원의 성질 (2), 내접원·외접사각형·접선과 현

삼각형의 내접원

삼각형의 세 변에 모두 접하는 원을 내접원, 그 중심을 내심(I)이라 합니다. 접선은 접점에서 반지름과 수직이므로 내심에서 세 변까지의 거리는 모두 반지름 r로 같습니다. 세 접점을 D(AB 위), E(BC 위), F(CA 위)라 하면 각 꼭짓점에서 그은 두 접선의 길이가 같으므로 AD = AF, BD = BE, CE = CF입니다.

이 성질로 세 변을 접점에서 나눈 길이를 구할 수 있습니다. AD = AF = x, BD = BE = y, CE = CF = z로 놓으면 AB = x + y, BC = y + z, CA = z + x가 되어 연립방정식이 됩니다.

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   x + y = 7, y + z = 8, z + x = 9로 놓습니다.
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   세 식을 모두 더하면 2(x + y + z) = 24 → x + y + z = 12
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   x = 12 − (y + z) = 12 − 8 = 4. 따라서 AD = 4 (같은 방법으로 y = 3, z = 5)

직각삼각형$(\angle C = 90^{\circ})$에서는 내심 I, 접점 E, F와 꼭짓점 C가 한 변이 r인 정사각형을 이루므로 CE = CF = r입니다. 그러면 AF = b − r, BE = a − r이고 빗변 c = AD + BD = (b − r) + (a − r)이므로 r = (a + b − c)/2가 됩니다.

내접원의 반지름과 삼각형의 넓이

내심 I와 세 꼭짓점을 이으면 삼각형이 세 개(IAB, IBC, ICA)로 나뉘고, 각각의 높이는 모두 r입니다. 세 넓이를 더하면 삼각형의 넓이 $= (1/2) r \times ($세 변의 길이의 합)입니다. 넓이와 둘레를 알면 거꾸로 r을 구할 수 있습니다.

원에 외접하는 사각형

네 변이 모두 한 원에 접하는 사각형을 원에 외접하는 사각형이라 합니다. 네 접점에서 각 변을 두 접선의 길이로 쪼개면, 각 꼭짓점에서 나온 두 접선의 길이가 같으므로 마주 보는 두 변의 길이의 합이 서로 같습니다. 거꾸로 이 조건을 만족하는 사각형에는 내접원이 존재합니다.