요하지만, 완전제곱식 풀이를 문자로 한 것일 뿐이라는 점을 기억하면 잊어도 다시 만들 수 있습니다.

1
을 a로 나눈다: $x^{2} + (\dfrac{b}{a})x + \dfrac{c}{a} = 0$
2
을 하고, x 의 절반 b/2a 의 을 양변에 더한다: $x^{2} + (\dfrac{b}{a})x + (b/2a)^{2} = -\dfrac{c}{a} + b^{2}/4a^{2}$
3
을 으로, 을 : $(x + b/2a)^{2} = (b^{2} - 4ac)/4a^{2}$
4
을 취한다: $x + b/2a = \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}/2a$
5
b/2a 를 이항: $x = (-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac})/2a$

x = ( -b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac} ) / 2a

짝수 공식 — x의 계수가 짝수일 때

x의 b가 , 즉 b = 2b' 이면 의 안이 $4b'^{2} - 4ac = 4(b'^{2} - ac)$ 가 되어 $\sqrt{4} = 2$ 가 밖으로 나오고, 2a와 됩니다. 그래서 더 간단한 공식이 됩니다. 계산이 줄고 약분 실수도 줄어듭니다.

ax^{2} + 2b'x + c = 0 \to x = \frac{ -b' \pm \sqrt{b'^{2} - ac} }{a}

예제

$x^{2} + 6x + 4 = 0$ 을 공식으로 풀어봅시다. (a = 1, b' = 3, c = 4)

1
$b'^{2} - ac = 9 - 4 = 5$
2
$x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{1} = -3 \pm \sqrt{5}$
3
으로 푼 결과와 같다

중근을 가질 조건

먼저 완전제곱식으로

$x^{2}+10x+k=0$ 에서 이면 $(x+5)^{2}=0$ 이 되어야 하므로 k=25입니다. 이 기본 판단에는 이 필요하지 않아요.

식	두 해가 겹치는 이유
$(x+5)^{2}=0$	x+5=0 한 경우만 가능
$(x-5)^{2}=0$	x−5=0 한 경우만 가능

선택 추가 탐구 · 고등 공통수학1

기존의 $b^{2}-4ac=0$ 조건은 10공수1-02-02의 으로 다시 정리하는 방법입니다.

에서 안 $b^{2} - 4ac$ 가 0이면 ± 가 의미가 없어져 근이 하나로 겹칩니다. 이것이 입니다. 다르게 말하면 이 () = 0 꼴로 되는 경우입니다. $x^{2} + bx + c = 0 (x^{2}$ 1)이 중근을 가지려면 $c = (\dfrac{b}{2})^{2}$ 이어야 합니다.

중근 조건:

b^{2} - 4ac = 0 \Leftrightarrow

좌변이 완전제곱식

예제

$x^{2} + 10x + k = 0$ 이 을 가질 때 k의 값은?

1
공식 기준 $b' = 5, a = 1: b'^{2} - ac = 25 - k$
2
이려면 25 − k = 0 → k = 25
3
확인: $x^{2} + 10x + 25 = (x + 5)^{2} \to$ 중근 x = −5

04근과 계수의 관계

두 근을 구하지 않아도, 계수만 보면 두 근의 합과 곱을 알 수 있습니다.

두 근의 합과 곱

선택 추가 탐구 · 고등 공통수학1

는 10공수1-02-03과 연결합니다. 중학교 기본 학습에는 요구하지 않으며, 이 내용 없이 기본 목표를 완료할 수 있어요.

이 준 두 근을 $\alpha = (-b + \sqrt{D})/2a, \beta = (-b - \sqrt{D})/2a (D = b^{2} - 4ac)$ 라 하고 더해 보면 부분이 지워져 $\alpha + \beta = -2b/2a = -\dfrac{b}{a}$ . 곱하면 합차공식으로 $\alpha \beta = (b^{2} - D)/4a^{2} = 4ac/4a^{2} = \dfrac{c}{a}$ 입니다. 이것이 입니다.

ax^{2} + bx + c = 0

의 두 근

\alpha , \beta : \alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}, \alpha \beta = \dfrac{c}{a}

예제

$2x^{2} - 6x + 3 = 0$ 의 두 근의 합과 곱은?

1
a = 2, b = −6, c = 3
2
합 $= -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-6}{2} = 3$
3
곱 $= \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{2}$

Check

$x^{2} - 4x + 2 = 0$ 의 두 근 α, β에 대해 α² + β² 은 의 변형 $(\alpha + \beta )^{2} - 2\alpha \beta = 4^{2} - 2 \times 2 = 16 - 4 = 12$ 처럼 근을 구하지 않고 계산할 수 있습니다.

합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 만들기

선택 추가 탐구 · 고등 공통수학1

는 10공수1-02-03과 연결합니다. 중학교 기본 학습에는 요구하지 않으며, 이 내용 없이 기본 목표를 완료할 수 있어요.

관계를 거꾸로 쓰면, 두 근의 합이 s, 곱이 p 인 은 $(x^{2}$ 가 1일 때) $x^{2} - sx + p = 0$ 입니다. 에 주의: 합은 빼고, 곱은 더합니다. 두 근이 α, β로 주어지면 $(x - \alpha )(x - \beta ) = 0$ 을 한 것과 같습니다.

x^{2} - (

두 근의 합

)x + (

두 근의 곱

) = 0

예제

두 근이 3과 −2 이고 $x^{2}$ 의 가 1인 은?

1
합 = 3 + (−2) = 1, 곱 $= 3 \times (-2) = -6$
2
$x^{2} - 1\cdot x + (-6) = 0$
3
$x^{2} - x - 6 = 0 ($ 확인: $(x - 3)(x + 2) = x^{2} - x - 6)$

한 근이 주어졌을 때

선택 추가 탐구 · 고등 공통수학1

는 10공수1-02-03과 연결합니다. 중학교 기본 학습에는 요구하지 않으며, 이 내용 없이 기본 목표를 완료할 수 있어요.

의 한 근을 알면 그 근을 해 모르는 를 구할 수 있습니다. 를 쓰면 더 빠릅니다. 계수를 아는 쪽(합 또는 곱)으로 다른 근을 먼저 구하고, 나머지 관계로 모르는 계수를 구합니다.

예제

$x^{2} - 5x + k = 0$ 의 한 근이 2일 때, 다른 근과 k의 값은?

1
두 근의 합은 $-\dfrac{-5}{1} = 5 \to$ 다른 근은 5 − 2 = 3
2
두 근의 곱 $= k \to k = 2 \times 3 = 6$
3
확인: x = 2 → 4 − 10 + k = 0 → k = 6

05레벨별로 풀어보기

개념을 확인했다면 아래 문제로 점검해 보세요. 답을 입력하고 채점하기를 누르면 결과가 나타납니다.

채점표

기초

0/5

응용

0/5

심화

0/3

기초제곱근 풀이, 완전제곱식 꼴 만들기, 근의 합과 곱 읽기

문제 1

3x^{2} = 15

의 해를 구하시오.

(\pm \sqrt{k}

형태로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

(x - 1)^{2} = 4

의 해를 모두 구하시오. (작은 값,큰 값 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

x^{2} - 6x + 2 = 0

을

(x - 3)^{2} = k

꼴로 고칠 때, k의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

[선택 추가 탐구 · 고등 공통수학1]

x^{2} - 5x + 3 = 0

의 두 근의 합을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

[선택 추가 탐구 · 고등 공통수학1]

2x^{2} + 3x - 4 = 0

의 두 근의 곱을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

응용무리수 근 구하기, 짝수 공식, 중근 조건, 분수 계수, 방정식 만들기

문제 1

(x - 3)^{2} = 7

의 두 해 중 큰 해를 구하시오. (예:

2+\sqrt{3}

형태로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

x^{2} - 4x - 1 = 0

을 공식으로 풀 때, 두 해 중 큰 해를 구하시오. (예:

2+\sqrt{3}

형태로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

x^{2} + kx + 25 = 0

이 을 가질 때, k의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

(\dfrac{1}{2})x^{2} - x - 4 = 0

의 해를 모두 구하시오. (작은 값,큰 값 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

[선택 추가 탐구 · 고등 공통수학1] 두 근이 2와 5이고

x^{2}

의 가 1인 을

x^{2} + bx + c = 0

꼴로 쓸 때, b와 c의 값을 구하시오. (b,c 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

심화소수 계수, 한 근으로 계수 구하기, 근과 계수의 관계 활용

문제 1

0.1x^{2} + 0.3x - 1 = 0

의 해를 모두 구하시오. (작은 값,큰 값 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

x^{2} + ax - 6 = 0

의 한 근이 2일 때, a의 값과 다른 한 근을 구하시오. (a,다른 근 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

[선택 추가 탐구 · 고등 공통수학1]

x^{2} - 6x + 4 = 0

의 두 근을 α, β라 할 때, α² + β² 의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

이차방정식의 여러 풀이법과 근과 계수의 관계

이 레슨에서 해볼 일

01제곱근과 완전제곱식을 이용한 풀이

제곱근을 이용한 풀이

완전제곱식을 이용한 풀이

02근의 공식 — 완전제곱식을 일반화하기

근의 공식의 유도

짝수 공식 — x의 계수가 짝수일 때

중근을 가질 조건

03복잡한 이차방정식의 풀이

정리부터 — 분수·소수·괄호

04근과 계수의 관계

두 근의 합과 곱

합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 만들기

한 근이 주어졌을 때

05레벨별로 풀어보기