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01다면체와 정다면체

면이 다각형으로만 이루어진 입체도형을 세고 분류합니다.

다면체 — 각기둥, 각뿔, 각뿔대

다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형을 다면체라 하고, 면의 개수에 따라 사면체, 오면체, 육면체, …라 부릅니다. 대표적인 다면체는 두 밑면이 평행하고 합동인 각기둥, 밑면이 하나이고 옆면이 모두 삼각형인 각뿔, 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라 낸 아래쪽 도형인 각뿔대입니다.

밑면이 n각형	면의 개수	모서리의 개수	꼭짓점의 개수
n각기둥	n + 2	3n	2n
n각뿔	n + 1	2n	n + 1
n각뿔대	n + 2	3n	2n

예제

오각기둥과 육각뿔의 면·모서리·꼭짓점의 개수는? 오각기둥: 면 5 + 2 = 7개, 모서리 $3 \times 5 = 15$ 개, 꼭짓점 $2 \times 5 = 10$ 개. 육각뿔: 면 6 + 1 = 7개, 모서리 $2 \times 6 = 12$ 개, 꼭짓점 6 + 1 = 7개.

정다면체는 왜 5종류뿐인가

모든 면이 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 다면체를 정다면체라 합니다. 입체가 되려면 한 꼭짓점에 면이 3개 이상 모여야 하고, 그 꼭짓점에 모인 각의 크기의 합이 360°보다 작아야 합니다. 이 조건을 만족하는 경우가 다섯 가지뿐입니다.

정다면체	면의 모양	한 꼭짓점에 모인 면	면	모서리	꼭짓점
정사면체	정삼각형	3개	4	6	4
정육면체	정사각형	3개	6	12	8
정팔면체	정삼각형	4개	8	12	6
정십이면체	정오각형	3개	12	30	20
정이십면체	정삼각형	5개	20	30	12

Check

정삼각형(한 각 60°)은 3개(180°), 4개(240°), 5개(300°)까지 모을 수 있지만 6개면 360°가 되어 평면이 됩니다. 정사각형(90°)과 정오각형(108°)은 3개씩만 가능하고, 정육각형(120°)은 3개만 모아도 360°라서 정다면체를 만들 수 없습니다.