이차함수의 그래프, 평행이동에서 일반형까지

$y = ax^{2}$의 그래프

가장 기본적인 이차함수 $y = ax^{2}$의 그래프는 원점 (0, 0)을 꼭짓점으로 하고 y축(직선 x = 0)을 축으로 하는 포물선입니다. 축을 기준으로 좌우가 대칭이고, a > 0이면 아래로 볼록, a < 0이면 위로 볼록입니다.

x = 1을 넣으면 y = a이므로, a의 절댓값이 클수록 꼭짓점에서 같은 가로 거리만큼 떨어진 점의 세로 변화량이 커져 폭이 좁아지고, 절댓값이 작을수록 폭이 넓어집니다. 또 $y = ax^{2}$와 $y = -ax^{2}$의 그래프는 x축에 대하여 서로 대칭입니다.

평행이동 — 모양은 그대로, 꼭짓점만 움직인다

그래프를 평행이동해도 폭과 볼록 방향(즉 a)은 변하지 않고 꼭짓점의 위치만 바뀝니다. y축 방향으로 q만큼 옮기면 모든 y값이 q씩 커지므로 $y = ax^{2} + q, x$축 방향으로 p만큼 옮기면 x 자리에 (x − p)가 들어가 $y = a(x - p)^{2}$가 됩니다.

대칭이동 — 뒤집기

그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면 모든 점의 y좌표 부호가 바뀌므로 y를 −y로 바꿉니다. $y = ax^{2}$는 $-y = ax^{2}$, 즉 $y = -ax^{2}$가 되어 a의 부호만 반대가 됩니다. y축에 대하여 대칭이동하면 x를 −x로 바꾸는데, $y = a(-x)^{2} = ax^{2}$이므로 식이 그대로입니다. y축이 이미 이 그래프의 대칭축이기 때문입니다.

완전제곱 꼴(표준형)로 고치기

$y = ax^{2} + bx + c$ 꼴을 일반형, $y = a(x - p)^{2} + q$ 꼴을 표준형이라 합니다. 일반형에서는 꼭짓점이 바로 보이지 않으므로, 이차방정식에서 배운 완전제곱식 만들기로 표준형으로 고칩니다.

1. 1
   $x^{2}$항과 x항을 a로 묶습니다: $y = a(x^{2} + (\dfrac{b}{a})x) + c$
2. 2
   괄호 안에 (x의 계수의 절반)²을 더하고 같은 수를 뺍니다.
3. 3
   완전제곱식 부분은 괄호로 묶고, 빼 준 수에는 a를 곱해 밖으로 꺼내 상수와 합칩니다.
4. 4
   $y = a(x - p)^{2} + q$ 꼴이 되면 꼭짓점 (p, q), 축 x = p를 읽습니다.

1. 1
   x의 계수 −4의 절반은 −2, 그 제곱은 $4 \to y = (x^{2} - 4x + 4) - 4 + 1$
2. 2
   $y = (x - 2)^{2} - 3$
3. 3
   꼭짓점 (2, −3), 축 x = 2. 검산: x = 2를 원래 식에 넣으면 4 − 8 + 1 = −3 ✓

1. 1
   2로 묶기 $\to y = 2(x^{2} + 4x) + 5$
2. 2
   괄호 안에 $(4 \div 2)^{2} = 4$를 더하고 빼기 $\to y = 2(x^{2} + 4x + 4 - 4) + 5$
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   −4를 밖으로 꺼낼 때 2를 곱한다 $\to y = 2(x + 2)^{2} - 8 + 5 = 2(x + 2)^{2} - 3$
4. 4
   꼭짓점 (−2, −3), 축 x = −2. 검산: 2·4 − 16 + 5 = −3 ✓

축의 공식과 y절편

일반형을 항상 같은 절차로 고치면 축은 x = −b/2a가 됩니다. 꼭짓점의 x좌표를 이 공식으로 구한 뒤 원래 식에 대입하면 y좌표가 나옵니다. 또 x = 0을 대입하면 y = c이므로 y절편은 항상 (0, c)입니다. x절편은 이전 레슨처럼 $ax^{2} + bx + c = 0$의 해입니다.

일반형 조작실 · a, b, c

꼭짓점과 한 점을 알 때

꼭짓점 (p, q)를 알면 $y = a(x - p)^{2} + q$에서 p, q는 바로 정해지고 a만 남습니다. 그래프가 지나는 다른 한 점을 대입해 a를 구합니다.

1. 1
   $y = a(x - 1)^{2} + 2$로 놓습니다.
2. 2
   (3, 10) 대입 $\to 10 = a(3 - 1)^{2} + 2 = 4a + 2$
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   4a = 8 → a = 2. 따라서 $y = 2(x - 1)^{2} + 2$

x절편 두 개를 알 때

그래프가 x축과 $x = \alpha , x = \beta$에서 만나면 $ax^{2} + bx + c = 0$의 해가 α, β이므로, 식은 $y = a(x - \alpha )(x - \beta )$ 꼴로 놓을 수 있습니다. 축은 두 x절편의 한가운데인 $x = \dfrac{\alpha + \beta }{2}$입니다.

1. 1
   y = a(x + 1)(x − 3)으로 놓습니다.
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   y절편 (0, −6) 대입 → −6 = a·1·(−3) = −3a → a = 2
3. 3
   $y = 2(x + 1)(x - 3) = 2x^{2} - 4x - 6$. 축은 $x = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1$

세 점을 알 때

특별한 점 없이 지나는 세 점만 알면 $y = ax^{2} + bx + c$에 세 점을 대입해 a, b, c에 관한 연립방정식을 풉니다. y절편 (0, c)가 주어지면 c부터 정하면 편합니다.

1. 1
   (0, 1) 대입 → c = 1
2. 2
   (1, 0) 대입 → a + b + 1 = 0
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   (2, 1) 대입 → 4a + 2b + 1 = 1 → 2a + b = 0 → b = −2a
4. 4
   a − 2a + 1 = 0 → a = 1, b = −2. 따라서 $y = x^{2} - 2x + 1$

a, b, c의 부호 판정

$y = ax^{2} + bx + c$의 그래프에서 a는 볼록한 방향, c는 y절편의 위치로 바로 읽힙니다. b는 축 x = −b/2a의 위치로 판단합니다. 축이 y축의 왼쪽이면 −b/2a < 0, 즉 b/2a > 0이므로 a와 b는 같은 부호이고, 축이 y축의 오른쪽이면 a와 b는 다른 부호입니다. 축이 y축 자체이면 b = 0입니다.

이차함수의 활용 — 가장 큰 값, 가장 작은 값

넓이·높이처럼 어떤 양이 다른 양의 제곱에 따라 변하는 상황은 이차함수로 세울 수 있습니다. 식을 표준형으로 고쳐 꼭짓점을 읽으면 최댓값 또는 최솟값이 나옵니다. 길이는 양수여야 하는 등 변수의 범위도 함께 확인합니다.

1. 1
   가로를 x cm라 하면 가로 + 세로 = 10이므로 세로는 (10 − x) cm (0 < x < 10)
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   넓이 $S = x(10 - x) = -x^{2} + 10x$
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   표준형으로 $\to S = -(x^{2} - 10x + 25) + 25 = -(x - 5)^{2} + 25$
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   a = −1 < 0이므로 x = 5일 때 최댓값 25. 즉 가로·세로가 5cm인 정사각형일 때 넓이 $25\,\mathrm{cm}^{2}$

그래프 → 방정식 → 도형 연결 연습