원의 성질 (2), 내접원·외접사각형·접선과 현

삼각형의 내접원

삼각형의 세 변에 모두 접하는 원을 내접원, 그 중심을 내심(I)이라 합니다. 접선은 접점에서 반지름과 수직이므로 내심에서 세 변까지의 거리는 모두 반지름 r로 같습니다. 세 접점을 D(AB 위), E(BC 위), F(CA 위)라 하면 각 꼭짓점에서 그은 두 접선의 길이가 같으므로 AD = AF, BD = BE, CE = CF입니다.

이 성질로 세 변을 접점에서 나눈 길이를 구할 수 있습니다. AD = AF = x, BD = BE = y, CE = CF = z로 놓으면 AB = x + y, BC = y + z, CA = z + x가 되어 연립방정식이 됩니다.

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   x + y = 7, y + z = 8, z + x = 9로 놓습니다.
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   세 식을 모두 더하면 2(x + y + z) = 24 → x + y + z = 12
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   x = 12 − (y + z) = 12 − 8 = 4. 따라서 AD = 4 (같은 방법으로 y = 3, z = 5)

직각삼각형$(\angle C = 90^{\circ})$에서는 내심 I, 접점 E, F와 꼭짓점 C가 한 변이 r인 정사각형을 이루므로 CE = CF = r입니다. 그러면 AF = b − r, BE = a − r이고 빗변 c = AD + BD = (b − r) + (a − r)이므로 $r = \dfrac{a + b - c}{2}$가 됩니다.

내접원의 반지름과 삼각형의 넓이

내심 I와 세 꼭짓점을 이으면 삼각형이 세 개(IAB, IBC, ICA)로 나뉘고, 각각의 높이는 모두 r입니다. 세 넓이를 더하면 삼각형의 넓이 $= (\dfrac{1}{2}) r \times ($세 변의 길이의 합)입니다. 넓이와 둘레를 알면 거꾸로 r을 구할 수 있습니다.

원에 외접하는 사각형

네 변이 모두 한 원에 접하는 사각형을 원에 외접하는 사각형이라 합니다. 네 접점에서 각 변을 두 접선의 길이로 쪼개면, 각 꼭짓점에서 나온 두 접선의 길이가 같으므로 마주 보는 두 변의 길이의 합이 서로 같습니다. 거꾸로 이 조건을 만족하는 사각형에는 내접원이 존재합니다.

원주각의 크기와 호의 길이

한 원에서 중심각의 크기는 호의 길이에 정비례하고, 원주각은 중심각의 절반이므로 원주각의 크기도 호의 길이에 정비례합니다. 따라서 길이가 같은 호에 대한 원주각은 같고, 원주각이 2배이면 호의 길이도 2배입니다.

삼각형 ABC가 원에 내접하면 $\angle A$는 호 BC에 대한 원주각, $\angle B$는 호 $CA, \angle C$는 호 AB에 대한 원주각입니다. 그래서 세 호의 길이의 비 = 세 내각의 크기의 비이고, 세 내각의 합이 180°이므로 각 내각을 비례배분으로 구할 수 있습니다.

네 점이 한 원 위에 있을 조건

같은 호에 대한 원주각은 어디서 재도 같았습니다. 이 성질은 거꾸로도 성립합니다. 두 점 C, D가 직선 AB에 대하여 같은 쪽에 있고 $\angle ACB = \angle ADB$이면 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있습니다. 즉 '선분 AB를 같은 쪽에서 같은 각으로 바라보는 점'은 모두 한 원 위에 놓입니다.

외각의 크기는 내대각의 크기와 같다

원에 내접하는 사각형 ABCD에서 $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$였습니다. 변 BC를 C 너머로 연장한 점을 E라 하면 $\angle DCE$는 $\angle C$의 외각이고 $\angle DCE = 180^{\circ} - \angle C$입니다. 두 식을 합치면 $\angle DCE = \angle A$, 즉 한 외각은 그와 마주 보는 안쪽 각(내대각)과 같습니다.

사각형이 원에 내접하기 위한 조건

지금까지의 성질을 거꾸로 쓰면, 다음 중 하나만 확인해도 그 사각형은 원에 내접합니다.

접선과 현이 이루는 각 = 그 현에 대한 원주각

원 위의 점 T에서 그은 접선 TX와 현 TA가 이루는 각 $\angle ATX$는, 그 각 안쪽의 호 AT에 대한 원주각 $\angle ABT$와 같습니다(B는 호 AT의 반대쪽에 있는 원 위의 점).

왜 그럴까요? 점 T를 지나는 지름 TD를 그어 봅니다. 접선은 반지름과 수직이므로 $\angle DTX = 90^{\circ}$이고, 반원에 대한 원주각이므로 $\angle TAD = 90^{\circ}$입니다. 직각삼각형 TAD에서 $\angle TDA = 90^{\circ} - \angle ATD$이고, $\angle ATX = 90^{\circ} - \angle ATD$이므로 $\angle ATX = \angle TDA$. 그런데 $\angle TDA$는 호 AT에 대한 원주각이라 $\angle ABT$와 같습니다.

두 원에서 접선과 현이 이루는 각

두 원이 한 점 T에서 접할 때, T를 지나는 두 직선이 한 원과 A, B에서, 다른 원과 C, D에서 만난다고 합시다. T에서 두 원의 공통인 접선을 그으면, 접선과 현이 이루는 각의 성질을 두 원에서 한 번씩 써서 $\angle BAT = \angle DCT$가 됩니다. 두 원이 외접하면 이 두 각이 엇각 위치에, 내접하면 동위각 위치에 놓이므로 어느 경우든 $AB \parallel CD$입니다.