피타고라스 정리, 직각삼각형 세 변의 관계

피타고라스 정리

직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 a, b, 빗변(직각의 대변, 가장 긴 변)의 길이를 c라 하면 항상 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 이 성립합니다. 그림으로 말하면, 두 변 위에 그린 정사각형의 넓이의 합이 빗변 위에 그린 정사각형의 넓이와 같다는 뜻입니다.

세 변이 모두 자연수인 대표적인 조합: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25). 각 수를 같은 배수로 늘린 (6, 8, 10), (9, 12, 15)도 성립합니다. 외워 두면 계산이 빨라집니다.

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   $c^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$
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   $169 = 13^{2}$ 이므로 c = 13

증명 — 정사각형 안에 직각삼각형 4개 놓기

직각을 낀 두 변이 a, b이고 빗변이 c인 합동인 직각삼각형 4개를 한 변의 길이가 a + b인 정사각형 안에 배치합니다. 큰 정사각형의 넓이를 두 가지 방법으로 계산하면 정리가 나옵니다.

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   한 변이 a + b인 정사각형의 각 변을 a, b로 나누는 점을 잡고, 네 모서리에 직각삼각형을 놓습니다. 가운데에는 네 변이 모두 c인 사각형이 남습니다.
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   가운데 사각형의 한 내각은 180° − (직각삼각형의 두 예각의 합 90°) = 90° 이므로, 가운데는 한 변이 c인 정사각형입니다.
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   큰 정사각형의 넓이를 한 변으로 계산$: (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
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   같은 넓이를 조각으로 계산: 삼각형 4개 $(4 \times$ ½ab = 2ab) + 가운데 정사각형 $(c^{2}) = 2ab + c^{2}$
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   두 값이 같으므로 $a^{2} + 2ab + b^{2} = 2ab + c^{2} \to a^{2} + b^{2} = c^{2}$

참고로 유클리드의 증명은 빗변 위의 정사각형을 직각 꼭짓점에서 내린 수선으로 두 직사각형으로 나눈 뒤, 각 직사각형의 넓이가 나머지 두 변 위 정사각형의 넓이와 각각 같다는 것을 '평행선과 넓이'(밑변이 같고 높이가 같은 삼각형)와 삼각형의 합동으로 보이는 방법입니다.

가필드의 증명

미국의 제20대 대통령 가필드가 1876년에 발표한 증명입니다. 합동인 직각삼각형 2개를, 한 삼각형의 변 a와 다른 삼각형의 변 b가 한 직선 위에 놓이도록 붙이면 윗변 a, 아랫변 b, 높이 a + b인 사다리꼴이 되고, 두 빗변은 직각으로 만납니다.

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   사다리꼴의 넓이 = ½ $\times (a + b) \times (a + b) =$ ½$(a + b)^{2}$
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   조각으로 계산: 직각삼각형 2개 (½$ab \times 2 = ab) +$ 가운데의 직각이등변삼각형 (½$c^{2})$
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   ½$(a + b)^{2} = ab +$ ½$c^{2} \to$ 양변에 2를 곱하면 $a^{2} + 2ab + b^{2} = 2ab + c^{2} \to a^{2} + b^{2} = c^{2}$