studycafe

닮음과 닮음비

한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소하여 다른 도형과 합동이 될 때, 두 도형은 서로 닮음이라 하고 기호 ∽로 나타냅니다 $. \triangle ABC \backsim \triangle DEF$ 라고 쓸 때는 대응하는 꼭짓점 순서대로 씁니다(A↔D, B↔E, C↔F). 대응변의 길이의 비를 닮음비라 합니다.

닮은 평면도형의 성질	$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ 일 때
대응변의 길이의 비가 모두 같다 (= 닮음비)	AB : DE = BC : EF = CA : FD
대응각의 크기가 각각 같다	$\angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F$

닮은 입체도형에서는 대응하는 모서리의 길이의 비가 일정하고, 대응하는 면은 서로 닮은 도형입니다. 합동은 닮음비가 1 : 1인 특별한 닮음입니다.

Check

$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$ 에서 AB = 4, DE = 6 이면 닮음비는 4 : 6 = 2 : 3 입니다. BC = 5 이면 $EF = 5 \times 3/2 = 7.5$ 이고 $, \angle A = 50^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}$ 이면 $\angle F = \angle C = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 60^{\circ} = 70^{\circ}$ 입니다.

삼각형의 닮음 조건

삼각형의 합동 조건(SSS, SAS, ASA)처럼, 여섯 요소를 다 확인하지 않아도 닮음을 판정할 수 있는 조건이 세 가지 있습니다.

조건	내용
SSS 닮음	세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같다
SAS 닮음	두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같다
AA 닮음	두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같다

AA 닮음이 가장 자주 쓰입니다. 삼각형의 내각의 합이 180°이므로 두 각이 같으면 나머지 한 각도 자동으로 같기 때문입니다. 평행선(엇각·동위각), 공통인 각, 맞꼭지각이 보이면 AA 닮음을 의심하세요.

예제

$\triangle ABC$ 에서 $\angle A = 40^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}$ 이고 $, \triangle DEF$ 에서 $\angle D = 40^{\circ}, \angle E = 60^{\circ}$ 이다. 두 삼각형은 닮음인가?

1
$\angle A = \angle D = 40^{\circ}, \angle B = \angle E = 60^{\circ}$ 로 두 쌍의 대응각이 같습니다.
2
AA 닮음 $\to \triangle ABC \backsim \triangle DEF ($ 나머지 각도 $\angle C = \angle F = 80^{\circ}$ 로 같습니다)

직각삼각형의 닮음

$\angle A = 90^{\circ}$ 인 직각삼각형 ABC에서 꼭짓점 A로부터 빗변 BC에 수선 AH를 내리면 $, \triangle ABC, \triangle HBA, \triangle HAC$ 세 직각삼각형은 모두 닮음입니다. 직각 하나에 $\angle B($ 또는 $\angle C)$ 를 공통으로 가지므로 AA 닮음입니다.

\angle A = 90^{\circ}

인

\triangle ABC

와 빗변 BC에 내린 수선 AH — 세 직각삼각형이 모두 닮음

닮은 삼각형	비례식	결과
$\triangle ABC \backsim \triangle HBA$	AB : HB = BC : BA	$AB^{2} = BH \times BC$
$\triangle ABC \backsim \triangle HAC$	AC : HC = BC : AC	$AC^{2} = CH \times CB$
$\triangle HBA \backsim \triangle HAC$	HB : HA = HA : HC	$AH^{2} = BH \times CH$

AH^{2} = BH \times CH, AB^{2} = BH \times BC, AC^{2} = CH \times CB

예제

BH = 2, CH = 8 이면 $AH^{2} = 2 \times 8 = 16$ 이므로 AH = 4 입니다.

도형의 닮음, 모양은 같고 크기만 다른 도형

01닮은 도형과 닮음 조건

닮음과 닮음비

삼각형의 닮음 조건

직각삼각형의 닮음