삼각형의 성질, 이등변삼각형에서 외심·내심까지

이등변삼각형의 성질

이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형입니다. 길이가 같은 두 변 사이의 각을 꼭지각, 꼭지각의 대변을 밑변, 밑변의 양 끝 각을 밑각이라고 합니다.

AB = AC인 $\triangle ABC$에서 꼭지각 A의 이등분선을 그어 밑변과 만나는 점을 D라 하면, $\triangle ABD$와 $\triangle ACD$는 $AB = AC, \angle BAD = \angle CAD, AD$는 공통이므로 SAS 합동입니다. 합동인 두 삼각형에서 대응하는 부분은 같으므로 $\angle B = \angle C, BD = CD$이고, $\angle ADB = \angle ADC$인데 두 각의 합이 180°이므로 각각 90°입니다.

이등변삼각형이 되는 조건

거꾸로 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 그 두 각의 대변의 길이가 같으므로 이등변삼각형입니다. 즉 '두 변이 같다'와 '두 각이 같다'는 서로를 보장하는 조건입니다. 이 사실은 어떤 삼각형이 이등변삼각형임을 보일 때 자주 씁니다.

직각삼각형의 합동 조건

삼각형의 합동 조건(SSS, SAS, ASA)은 세 가지 정보가 필요하지만, 직각삼각형은 직각이라는 정보를 이미 갖고 있으므로 두 가지만 더 있으면 합동이 됩니다. 빗변(Hypotenuse)을 포함해 다음 두 경우입니다.

각의 이등분선의 성질

각 AOB의 이등분선 위의 한 점 P에서 두 변 OA, OB에 내린 수선의 발을 각각 Q, R이라 하면, $\triangle POQ$와 $\triangle POR$은 $\angle PQO = \angle PRO = 90^{\circ}$, 빗변 OP 공통, $\angle POQ = \angle POR$이므로 RHA 합동입니다. 따라서 PQ = PR — 각의 이등분선 위의 점에서 각의 두 변까지의 거리는 같습니다. 거꾸로 각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 그 각의 이등분선 위에 있습니다. (RHS 합동)

외심의 뜻과 성질

삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원을 외접원, 그 중심을 외심(보통 O로 표시)이라고 합니다. 외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리(외접원의 반지름)에 있습니다. 두 점 A, B에서 같은 거리에 있는 점들은 선분 AB의 수직이등분선 위에 있으므로, 외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점입니다.

외심의 활용

OA = OB = OC이므로 $\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCA$는 모두 이등변삼각형이고, 각각의 두 밑각이 같습니다. $\angle OAB = \angle OBA = x, \angle OAC = \angle OCA = y$라 하면 $\angle A = x + y$입니다. (외심이 내부에 있을 때$) \triangle OAB$에서 $\angle AOB = 180^{\circ} - 2x, \triangle OCA$에서 $\angle AOC = 180^{\circ} - 2y$이므로 $\angle BOC = 360^{\circ} - (180^{\circ} - 2x) - (180^{\circ} - 2y) = 2x + 2y = 2\angle A$입니다.

또 $\angle OBC = \angle OCB = z$라 하면 세 이등변삼각형의 밑각을 모두 더한 2x + 2y + 2z가 삼각형 세 내각의 합 180°이므로 $\angle OAB + \angle OBC + \angle OCA = x + y + z = 90^{\circ}$입니다.

내심의 뜻과 성질

삼각형의 세 변에 모두 접하는 원을 내접원, 그 중심을 내심(보통 I로 표시)이라고 합니다. 내심에서 세 변까지의 거리는 모두 내접원의 반지름 r로 같습니다. 각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 그 각의 이등분선 위에 있으므로(02절), 내심은 세 내각의 이등분선이 만나는 점입니다. 내심은 삼각형의 종류에 상관없이 항상 내부에 있습니다.

내심 I와 세 꼭짓점을 이으면 삼각형이 세 개$(\triangle IAB, \triangle IBC, \triangle ICA)$로 나뉘고, 각각의 높이가 r입니다. 따라서 세 변의 길이를 a, b, c라 할 때 $\triangle ABC$의 넓이 = ½ r (a + b + c)입니다.

내심의 활용

BI, CI는 각각 $\angle B, \angle C$의 이등분선이므로 $\angle IBC =$ ½$\angle B, \angle ICB =$ ½$\angle C$입니다. $\triangle IBC$에서 $\angle BIC = 180^{\circ} -$ ½$(\angle B + \angle C)$인데, $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$이므로 $\angle BIC = 180^{\circ} -$ ½$(180^{\circ} - \angle A) =$ 90° + ½$\angle A$입니다.

또 세 내각의 절반을 모두 더하면 $\angle IAB + \angle IBC + \angle ICA =$ ½ $\times 180^{\circ} = 90^{\circ}$입니다. 외심의 x + y + z = 90°와 모양은 같지만 이유가 다르다는 점에 주의하세요.

외심과 내심의 비교