입체도형 — 다면체·회전체와 겉넓이·부피

다면체 — 각기둥, 각뿔, 각뿔대

다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형을 다면체라 하고, 면의 개수에 따라 사면체, 오면체, 육면체, …라 부릅니다. 대표적인 다면체는 두 밑면이 평행하고 합동인 각기둥, 밑면이 하나이고 옆면이 모두 삼각형인 각뿔, 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라 낸 아래쪽 도형인 각뿔대입니다.

정다면체는 왜 5종류뿐인가

모든 면이 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 다면체를 정다면체라 합니다. 입체가 되려면 한 꼭짓점에 면이 3개 이상 모여야 하고, 그 꼭짓점에 모인 각의 크기의 합이 360°보다 작아야 합니다. 이 조건을 만족하는 경우가 다섯 가지뿐입니다.

회전체와 원뿔대

평면도형을 한 직선(회전축)을 중심으로 한 바퀴 돌릴 때 생기는 입체도형을 회전체라 합니다. 직사각형을 돌리면 원기둥, 직각삼각형을 돌리면 원뿔, 반원을 돌리면 구가 됩니다. 원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라 낸 아래쪽 도형은 원뿔대이며, 두 밑변에 모두 수직인 변이 있는 사다리꼴을 그 변을 축으로 돌려도 만들 수 있습니다. 원뿔이나 원기둥의 옆면을 이루는 선분을 모선이라 합니다.

회전체의 단면

회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자르면 단면은 항상 원입니다. 회전축을 포함하는 평면으로 자르면 단면은 모두 합동이고 회전축을 대칭축으로 하는 선대칭도형입니다.

각기둥과 원기둥의 겉넓이

기둥의 전개도는 밑면 2개와 옆면으로 이루어집니다. 옆면을 펼치면 가로가 밑면의 둘레, 세로가 높이인 직사각형이 되므로 옆넓이 = (밑면의 둘레) × (높이)입니다. 원기둥은 밑면의 둘레가 $2\pi r$이므로 옆넓이가 $2\pi rh$가 됩니다.

기둥의 부피

기둥은 밑면을 높이만큼 쌓아 올린 것이므로 부피는 밑넓이 × 높이입니다. 각기둥이든 원기둥이든 같습니다.

각뿔과 원뿔의 부피

밑면과 높이가 같은 뿔 모양 그릇에 물을 가득 담아 기둥 모양 그릇에 부으면 정확히 3번 만에 가득 찹니다. 즉 뿔의 부피는 기둥의 부피의 $\dfrac{1}{3}$입니다.

각뿔과 원뿔의 겉넓이

각뿔의 겉넓이는 밑넓이에 옆면 삼각형들의 넓이를 모두 더한 값입니다. 원뿔의 옆면을 펼치면 반지름이 모선의 길이 l이고 호의 길이가 밑면의 둘레 $2\pi r$인 부채꼴이 됩니다. 부채꼴의 넓이 공식 $S = (\dfrac{1}{2}) \times ($반지름) × (호의 길이)를 쓰면 옆넓이 $= (\dfrac{1}{2}) \times l \times 2\pi r = \pi rl$입니다.

구의 겉넓이와 부피

반지름이 r인 구의 겉넓이는 반지름이 r인 원의 넓이의 4배이고, 부피는 이 구가 꼭 맞게 들어가는 원기둥(반지름 r, 높이 2r) 부피 $2\pi r^{3}$의 $\dfrac{2}{3}$입니다.

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   반지름 r을 확인합니다. 지름이 주어졌으면 반으로 나눕니다.
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   겉넓이는 $4\pi r^{2}$, 부피는 $(\dfrac{4}{3})\pi r^{3}$에 대입합니다.
3. 3
   예: 반지름 3이면 겉넓이 $= 4\pi \times 9 = 36\pi$, 부피 $= (\dfrac{4}{3})\pi \times 27 = 36\pi$