방정식으로 도형 문제 풀기

둘레 (Perimeter)

둘레는 도형의 테두리를 따라 한 바퀴 돌았을 때의 길이의 합입니다. 테두리를 실로 감아서 편 다음 그 실의 길이를 재는 것과 같습니다. 길이를 재는 것이므로 단위는 cm, m처럼 1차원 단위를 씁니다.

넓이 (Area)

넓이는 도형이 평면 위에서 차지하는 면의 크기입니다. 한 변이 1cm인 정사각형(넓이 $1\,\mathrm{cm}^{2})$이 도형 안에 몇 개 들어가는지를 세는 것과 같은 개념입니다. 면을 재는 것이므로 단위는 $cm^{2}, m^{2}$처럼 2차원(제곱) 단위를 씁니다.

단위를 헷갈리지 않는 법

공식이 왜 이런 모양일까? — 삼각형의 경우

합동인 삼각형 두 개를 이어 붙이면 밑변×높이 크기의 평행사변형이 됩니다. 삼각형 하나는 그 절반이므로, 삼각형의 넓이는 밑변 × 높이 $\div 2$가 됩니다. 이렇게 새로운 도형의 넓이 공식은 이미 아는 도형(주로 직사각형)으로부터 유도됩니다.

공식 한눈에 정리

밑변이 세로여도 높이는 수직 거리

높이는 꼭짓점에서 밑변에 수직으로 잰 거리입니다. 밑변을 세로로 잡으면 높이는 가로로 잽니다. 기울어진 변과 구분해 보세요.

원주율 π (파이)

어떤 원이든 (원의 둘레) ÷ (지름)을 계산하면 항상 같은 값이 나옵니다. 이 일정한 값을 원주율이라 하고 기호 π로 나타냅니다. π는 3.14159…로 끝없이 이어지는 수이지만, 중학교 과정에서는 보통 $\pi \approx 3.14$로 계산하거나, 계산이 딱 떨어지지 않을 때는 π 기호를 그대로 남겨서 답합니다.

원의 둘레 (원주)

원의 넓이

핵심 아이디어

넓이 공식에서 모르는 변의 길이를 x로 놓으면, 공식 자체가 하나의 방정식이 됩니다. 이전 자료에서 배운 이항과 등식의 성질을 그대로 사용해서 x를 구하면 됩니다.

풀이 절차 3단계

1. 1
   구하려는 길이를 x로 놓습니다.
2. 2
   알맞은 넓이(또는 둘레) 공식에 x와 주어진 값을 대입해 방정식을 세웁니다.
3. 3
   이항과 등식의 성질을 이용해 x에 대해 정리하고 풉니다.

1. 1
   세로를 x cm로 놓습니다.
2. 2
   직사각형 넓이 공식에 대입 → 8x = 48
3. 3
   양변을 8로 나누면 → x = 6 (세로는 6cm)

1. 1
   세로를 x cm로 놓으면, 가로는 (x+3) cm로 나타낼 수 있습니다.
2. 2
   둘레 공식(가로+세로를 2번)에 대입 $\to 2 \times (x + (x+3)) = 34$
3. 3
   괄호를 풀어 정리 → 2(2x+3) = 34 → 4x+6 = 34 → 4x = 28 → x = 7 (세로는 7cm, 가로는 10cm)