피타고라스 정리, 직각삼각형 세 변의 관계

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이 레슨에서 해볼 일

직각삼각형에서 빗변 제곱과 두 직각변 제곱 합의 관계를 설명한다.
정리의 역으로 직각 여부를 판단하고 단순 도형의 길이를 구한다.

먼저 볼 개념과 교과 연결

현재 교과의 개념을 연결합니다.

공식이 왜 이런 모양일까? — 삼각형의 경우 등식의 성질 — 저울의 균형

2022 개정 · 중학교 수학: 9수03-15정리의 역은 직각삼각형 판별을 기본으로 합니다. 예각·둔각의 부등식 판별과 초승달 넓이는 선택 추가 탐구, 근호 표현은 수 개념의 연결 예고입니다.
2022 개정 · 중학교 수학: 9수01-07정리의 역은 직각삼각형 판별을 기본으로 합니다. 예각·둔각의 부등식 판별과 초승달 넓이는 선택 추가 탐구, 근호 표현은 수 개념의 연결 예고입니다.
2015 개정 · 중학교 수학: 9수04-162015 원문의 대응 주제입니다. 2022와 코드·배치·적용 한계를 동일하게 보지 않습니다.

교육과정 원문 대조 기준이며 교과서 진도와 교사 최종 검토는 확인 중입니다.

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기본 목표 문제0/4 확인

대표 목표를 확인하는 문제입니다. 선택 심화는 별도로 도전할 수 있어요.

전체 진도0%

01. 피타고라스 정리와 증명
0/3 · 0%
02. 세 변의 길이와 삼각형의 모양
0/2 · 0%
03. 사각형·정삼각형과 피타고라스 정리
0/3 · 0%
04. 히포크라테스의 초승달
0/2 · 0%
기초
0/5 · 0%
응용
0/5 · 0%
심화
0/3 · 0%

개념 카드는 읽은 만큼, 문제는 맞힌 만큼 올라갑니다. 이 기기에만 저장됩니다.

01피타고라스 정리와 증명

두 변 위의 정사각형 넓이를 더하면 빗변 위의 정사각형 넓이가 됩니다.

피타고라스 정리

에서 을 낀 두 변의 길이를 a, b, (직각의 , 가장 긴 변)의 길이를 c라 하면 항상 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 이 성립합니다. 그림으로 말하면, 두 변 위에 그린 의 의 합이 빗변 위에 그린 정사각형의 넓이와 같다는 뜻입니다.

두 변 위 의 합

a^{2} + b^{2}

이 위 정사각형 넓이

c^{2}

과 같다 — 두 변이 3, 4이면

9 + 16 = 25 = 5^{2}

이므로 빗변은 5

a^{2} + b^{2} = c^{2}

세 변이 모두 인 대표적인 조합: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25). 각 수를 같은 로 늘린 (6, 8, 10), (9, 12, 15)도 성립합니다. 외워 두면 계산이 빨라집니다.

예제

을 낀 두 변의 길이가 5, 12인 의 의 길이는?

1
$c^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$
2
$169 = 13^{2}$ 이므로 c = 13

예제

이 10, 다른 한 변이 8이면 나머지 변은 $b^{2} = 10^{2} - 8^{2} = 100 - 64 = 36 \to b = 6$ 입니다. 빗변을 찾아서 빼는 것이 핵심입니다.

증명 — 정사각형 안에 직각삼각형 4개 놓기

을 낀 두 변이 a, b이고 이 c인 인 4개를 한 변의 길이가 a + b인 안에 배치합니다. 큰 정사각형의 를 두 가지 방법으로 계산하면 정리가 나옵니다.

한 변이 a + b인 — 네 귀퉁이의 4개와 가운데 한 변이 c인 정사각형

1
한 변이 a + b인 의 각 변을 a, b로 나누는 점을 잡고, 네 에 을 놓습니다. 가운데에는 네 변이 모두 c인 사각형이 남습니다.
2
가운데 사각형의 한 은 180° − (직각삼각형의 두 의 합 90°) = 90° 이므로, 가운데는 한 변이 c인 정사각형입니다.
3
큰 정사각형의 를 한 변으로 계산: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
4
같은 넓이를 조각으로 계산: 삼각형 4개 $(4 \times$ ½ab = 2ab) + 가운데 정사각형 $(c^{2}) = 2ab + c^{2}$
5
두 값이 같으므로 $a^{2} + 2ab + b^{2} = 2ab + c^{2} \to a^{2} + b^{2} = c^{2}$

참고로 은 위의 을 에서 내린 으로 두 으로 나눈 뒤, 각 직사각형의 가 나머지 두 변 위 정사각형의 넓이와 각각 같다는 것을 '선과 넓이'(이 같고 가 같은 삼각형)와 삼각형의 으로 보이는 방법입니다.

가필드의 증명

미국의 제20대 대통령 가필드가 1876년에 발표한 입니다. 인 2개를, 한 삼각형의 변 a와 다른 삼각형의 변 b가 한 위에 놓이도록 붙이면 윗변 a, 아랫변 b, a + b인 이 되고, 두 은 으로 만납니다.

윗변 a, 아랫변 b, a + b인 = 2개 + 가운데 이등변삼각형(두 변 c)

1
의 = ½ $\times (a + b) \times (a + b) =$ ½ $(a + b)^{2}$
2
조각으로 계산: 2개 (½ $ab \times 2 = ab) +$ 가운데의 이등변삼각형 (½ $c^{2})$
3
½ $(a + b)^{2} = ab +$ ½ $c^{2} \to$ 에 2를 곱하면 $a^{2} + 2ab + b^{2} = 2ab + c^{2} \to a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Check

4개 배치 의 절반만 쓴 것과 같습니다. 두 증명 모두 '를 두 가지 방법으로 세어 비교한다'는 같은 아이디어입니다.

02세 변의 길이와 삼각형의 모양

가장 긴 변의 제곱과 나머지 두 변의 제곱의 합을 비교합니다.

피타고라스 정리의 역

세 변의 길이가 a, b, c (c가 가장 긴 변)인 삼각형에서 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 이면 이 삼각형은 이 c인 입니다. 을 낀 두 변이 a, b인 직각삼각형을 따로 그리면 그 빗변도 c가 되어 원래 삼각형과 SSS 이고, 따라서 원래 삼각형에도 직각이 있기 때문입니다.

예제

세 변이 6, 8, 10인 삼각형: $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10^{2}$ 이므로 이 10인 입니다.

예각삼각형·직각삼각형·둔각삼각형 판별

학습 범위 확인

선택 추가 탐구 · 9수03-15의 판별에서 더 나아가 의 으로 ·을 분류합니다. 기본 목표는 정리와 직각 판별입니다.

두 변 a, b를 고정하고 가장 긴 변 c를 늘리면, c와 마주보는 각도 함께 커집니다. $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 일 때 그 각이 정확히 90°이므로, $c^{2}$ 과 $a^{2} + b^{2}$ 을 비교하면 가장 큰 각의 종류를 알 수 있습니다.

비교 (c가 가장 긴 변)	가장 큰 각	삼각형
$c^{2} < a^{2} + b^{2}$		예각삼각형
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$
$c^{2} > a^{2} + b^{2}$		둔각삼각형

판별하기 전에 먼저 삼각형이 되는지(c < a + b) 확인해야 합니다. 세 변 3, 4, 8은 8 > 3 + 4 이라 애초에 삼각형이 만들어지지 않습니다.

예제

세 변이 5, 6, 8인 삼각형과 5, 6, 7인 삼각형은 각각 어떤 삼각형인가?

1
$5, 6, 8: 8^{2} = 64, 5^{2} + 6^{2} = 61 \to 64 > 61 \to$ 삼각형
2
$5, 6, 7: 7^{2} = 49, 5^{2} + 6^{2} = 61 \to 49 < 61 \to$ 삼각형

03사각형·정삼각형과 피타고라스 정리

직각삼각형이 숨어 있는 도형이면 어디든 쓸 수 있습니다.

√ 기호 잠깐 정리

학습 범위 확인

수 개념 연결 · 해서 주어진 수가 되는 의 표기입니다. 계산은 중3 배치의 레슨 9수01-07·10에서 다시 배우며 여기서는 필요한 만큼만 미리 살펴봅니다.

를 쓰면 '해서 2가 되는 수'처럼 가 아닌 길이가 자주 나옵니다. 제곱하여 a가 되는 를 ( a)로 씁니다. $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ 이고, $\sqrt{9} = 3$ 처럼 의 제곱근은 자연수입니다. $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ 처럼 제곱수는 √ 밖으로 빼서 가장 간단한 꼴로 나타냅니다. 자세한 성질은 중3에서 배우지만, 이 레슨은 이 정도만 알면 충분합니다.

식	값
$\sqrt{4}$	2
$\sqrt{2} \times \sqrt{2}$	2
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2}$	$2\sqrt{2}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3}$	$2\sqrt{3}$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2}$	$3\sqrt{2}$
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5}$	$2\sqrt{5}$

직사각형과 마름모의 대각선

의 은 가로와 세로를 두 변으로 하는 의 입니다. 는 두 대각선이 서로 이등분하므로, 한 변은 두 대각선의 절반을 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변입니다.

직사각형: 가로·세로가 두 변

마름모: 대각선의 절반이 두 변

가로

a

, 세로

b

인 직사각형의 대각선

= \sqrt{a^{2} + b^{2}}

두 대각선이

p, q

인 마름모의 한 변

= \sqrt{(\dfrac{p}{2})^{2} + (\dfrac{q}{2})^{2}}

예제

가로 8, 세로 6인 의 과, 두 대각선이 6, 8인 의 한 변의 길이는?

1
: $^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100 \to$ 대각선 = 10
2
: 대각선의 절반은 3, 4 → 한 변 $^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 \to$ 한 변 = 5

정사각형의 대각선, 정삼각형의 높이

한 변이 a인 의 은 두 변이 a, a인 이등변삼각형의 이므로 대각선 $^{2} = a^{2} + a^{2} = 2a^{2}$ , 즉 대각선 $= \sqrt{2a^{2}} =$ $a\sqrt{2}$ 입니다.

의 은 두 변이 a, a인 이등변삼각형의

정사각형의 대각선

= a\sqrt{2}

한 변이 a인 에서 에서 에 을 내리면 밑변이 이등분되어, a, 한 변 $\dfrac{a}{2}$ 인 이 생깁니다. h는 $h^{2} = a^{2} - (\dfrac{a}{2})^{2} = (\dfrac{3}{4})a^{2}$ 이므로 $h = (\dfrac{\sqrt{3}}{2})a$ 이고, 는 ½ $\times a \times (\dfrac{\sqrt{3}}{2})a = (\dfrac{\sqrt{3}}{4})a^{2}$ 입니다.

의 h는 a,

\dfrac{a}{2}

인 의 한 변

정삼각형의 높이

= (\dfrac{\sqrt{3}}{2})a

, 넓이

= (\dfrac{\sqrt{3}}{4})a^{2}

예제

한 변이 3인 의 , 한 변이 8인 의 와 는?

1
의 $= 3\sqrt{2}$
2
의 $= (\dfrac{\sqrt{3}}{2}) \times 8 = 4\sqrt{3}$
3
정삼각형의 $= (\dfrac{\sqrt{3}}{4}) \times 64 = 16\sqrt{3}$

위 도 같은 방법입니다. 가로 차이와 세로 차이를 두 변으로 하는 을 그리면 두 점 사이의 거리가 이 됩니다(고등학교 '도형의 '에서 자세히 다룹니다).

04히포크라테스의 초승달

곡선으로 둘러싸인 넓이가 직각삼각형의 넓이와 똑같아지는 신기한 결과.

세 변 위의 반원의 넓이 관계

의 세 변을 각각 으로 하는 반원을 그려 을 낀 두 변 위의 반원 를 $S_{1}, S_{2}$ , 위의 반원 넓이를 $S_{3}$ 라 합시다. 지름이 a인 반원의 넓이는 ½ $\times \pi \times (\dfrac{a}{2})^{2} = (\dfrac{\pi }{8})a^{2}$ 으로 지름의 에 비례합니다. 그래서 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 의 에 $\dfrac{\pi }{8}$ 을 곱하면 바로 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ 입니다.

S_{1} + S_{2} = S_{3}

이나 반원뿐 아니라, 세 변 위에 그린 도형이 서로 도형이기만 하면 이 관계는 항상 성립합니다.

초승달의 넓이

학습 범위 확인

선택 추가 탐구 · 여러 곡선 조각을 소거하여 를 비교합니다. 복잡한 변형 도형의 넓이는 기본 목표 평가로 요구하지 않습니다.

\angle C = 90^{\circ}

인

\triangle ABC

— 색칠된 두 초승달의 의 합은

\triangle ABC

의 넓이와 같다

AB를 으로 하는 반원을 삼각형이 있는 쪽으로 그리면, 이 반원은 C를 지나며 삼각형을 덮습니다(점선). 그러면 을 낀 두 변 위의 반원 $S_{1}, S_{2}$ 에서 점선 반원과 겹치는 부분을 뺀 초승달 모양 두 개가 남습니다. 겹치는 부분의 는 $S_{3} - \triangle ABC$ 이므로,

(두 초승달의 넓이의 합

) = S_{1} + S_{2} - (S_{3} - \triangle ABC) = \triangle ABC

$S_{1} + S_{2} = S_{3}$ 이라서 반원의 가 모두 지워지고 삼각형의 넓이만 남습니다. π 없이 넓이가 딱 떨어지는 것이 이 정리의 묘미입니다. 기원전 5세기의 히포크라테스가 '곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 도형의 넓이로 바꿀 수 있다'는 것을 처음 보인 예입니다.

예제

을 낀 두 변의 길이가 3, 4인 에서 두 초승달의 의 합은?

1
두 초승달의 의 합 = 의 넓이
2
= ½ $\times 3 \times 4 = 6$

05레벨별로 풀어보기

개념을 확인했다면 아래 문제로 점검해 보세요. 답을 입력하고 채점하기를 누르면 결과가 나타납니다.

채점표

기초

0/5

응용

0/5

심화

0/3

기초

a^{2} + b^{2} = c^{2}

그대로 적용, 삼각형 모양 판별

문제 1

을 낀 두 변의 길이가 6, 8인 의 의 길이를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

의 길이가 13이고 다른 한 변의 길이가 5인 에서 나머지 한 변의 길이를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

을 낀 두 변의 길이가 모두 1인 의 의 길이를 구하시오. (√ 기호 사용)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

세 변의 길이가 7, 24, 25인 삼각형은 어떤 삼각형인가? (1 삼각형, 2 , 3 삼각형 중 번호로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

한 변의 길이가 5인 의 의 길이를 구하시오. (예:

3\sqrt{2}

형태)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

응용사각형·정삼각형 속의 직각삼각형 찾기

문제 1

가로 12cm, 세로 5cm인 의 의 길이(cm)를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

한 변의 길이가 6인 의 를 구하시오. (예:

2\sqrt{3}

형태)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

[선택 추가 탐구 · 으로 · 분류] 세 변의 길이가 4, 5, 6인 삼각형은 어떤 삼각형인가? (1 예각삼각형, 2 , 3 둔각삼각형 중 번호로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

두 의 길이가 12cm, 16cm인 의 한 변의 길이(cm)를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

을 낀 두 변의 길이가 2, 4인 의 의 길이를 구하시오. (가장 간단한

a\sqrt{b}

형태로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

심화조건을 부등식으로 옮기기, 초승달, 거꾸로 계산하기

문제 1

[선택 추가 탐구 · 조건과 삼각형 연결] 세 변의 길이가 6, 8, x인 삼각형이 있다. x가 가장 긴 변이고 이 삼각형이 둔각삼각형이 되기 위한 x의 값의 범위를 구하시오. (a<x<b 형태로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

[선택 추가 탐구 · 초승달 소거

] \angle A = 90^{\circ}

인 ABC에서 AB = 6cm, AC = 8cm이다. 세 변을 각각 으로 하는 반원을 그렸을 때 생기는 두 초승달의 넓이의 합

(cm^{2})

을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

의 길이가

6\sqrt{2} cm

인 의

(cm^{2})

를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)