사각형의 성질, 평행사변형에서 정사각형까지

평행사변형의 정의와 성질

평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형입니다. 정의는 이것 하나뿐입니다. 여기에 평행선의 엇각 성질과 삼각형의 합동(이전 단원)을 쓰면 아래 세 가지 성질이 따라 나옵니다.

왜 그럴까요? 대각선 AC를 그으면 $\triangle ABC$와 $\triangle CDA$에서 AC는 공통이고, $AB \parallel DC, AD \parallel BC$ 이므로 엇각으로 $\angle BAC = \angle DCA, \angle BCA = \angle DAC$ 입니다. 따라서 두 삼각형은 ASA 합동이고, 그 결과 $AB = CD, BC = DA, \angle B = \angle D$ 가 됩니다. 또 $AD \parallel BC$ 에서 $\angle A$와 $\angle B$는 동측내각이므로 이웃한 두 각의 합은 항상 180°입니다.

평행사변형이 되는 조건

반대로, 사각형이 다음 다섯 가지 중 하나만 만족해도 평행사변형입니다. 정의와 세 성질을 거꾸로 뒤집은 것 네 개에, 조건 하나가 더 있습니다.

주의: '한 쌍의 대변이 평행하고, 다른 한 쌍의 대변의 길이가 같다'는 조건이 아닙니다. 등변사다리꼴이 반례입니다.

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   AD = BC 는 이미 주어졌으므로, AB = DC 이면 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같아집니다.
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   3x − 1 = 2x + 4 → x = 5
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   확인: AB = 14, DC = 14 로 같습니다.

평행사변형과 넓이

대각선 하나는 평행사변형을 합동인 두 삼각형으로 나누므로 넓이를 정확히 이등분합니다. 두 대각선을 모두 그으면 네 삼각형의 넓이가 모두 같아 각각 전체의 $\dfrac{1}{4}$ 입니다.

평행사변형 내부의 한 점 P에 대해서는, P를 지나 AB에 평행한 직선을 그으면 평행사변형이 작은 평행사변형 두 개로 나뉩니다. $\triangle PAB$는 AB 쪽(왼쪽) 평행사변형의 절반, $\triangle PCD$는 CD 쪽(오른쪽) 평행사변형의 절반이므로 둘을 더하면 전체의 절반입니다.

직사각형, 마름모, 정사각형의 성질

직사각형은 네 각의 크기가 모두 같은(모두 90°인) 사각형, 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형, 정사각형은 네 각의 크기가 같고 네 변의 길이도 같은 사각형입니다. 셋 다 두 쌍의 대변이 평행하므로 평행사변형의 성질을 모두 가지고, 여기에 대각선에 관한 성질이 하나씩 더 붙습니다.

마름모의 두 대각선은 서로 수직이등분하므로, 마름모는 두 대각선을 가로·세로로 하는 직사각형의 절반입니다. 따라서 마름모의 넓이는 두 대각선 길이의 곱의 절반입니다.

평행사변형이 직사각형·마름모·정사각형이 되는 조건

이미 평행사변형인 사각형에는 아래 조건을 하나만 더 붙여도 됩니다.

사다리꼴과 등변사다리꼴

사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이고, 평행한 두 변을 밑변(윗변·아랫변)이라 합니다. 등변사다리꼴은 아랫변의 양 끝 각의 크기가 같은 사다리꼴입니다.

AB = DC 인 이유: 꼭짓점 D를 지나 AB에 평행한 직선을 그어 BC와 만나는 점을 E라 하면 □ABED는 평행사변형이므로 AB = DE 입니다. 동위각으로 $\angle DEC = \angle B = \angle C$ 이므로 $\triangle DEC$는 이등변삼각형이 되어 DE = DC, 따라서 AB = DC 입니다.

여러 가지 사각형의 포함 관계

사각형에 '한 쌍의 대변이 평행'을 더하면 사다리꼴, '두 쌍이 평행'이면 평행사변형, 거기에 '한 각이 직각'이면 직사각형, '이웃한 두 변이 같음'이면 마름모, 둘 다 만족하면 정사각형입니다. 정사각형은 직사각형이면서 동시에 마름모입니다.

각 변의 중점을 연결한 사각형

사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, DA의 중점을 차례로 E, F, G, H라 하고 이으면, 원래 사각형이 어떤 모양이든 □EFGH는 항상 평행사변형입니다. 대각선 AC를 그으면 $\triangle ABC$에서 두 변의 중점을 이은 EF는 AC와 평행하고 길이가 AC의 절반입니다(삼각형의 중점연결정리 — 다음 단원 '도형의 닮음'에서 증명합니다). 마찬가지로 $\triangle ACD$에서 $HG \parallel AC, HG =$ ½AC 이므로 $EF \parallel HG, EF = HG$ — 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같으니 평행사변형입니다.

□EFGH의 변이 원래 사각형의 대각선을 따라가므로, 대각선의 성질이 그대로 옮겨집니다.

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   $EF \parallel AC, FG \parallel BD$ 이고 $AC \perp BD$ 이므로 $EF \perp FG \to$ □EFGH는 직사각형
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   EF = ½AC = 5, FG = ½BD = 6
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   넓이 $= 5 \times 6 = 30$

밑변이 같고 높이가 같은 두 삼각형

삼각형의 넓이는 ½ × 밑변 × 높이입니다. 두 삼각형이 밑변 BC를 공유하고, 나머지 꼭짓점 A, D가 BC에 평행한 한 직선 위에 있으면 높이가 같으므로 넓이도 같습니다. 꼭짓점을 평행선을 따라 아무리 옮겨도 넓이는 변하지 않습니다.

이 성질은 사다리꼴에서 자주 씁니다. $AD \parallel BC$인 사다리꼴 ABCD의 두 대각선의 교점을 O라 하면 $\triangle ABC = \triangle DBC$ 이고, 양쪽에서 공통 부분 $\triangle OBC$를 빼면 $\triangle ABO = \triangle DCO$ 입니다.

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   $\triangle ABC$와 $\triangle DBC$는 밑변 BC가 공통이고 높이가 같으므로 넓이가 같습니다.
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   $\triangle ABO + \triangle OBC = \triangle DCO + \triangle OBC$
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   $\triangle DCO = \triangle ABO = 4\,\mathrm{cm}^{2} (\triangle OBC$의 값은 필요 없습니다)

높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비

높이가 같으면 넓이는 밑변의 길이에 정비례합니다. $\triangle ABC$의 변 BC 위에 점 D를 잡으면 $\triangle ABD$와 $\triangle ADC$는 꼭짓점 A에서 내린 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변의 비 BD : DC와 같습니다.

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   $\triangle ABD : \triangle ADC = 3 : 2$ 이므로 $\triangle ABD$는 전체의 $\dfrac{3}{3+2}$
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   $\triangle ABD = 50 \times \dfrac{3}{5} = 30\,\mathrm{cm}^{2}$

평행사변형과 묶어 쓰면 작은 조각의 넓이도 구할 수 있습니다. 넓이가 $48\,\mathrm{cm}^{2}$인 평행사변형 ABCD에서 BC 위의 점 P가 BP : PC = 1 : 3 이면, 먼저 대각선 AC가 넓이를 이등분하므로 $\triangle ABC = 24\,\mathrm{cm}^{2}$, 다음으로 $\triangle ABP = 24 \times \dfrac{1}{4} = 6\,\mathrm{cm}^{2}$ 입니다.