일차방정식의 활용, 문장을 식으로 옮기기

괄호가 있는 방정식

괄호가 있으면 분배법칙으로 괄호를 먼저 풉니다. 괄호 앞의 수와 부호를 안의 모든 항에 곱한 뒤, 이항해서 정리합니다.

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   괄호 풀기: 3x − 6 = 2x + 1
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   이항: 3x − 2x = 1 + 6
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   x = 7
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   확인: $3 \times (7 - 2) = 15, 2 \times 7 + 1 = 15$ — 양변이 같다.

계수가 분수인 방정식

계수에 분수가 있으면 분모의 최소공배수를 양변에 곱해 분수를 없앱니다. 양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다는 등식의 성질을 이용하는 것입니다. 상수항을 포함해 모든 항에 빠짐없이 곱해야 합니다.

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   분모 2, 3의 최소공배수 6을 양변에 곱하기: 3x + 2x = 30
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   5x = 30
3. 3
   x = 6
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   확인: $\dfrac{6}{2} + \dfrac{6}{3} = 3 + 2 = 5$ — 성립한다.

계수가 소수인 방정식

계수에 소수가 있으면 양변에 10, 100, … 을 곱해 정수로 만듭니다. 소수점 아래 자릿수가 가장 긴 것에 맞춥니다. 역시 상수항에도 반드시 곱해야 합니다.

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   양변에 10을 곱하기: 3x + 2 = 5x − 6
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   이항: 3x − 5x = −6 − 2 → −2x = −8
3. 3
   x = 4
4. 4
   확인: $0.3 \times 4 + 0.2 = 1.4, 0.5 \times 4 - 0.6 = 1.4$ — 양변이 같다.

활용 문제 푸는 4단계

문장으로 된 문제는 무엇을 x로 둘지 정하는 것에서 시작합니다. 보통 문제에서 '구하시오'라고 한 것을 x로 둡니다. 식을 세운 뒤에는 반드시 구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인합니다.

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   미지수 정하기 — 구하려는 것을 x로 놓습니다.
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   식 세우기 — 문장 속 '같다', '합이 …이다', '…보다 …만큼 크다' 같은 관계를 찾아 등식으로 씁니다.
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   풀기 — 일차방정식을 풉니다.
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   확인 — 답을 문제 조건에 대입해 맞는지, 자연수·양수 같은 조건에 어긋나지 않는지 봅니다.

수에 관한 문제

연속하는 자연수는 1씩 커지므로 x − 1, x, x + 1로 두면 합이 3x가 되어 계산이 편합니다. 연속하는 짝수(또는 홀수)는 2씩 차이 나므로 x − 2, x, x + 2로 둡니다. 십의 자리가 a, 일의 자리가 b인 두 자리 자연수는 10a + b로 나타냅니다.

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   미지수: 가운데 수를 x → 세 수는 x − 1, x, x + 1
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   식: (x − 1) + x + (x + 1) = 42 → 3x = 42
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   풀기: x = 14
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   확인: 13 + 14 + 15 = 42 — 세 수는 13, 14, 15

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   미지수: 십의 자리를 x → 일의 자리는 x + 3
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   식: x + (x + 3) = 11
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   풀기: 2x = 8 → x = 4
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   확인: 십의 자리 4, 일의 자리 7 → 47. 4 + 7 = 11, 7 − 4 = 3 — 조건에 맞는다.

나이에 관한 문제

시간이 지나면 모든 사람의 나이가 똑같이 늘어납니다. x년 후의 나이는 (현재 나이) + x, x년 전은 (현재 나이) − x 입니다. 두 사람의 나이 차는 언제나 변하지 않습니다.

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   미지수: x년 후
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   식: x년 후 어머니는 42 + x, 아들은 12 + x → 42 + x = 3(12 + x)
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   풀기: 42 + x = 36 + 3x → 6 = 2x → x = 3
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   확인: 3년 후 어머니 45세, 아들 15세. $45 = 3 \times 15$ — 3년 후

거리, 속력, 시간의 관계

시속 4 km는 1시간에 4 km를 간다는 뜻이므로, 2시간이면 $4 \times 2 = 8\,\mathrm{km}$입니다. 즉 거리 = 속력 × 시간이고, 이 식을 변형하면 나머지 두 식이 나옵니다.

식을 세우기 전에 단위를 통일합니다. 속력이 시속(km/h)이면 시간은 '시간' 단위여야 하므로, 분은 60으로 나눠 시간으로 바꿉니다.

갈 때와 올 때 속력이 다를 때

같은 길을 왕복하면 갈 때와 올 때의 거리가 같습니다. 거리를 x로 두고, (갈 때 걸린 시간) + (올 때 걸린 시간) = (전체 시간)으로 식을 세웁니다.

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   미지수: 거리를 x km
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   식: 2시간 30분 $= \dfrac{5}{2}$시간 $\to \dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{6} = \dfrac{5}{2}$
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   풀기: 양변에 12를 곱하면 3x + 2x = 30 → 5x = 30 → x = 6
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   확인: $\dfrac{6}{4} = 1.5$시간, $\dfrac{6}{6} = 1$시간, 합 2.5시간 = 2시간 30분 — 6 km

농도와 소금의 양

소금물의 농도는 소금물 전체에서 소금이 차지하는 비율(%)입니다. 10% 소금물 300 g에는 소금이 $300 \times \dfrac{10}{100} = 30\,\mathrm{g}$ 들어 있습니다. 문제를 풀 때는 농도 자체보다 소금의 양으로 식을 세우는 것이 핵심입니다.

물을 더 넣으면 소금물의 양은 늘지만 소금의 양은 변하지 않습니다. 두 소금물을 섞으면 섞기 전 소금의 양의 합이 섞은 후 소금의 양과 같습니다. 이 '변하지 않는 것'을 등식으로 씁니다.

물을 넣어 농도 낮추기

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   미지수: 넣는 물의 양을 x g
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   식: 소금의 양은 그대로 $\to 300 \times \dfrac{10}{100} = (300 + x) \times \dfrac{6}{100}$
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   풀기: 30 = 6(300 + x)/100 → 3000 = 1800 + 6x → 6x = 1200 → x = 200
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   확인: 소금 30 g, 소금물 $500\,\mathrm{g} \to \dfrac{30}{500} \times 100 = 6$% — 물 200 g