도형의 닮음, 모양은 같고 크기만 다른 도형

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이 레슨에서 해볼 일

대응 변·대응각과 닮음 조건을 같은 순서로 비교한다.
평행선·중점·무게중심의 길이 비를 닮음과 연결한다.

먼저 볼 개념과 교과 연결

현재 교과의 개념을 연결합니다.

직각삼각형의 합동 조건 평행선의 성질 — 동위각과 엇각

2022 개정 · 중학교 수학: 9수03-12중점연결·무게중심은 닮음과 평행선 비의 연결입니다. 넓이·부피 비와 복합 도형은 선택 보충이며 길이 비와 구별합니다.
2022 개정 · 중학교 수학: 9수03-13중점연결·무게중심은 닮음과 평행선 비의 연결입니다. 넓이·부피 비와 복합 도형은 선택 보충이며 길이 비와 구별합니다.
2022 개정 · 중학교 수학: 9수03-14중점연결·무게중심은 닮음과 평행선 비의 연결입니다. 넓이·부피 비와 복합 도형은 선택 보충이며 길이 비와 구별합니다.
2015 개정 · 중학교 수학: 9수04-13, 9수04-14, 9수04-152015 원문의 대응 주제입니다. 2022와 코드·배치·적용 한계를 동일하게 보지 않습니다.

교육과정 원문 대조 기준이며 교과서 진도와 교사 최종 검토는 확인 중입니다.

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기본 목표 문제0/3 확인

대표 목표를 확인하는 문제입니다. 선택 심화는 별도로 도전할 수 있어요.

전체 진도0%

01. 닮은 도형과 닮음 조건
0/3 · 0%
02. 평행선과 선분의 길이의 비
0/3 · 0%
03. 중점연결정리와 무게중심
0/3 · 0%
04. 닮음의 활용
0/2 · 0%
기초
0/5 · 0%
응용
0/5 · 0%
심화
0/3 · 0%

개념 카드는 읽은 만큼, 문제는 맞힌 만큼 올라갑니다. 이 기기에만 저장됩니다.

01닮은 도형과 닮음 조건

확대·축소해서 겹쳐지는 두 도형, 그리고 삼각형이 닮았음을 판정하는 세 조건.

닮음과 닮음비

한 도형을 일정한 로 확대하거나 축소하여 다른 도형과 이 될 때, 두 도형은 서로 이라 하고 기호 ∽로 나타냅니다. $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ 라고 쓸 때는 하는 순서대로 씁니다(A↔D, B↔E, C↔F). 대응변의 길이의 비를 라 합니다.

의 성질	$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ 일 때
변의 길이의 비가 모두 같다 (= )	AB : DE = BC : EF = CA : FD
대응각의 크기가 각각 같다	$\angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F$

에서는 하는 의 길이의 비가 일정하고, 대응하는 면은 서로 닮은 도형입니다. 은 가 1 : 1인 특별한 닮음입니다.

Check

$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ 에서 AB = 4, DE = 6 이면 는 4 : 6 = 2 : 3 입니다. BC = 5 이면 $EF = 5 \times \dfrac{3}{2} = 7.5$ 이고, $\angle A = 50^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}$ 이면 $\angle F = \angle C = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 60^{\circ} = 70^{\circ}$ 입니다.

삼각형의 닮음 조건

삼각형의 조건(SSS, SAS, ASA)처럼, 여섯 요소를 다 확인하지 않아도 을 판정할 수 있는 조건이 세 가지 있습니다.

조건	내용
SSS	세 쌍의 변의 길이의 비가 같다
SAS 닮음	두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같다
AA 닮음	두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같다

AA 이 가장 자주 쓰입니다. 삼각형의 의 합이 180°이므로 두 각이 같으면 나머지 한 각도 자동으로 같기 때문입니다. 선(·), 공통인 각, 이 보이면 AA 닮음을 의심하세요.

예제

$\triangle ABC$ 에서 $\angle A = 40^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}$ 이고, $\triangle DEF$ 에서 $\angle D = 40^{\circ}, \angle E = 60^{\circ}$ 이다. 두 삼각형은 인가?

1
$\angle A = \angle D = 40^{\circ}, \angle B = \angle E = 60^{\circ}$ 로 두 쌍의 각이 같습니다.
2
AA $\to \triangle ABC \backsim \triangle DEF ($ 나머지 각도 $\angle C = \angle F = 80^{\circ}$ 로 같습니다)

직각삼각형의 닮음

$\angle A = 90^{\circ}$ 인 ABC에서 A로부터 BC에 AH를 내리면, $\triangle ABC, \triangle HBA, \triangle HAC$ 세 직각삼각형은 모두 입니다. 하나에 $\angle B($ 또는 $\angle C)$ 를 공통으로 가지므로 AA 닮음입니다.

\angle A = 90^{\circ}

인

\triangle ABC

와 BC에 내린 AH —

\triangle ABC, \triangle HBA, \triangle HAC

가 모두

삼각형		결과
$\triangle ABC \backsim \triangle HBA$	AB : HB = BC : BA	$AB^{2} = BH \times BC$
$\triangle ABC \backsim \triangle HAC$	AC : HC = BC : AC	$AC^{2} = CH \times CB$
$\triangle HBA \backsim \triangle HAC$	HB : HA = HA : HC	$AH^{2} = BH \times CH$

AH^{2} = BH \times CH, AB^{2} = BH \times BC, AC^{2} = CH \times CB

예제

BH = 2, CH = 8 이면 $AH^{2} = 2 \times 8 = 16$ 이므로 AH = 4 입니다.

02평행선과 선분의 길이의 비

평행선이 있으면 닮은 삼각형이 생기고, 닮은 삼각형이 있으면 비례식이 나옵니다.

삼각형에서 평행선과 길이의 비

$\triangle ABC$ 의 두 변 AB, AC(또는 그 ) 위에 점 D, E가 있고 $DE \parallel BC$ 이면, $\angle A$ 는 공통이고 으로 $\angle ADE = \angle ABC$ 이므로 $\triangle ADE \backsim \triangle ABC (AA$ )입니다. 그래서 다음 이 성립합니다.

DE \parallel BC

이면

\angle ADE = \angle ABC

AD : AB = AE : AC = DE : BC

여기서 AD : AB = AE : AC 를 정리하면 AD : DB = AE : EC 도 얻습니다. 주의할 점: DE : BC 는 AD : AB 와 같지, AD : DB 와는 같지 않습니다. 반대로 AD : DB = AE : EC 이면 $DE \parallel BC$ 입니다(역도 성립).

AD : DB = AE : EC

예제

$DE \parallel BC$ 이고 AD = 6, DB = 3, AE = 8 일 때 EC는?

1
AD : DB = AE : EC → 6 : 3 = 8 : EC
2
$6 \times EC = 24 \to EC = 4$

평행선 사이의 선분의 길이의 비

세 개 이상의 선이 두 과 만날 때, 평행선 사이에 잘린 의 길이의 비는 두 직선에서 서로 같습니다. 한 직선을 평행하게 옮겨 두 직선이 한 점에서 만나게 만들면, 바로 앞에서 본 '삼각형에서 평행선과 길이의 비'로 돌아가기 때문입니다.

l \parallel m \parallel n

이면

a : b = c : d

여기서 a, b는 한 이 선 l·m, m·n 사이에서 잘린 , c, d는 다른 직선이 같은 순서로 잘린 선분입니다.

l \parallel m \parallel n

이면 a : b = c : d

예제

a = 3, b = 6, c = 5 일 때 d는?

1
3 : 6 = 5 : d
2
3d = 30 → d = 10

삼각형의 각의 이등분선

$\triangle ABC$ 에서 $\angle A$ 의 이 BC와 만나는 점을 D라 하면, AB : AC = BD : CD 입니다. 이유: C를 지나 AD에 한 을 그어 BA의 과 만나는 점을 E라 하면, 과 으로 $\angle AEC = \angle BAD = \angle DAC = \angle ACE$ 이므로 $\triangle ACE$ 는 이 되어 AE = AC 입니다. $\triangle BCE$ 에서 $AD \parallel EC$ 이므로 BD : DC = BA : AE = AB : AC 입니다.

CE \parallel AD

로 그으면

\triangle ACE

는 (AE = AC)

AB : AC = BD : CD

예제

AB = 10, AC = 5, BC = 9 이고 AD가 $\angle A$ 의 일 때 BD는?

1
BD : DC = AB : AC = 10 : 5 = 2 : 1
2
$BD = BC \times \dfrac{2}{2+1} = 9 \times \dfrac{2}{3} = 6$

03중점연결정리와 무게중심

'중점'이 보이면 닮음비 1 : 2가 숨어 있습니다.

삼각형의 중점연결정리

$\triangle ABC$ 에서 AB, AC의 을 M, N이라 하면 AM : AB = AN : AC = 1 : 2 이므로, 선과 길이의 비의 역에 의해 $MN \parallel BC$ 이고 $\triangle AMN \backsim \triangle ABC ($ 1 : 2)에서 MN = ½BC 입니다. 이를 라 합니다.

두 변의 을 이은 MN은 BC와 하고 길이는 BC의 절반

MN \parallel BC, MN =

½

BC

반대로 M이 AB의 이고 $MN \parallel BC$ 이면, N은 AC의 중점입니다.

Check

BC = 10 이면 두 변의 을 이은 MN = 5 입니다.

사다리꼴의 중점연결정리

$AD \parallel BC$ 인 ABCD에서 AB, DC의 을 M, N이라 하면 $MN \parallel AD \parallel BC$ 입니다. BD를 그어 MN과 만나는 점을 P라 하면, $\triangle ABD$ 에서 MP = ½ $AD, \triangle DBC$ 에서 PN = ½BC 이므로 둘을 더해

MN =

½

(AD + BC)

MN \parallel AD \parallel BC, MN

이 두 과 만나는 점 P, Q

MN이 BD, AC와 만나는 점을 각각 P, Q라 하면 $\triangle ABD$ 에서 MP = ½ $AD, \triangle ABC$ 에서 MQ = ½BC 이므로 (BC > AD 일 때)

PQ = MQ - MP =

½

(BC - AD)

Check

AD = 4, BC = 10 이면 MN = ½(4 + 10) = 7 이고, PQ = ½(10 − 4) = 3 입니다.

삼각형의 무게중심

삼각형의 한 과 마주보는 변의 을 이은 을 이라 합니다. 세 중선은 한 점에서 만나는데, 이 점이 G입니다.

세 AD, BE, CF가 만나는 점 G — 은 각 중선을 쪽에서 2 : 1로 나눈다

은 각 을 쪽에서 2 : 1로 나눕니다. 이유: 중선 BE, CF의 을 G라 하면 로 $FE \parallel BC, FE =$ ½BC 이므로 $\triangle GFE \backsim \triangle GCB (AA$ , 1 : 2)이고, 따라서 GE : GB = GF : GC = 1 : 2 입니다.

AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2 : 1

: 은 을 이등분하고 가 같으므로 삼각형의 넓이를 이등분합니다. 세 중선은 삼각형을 넓이가 같은 여섯 개의 삼각형으로 나눕니다.

\triangle GAF = \triangle GFB = \triangle GBD = \triangle GDC = \triangle GCE = \triangle GEA =

⅙

\triangle ABC, \triangle GAB = \triangle GBC = \triangle GCA =

⅓

\triangle ABC

예제

AD = 15 이면 $AG = 15 \times \dfrac{2}{3} = 10, GD = 5$ 입니다. $\triangle ABC = 30\,\mathrm{cm}^{2}$ 이면 $\triangle GBD = 5\,\mathrm{cm}^{2}, \triangle GBC = 10\,\mathrm{cm}^{2}$ 입니다.

04닮음의 활용

길이의 비를 알면 넓이·부피의 비도 알 수 있고, 잴 수 없는 높이도 잴 수 있습니다.

닮은 도형의 둘레·넓이·부피의 비

가 m : n인 두 은 모든 길이가 m : n이므로 의 비도 m : n입니다. 는 (가로 × 세로)처럼 길이 두 개의 곱이므로 넓이의 비는 $m^{2} : n^{2}$ 입니다. 에서 는 넓이이므로 $m^{2} : n^{2}$ , 는 길이 세 개의 곱이므로 $m^{3} : n^{3}$ 입니다.

비교 대상	m : n 일 때
의 비	m : n
의 비	$m^{2} : n^{2}$
의 비	$m^{2} : n^{2}$
의 비	$m^{3} : n^{3}$

예제

가 1 : 3인 두 삼각형에서 작은 삼각형의 가 $5\,\mathrm{cm}^{2}$ 이면 큰 삼각형의 넓이는?

1
의 비 $= 1^{2} : 3^{2} = 1 : 9$
2
큰 삼각형의 넓이 $= 5 \times 9 = 45\,\mathrm{cm}^{2}$

예제

가 2 : 3인 두 에서 작은 쪽의 가 $16\,\mathrm{cm}^{3}$ 이면, 부피의 비는 8 : 27 이므로 큰 쪽의 부피는 $16 \times \dfrac{27}{8} = 54\,\mathrm{cm}^{3}$ 입니다.

축척과 그림자로 높이 재기

은 지도에서 실제 거리를 줄인 입니다. 축척 1 : 50000 인 지도는 실제와 1 : 50000 이므로, 지도 위 1cm는 실제 50000cm = 500m 입니다.

예제

1 : 50000 인 지도에서 3cm 떨어진 두 지점의 실제 거리는 $3 \times 50000 = 150000\,\mathrm{cm} = 1500\,\mathrm{m} = 1.5\,\mathrm{km}$ 입니다.

같은 시각의 햇빛은 하므로, 물체와 그 그림자가 만드는 은 모두 AA 입니다. 따라서 () : (그림자의 길이)는 어떤 물체에서나 같습니다. 이것으로 직접 잴 수 없는 건물·나무의 높이를 구합니다.

같은 시각의 햇빛은 — 두 은 AA

막대의 높이 : 막대의 그림자 = 나무의 높이 : 나무의 그림자

1
길이를 아는 막대를 세우고, 같은 시각에 막대의 그림자 길이를 잽니다.
2
재고 싶은 물체의 그림자 길이를 잽니다.
3
을 세워 물체의 를 구합니다.

예제

1m인 막대의 그림자가 1.5m일 때, 같은 시각 건물의 그림자가 18m였다. 건물의 높이는?

1
1 : 1.5 = (건물 ) : 18
2
건물 높이 $= 18 \times \dfrac{1}{1.5} = 12\,\mathrm{m}$

05레벨별로 풀어보기

개념을 확인했다면 아래 문제로 점검해 보세요. 답을 입력하고 채점하기를 누르면 결과가 나타납니다.

채점표

기초

0/5

응용

0/5

심화

0/3

기초닮음비·중점연결정리·무게중심을 그대로 적용

문제 1

가 2 : 3인 두 삼각형이 있다. 작은 삼각형의 한 변의 길이가 6cm일 때, 이에 하는 큰 삼각형의 변의 길이(cm)를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

\triangle ABC \backsim \triangle DEF

이고

\angle A = 50^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}

일 때,

\angle F

의 크기(°)를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

\triangle ABC

의 변 AB, AC 위에 각각 점 D, E가 있고

DE \parallel BC

이다. AD = 4, DB = 2, AE = 6일 때, EC의 길이를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

\triangle ABC

에서 AB, AC의 을 각각 M, N이라 하자. BC = 14cm일 때, MN의 길이(cm)를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

\triangle ABC

의 을 G, 변 BC의 을 D라 하자. AD = 12cm일 때, AG의 길이(cm)를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

응용각의 이등분선, 평행선, 직각삼각형의 닮음, 넓이의 비

문제 1

\triangle ABC

에서

\angle A

의 이 변 BC와 만나는 점을 D라 하자. AB = 8, AC = 6, BC = 7일 때, BD의 길이를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

세 선 l, m, n을 두 이 지난다. 한 직선이 평행선 사이에서 잘린 두 의 길이가 위에서부터 4, 6이고, 다른 직선이 잘린 두 선분의 길이가 위에서부터 x, 9일 때, x의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

\angle A = 90^{\circ}

인 ABC에서 A로부터 BC에 내린 을 H라 하자. BH = 4, CH = 9일 때, AH의 길이를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

가 2 : 5인 두 도형이 있다. 작은 도형의 가

12\,\mathrm{cm}^{2}

일 때, 큰 도형의 넓이

(cm^{2})

를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

길이 1.5m인 막대의 그림자 길이가 2m일 때, 같은 시각에 어떤 나무의 그림자 길이가 12m였다. 나무의 (m)를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

심화중점연결정리·무게중심·부피의 비를 두 단계로 이어 쓰기

문제 1

AD \parallel BC

인 ABCD에서 AB, DC의 을 각각 M, N이라 하고, MN이 BD, AC와 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. AD = 6, BC = 14일 때, PQ의 길이를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

가

42\,\mathrm{cm}^{2}

인

\triangle ABC

의 을 G, 변 BC의 을 D, 변 CA의 중점을 E라 하자. 사각형 GDCE의 넓이

(cm^{2})

를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

두 의 의 비가 4 : 9이다. 작은 입체도형의 가

40\,\mathrm{cm}^{3}

일 때, 큰 입체도형의 부피

(cm^{3})

를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)