사각형의 성질, 평행사변형에서 정사각형까지

평행사변형의 정의와 성질

평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형입니다. 정의는 이것 하나뿐입니다. 여기에 평행선의 엇각 성질과 삼각형의 합동(이전 단원)을 쓰면 아래 세 가지 성질이 따라 나옵니다.

왜 그럴까요? 대각선 AC를 그으면 $\triangle ABC$와 $\triangle CDA$에서 AC는 공통이고$, AB \parallel DC, AD \parallel BC$ 이므로 엇각으로 $\angle BAC = \angle DCA, \angle BCA = \angle DAC$ 입니다. 따라서 두 삼각형은 ASA 합동이고, 그 결과 $AB = CD, BC = DA, \angle B = \angle D$ 가 됩니다. 또 $AD \parallel BC$ 에서 $\angle A$와 $\angle B$는 동측내각이므로 이웃한 두 각의 합은 항상 180°입니다.

평행사변형이 되는 조건

반대로, 사각형이 다음 다섯 가지 중 하나만 만족해도 평행사변형입니다. 정의와 세 성질을 거꾸로 뒤집은 것 네 개에, 조건 하나가 더 있습니다.

주의: '한 쌍의 대변이 평행하고, 다른 한 쌍의 대변의 길이가 같다'는 조건이 아닙니다. 등변사다리꼴이 반례입니다.

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   AD = BC 는 이미 주어졌으므로, AB = DC 이면 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같아집니다.
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   3x − 1 = 2x + 4 → x = 5
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   확인: AB = 14, DC = 14 로 같습니다.

평행사변형과 넓이

대각선 하나는 평행사변형을 합동인 두 삼각형으로 나누므로 넓이를 정확히 이등분합니다. 두 대각선을 모두 그으면 네 삼각형의 넓이가 모두 같아 각각 전체의 1/4 입니다.

평행사변형 내부의 한 점 P에 대해서는, P를 지나 AB에 평행한 직선을 그으면 평행사변형이 작은 평행사변형 두 개로 나뉩니다$. \triangle PAB$는 위쪽 평행사변형의 절반$, \triangle PCD$는 아래쪽 평행사변형의 절반이므로 둘을 더하면 전체의 절반입니다.