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중3 수학 · 이차함수

이차함수의 그래프, 평행이동에서 일반형까지

y=ax2y = ax^{2}의 그래프를 옮기고 뒤집으면 모든 이차함수의 그래프가 나옵니다. 일반형 y=ax2+bx+cy = ax^{2} + bx + c에서 꼭짓점을 찾아내는 법, 조건에 맞는 식을 세우는 법, 그래프만 보고 계수의 부호를 읽는 법까지 정리합니다.

↩ 이전 자료: 이차함수, 직선에서 포물선으로

01y=ax2y = ax^{2}의 그래프와 평행이동

가장 단순한 포물선의 모양을 알고, 그것을 옮기는 규칙을 익힙니다.

y=ax2y = ax^{2}의 그래프

가장 기본적인 이차함수 y=ax2y = ax^{2}의 그래프는 원점 (0, 0)을 꼭짓점으로 하고 y축(직선 x = 0)을 축으로 하는 포물선입니다. 축을 기준으로 좌우가 대칭이고, a > 0이면 아래로 볼록, a < 0이면 위로 볼록입니다.

x = 1을 넣으면 y = a이므로, a의 절댓값이 클수록 같은 x에서 그래프가 더 멀리 올라가 폭이 좁아지고, 절댓값이 작을수록 폭이 넓어집니다. 또 y=ax2y = ax^{2}와 y=−ax2y = -ax^{2}의 그래프는 x축에 대하여 서로 대칭입니다.

y=x²y=2x²O
y=x2(y = x^{2}(실선)와 y=2x2(y = 2x^{2}(점선) — a의 절댓값이 클수록 폭이 좁다
조건그래프의 특징
a > 0아래로 볼록, 꼭짓점 (0, 0)에서 최솟값 0
a < 0위로 볼록, 꼭짓점 (0, 0)에서 최댓값 0
|a|가 클수록폭이 좁아진다 (y축에 가까워진다)
|a|가 작을수록폭이 넓어진다 (x축에 가까워진다)

평행이동 — 모양은 그대로, 꼭짓점만 움직인다

그래프를 평행이동해도 폭과 볼록 방향(즉 a)은 변하지 않고 꼭짓점의 위치만 바뀝니다. y축 방향으로 q만큼 옮기면 모든 y값이 q씩 커지므로 y=ax2+q,xy = ax^{2} + q, x축 방향으로 p만큼 옮기면 x 자리에 (x − p)가 들어가 y=a(x−p)2y = a(x - p)^{2}가 됩니다.

y=a(x−p)2+q→y = a(x - p)^{2} + q \to 꼭짓점 (p,q)(p, q), 축 x=px = p
식이동꼭짓점축
y=ax2y = ax^{2}없음(0, 0)x = 0
y=ax2+qy = ax^{2} + qy축 방향으로 q(0, q)x = 0
y=a(x−p)2y = a(x - p)^{2}x축 방향으로 p(p, 0)x = p
y=a(x−p)2+qy = a(x - p)^{2} + qx축 방향 p, y축 방향 q(p, q)x = p
예제

y=2x2y = 2x^{2}의 그래프를 x축 방향으로 3만큼, y축 방향으로 −1만큼 평행이동한 그래프의 식은? x 자리에 (x − 3)을 넣고 끝에 −1을 붙이면 y=2(x−3)2−1y = 2(x - 3)^{2} - 1. 꼭짓점은 (3, −1), 축은 x = 3입니다. x축 방향으로 +3 이동인데 식에는 (x − 3)으로 부호가 반대로 들어간다는 점에 주의하세요.

대칭이동 — 뒤집기

그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면 모든 점의 y좌표 부호가 바뀌므로 y를 −y로 바꿉니다.y=ax2. y = ax^{2}는 −y=ax2-y = ax^{2}, 즉 y=−ax2y = -ax^{2}가 되어 a의 부호만 반대가 됩니다. y축에 대하여 대칭이동하면 x를 −x로 바꾸는데,y=a(−x)2=ax2, y = a(-x)^{2} = ax^{2}이므로 식이 그대로입니다. y축이 이미 이 그래프의 대칭축이기 때문입니다.

Check

y=3x2y = 3x^{2}를 x축에 대하여 대칭이동하면 y=−3x2,yy = -3x^{2}, y축에 대하여 대칭이동하면 그대로 y=3x2y = 3x^{2}입니다. 꼭짓점이 (p, q)인 y=a(x−p)2+qy = a(x - p)^{2} + q를 x축에 대하여 대칭이동하면 y=−a(x−p)2−qy = -a(x - p)^{2} - q가 되어 꼭짓점이 (p, −q)로 옮겨집니다.