다각형의 대각선과 원·부채꼴

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선

다각형에서 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 이은 선분을 대각선이라 합니다. n각형의 한 꼭짓점에서는 자기 자신과 양옆의 이웃한 두 꼭짓점을 제외한 나머지 꼭짓점으로만 대각선을 그을 수 있으므로, 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 (n − 3)개입니다.

대각선의 총 개수 공식 유도

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   한 꼭짓점에서 (n − 3)개의 대각선을 그을 수 있습니다.
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   꼭짓점이 n개이므로 모두 $n \times (n - 3)$개가 됩니다.
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   그런데 꼭짓점 A에서 C로 그은 대각선과 C에서 A로 그은 대각선은 같은 것이므로, 모든 대각선이 두 번씩 세어졌습니다.
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   따라서 2로 나누면 대각선의 총 개수가 됩니다.

호, 현, 중심각, 부채꼴, 활꼴

원 위의 두 점 A, B로 원이 두 부분으로 나뉘는데, 각 부분을 호 AB라 합니다. 두 점 A, B를 이은 선분은 현 AB입니다. 두 반지름 OA, OB와 호 AB로 둘러싸인 도형을 부채꼴, 이때 $\angle AOB$를 호 AB에 대한 중심각이라 합니다. 현 AB와 호 AB로 둘러싸인 도형은 활꼴입니다.

중심각의 크기와 호의 길이·넓이

한 원에서 중심각의 크기가 2배, 3배가 되면 그에 대한 호의 길이도 2배, 3배가 됩니다. 부채꼴의 넓이도 마찬가지입니다. 즉 호의 길이와 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례합니다. 하지만 현의 길이는 중심각에 정비례하지 않습니다(중심각을 2배로 해도 현은 2배가 되지 않습니다).

원주율 π와 원의 둘레·넓이

원의 크기와 상관없이 (원의 둘레) ÷ (지름)은 항상 같은 값 3.14159…이고, 이 값을 원주율 π라고 씁니다. 지름이 2r이므로 반지름이 r인 원의 둘레는 $2\pi r$입니다. 원을 아주 잘게 부채꼴로 잘라 번갈아 이어 붙이면 가로 $\pi r($둘레의 절반), 세로 r인 직사각형에 가까워지므로 넓이는 $\pi r^{2}$이 됩니다.

중심각의 비율로 구하기

부채꼴은 원을 중심각의 크기만큼 잘라 낸 것입니다. 원 한 바퀴가 360°이므로, 중심각이 x°인 부채꼴은 원 전체의 $\dfrac{x}{360}$입니다. 따라서 호의 길이는 원의 둘레에, 넓이는 원의 넓이에 이 비율을 곱하면 됩니다.

호의 길이로 넓이 구하기

중심각을 모르고 호의 길이 l만 알 때도 넓이를 구할 수 있습니다. $S = \pi r^{2} \times (\dfrac{x}{360}) = (\dfrac{1}{2}) \times r \times (2\pi r \times \dfrac{x}{360})$인데, 괄호 안이 바로 호의 길이 l이기 때문입니다. 삼각형의 넓이 공식 $(\dfrac{1}{2}) \times$ 밑변 × 높이와 모양이 같다고 기억하면 편합니다.

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   반지름 r과 호의 길이 l이 주어졌는지 확인합니다.
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   $S = (\dfrac{1}{2}) \times r \times l$에 대입합니다.
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   예: 반지름 5, 호의 길이 $4\pi$이면 $S = (\dfrac{1}{2}) \times 5 \times 4\pi = 10\pi$