좌표평면과 정비례·반비례 그래프

순서쌍과 좌표

수직선 위의 점은 수 하나로 나타낼 수 있지만, 평면 위의 점은 수 두 개가 있어야 위치가 정해집니다. 두 수의 순서를 정해 (a, b)처럼 짝지은 것을 순서쌍이라 합니다. 순서가 있으므로 (2, 3)과 (3, 2)는 서로 다른 순서쌍입니다.

가로로 놓인 수직선을 x축, 세로로 놓인 수직선을 y축, 두 축이 만나는 점을 원점 O라 하고, 두 축이 그려진 평면을 좌표평면이라 합니다. 점 P의 위치는 (x좌표, y좌표) 순서쌍으로 나타내며 P(a, b)라고 씁니다.

사분면

두 좌표축은 좌표평면을 네 부분으로 나눕니다. 각 부분을 사분면이라 하고, 오른쪽 위부터 시계 반대 방향으로 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면이라 부릅니다. 좌표축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않습니다.

y좌표가 같은 두 점은 가로로 나란히 있으므로, 두 점 사이의 거리는 x좌표의 차입니다. 예를 들어 (−2, 1)과 (4, 1) 사이의 거리는 4 − (−2) = 6입니다. x좌표가 같은 두 점의 거리는 y좌표의 차로 구합니다.

그래프란 무엇인가

시간이 지나면 이동한 거리가 변하는 것처럼, 한 양이 변하면 따라서 변하는 다른 양이 있습니다. 이렇게 변하는 두 양을 변수 x, y로 놓고, 관계가 있는 순서쌍 (x, y)를 좌표평면에 모두 나타낸 것을 그래프라 합니다.

시간에 따른 거리 그래프를 읽는 요령: 그래프가 오른쪽 위로 올라가면 거리가 늘고 있는 것(이동 중), 수평이면 거리가 변하지 않는 것(멈춤)입니다. 같은 시간에 더 많이 올라갈수록(가파를수록) 더 빠르게 움직인 것입니다.

정비례 관계 y = ax

두 변수 x, y에서 x의 값이 2배, 3배, 4배, …가 될 때 y의 값도 2배, 3배, 4배, …가 되면 y는 x에 정비례한다고 합니다. 이때 y를 x로 나눈 값 $\dfrac{y}{x}$는 항상 일정한 수 a가 되므로, 관계식은 다음 꼴입니다.

정비례 그래프의 모양

y = ax의 그래프는 언제나 원점을 지나는 직선입니다. x = 0이면 y = 0이기 때문입니다. a의 부호에 따라 방향이 정해지고, a의 절댓값이 클수록 직선이 y축에 가까워집니다(가파릅니다).

반비례 관계 $y = \dfrac{a}{x}$

x의 값이 2배, 3배, 4배, …가 될 때 y의 값이 $\dfrac{1}{2}$배, $\dfrac{1}{3}$배, $\dfrac{1}{4}$배, …가 되면 y는 x에 반비례한다고 합니다. 이때 두 수의 곱 xy는 항상 일정한 수 a가 됩니다.

반비례 그래프의 모양

$y = \dfrac{a}{x}$의 그래프는 원점을 지나지 않고, 좌표축에 한없이 가까워지는 한 쌍의 매끄러운 곡선입니다. x = 0일 때는 값이 없으므로 y축과 만나지 않고, y = 0이 될 수도 없으므로 x축과도 만나지 않습니다. a > 0이면 제1사분면과 제3사분면, a < 0이면 제2사분면과 제4사분면에 그려집니다.

그래프 위의 어떤 점 (x, y)에서도 xy = a입니다. 그래서 그래프 위의 점 P에서 x축과 y축에 수직으로 선을 그어 만든 직사각형의 넓이는 항상 a의 절댓값이 됩니다. 위 그림의 점 (2, 2)로 만든 직사각형의 넓이도 $2 \times 2 = 4$입니다.

정비례·반비례 관계식 구하기

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   x가 커질 때 y도 같은 비율로 커지면 정비례, 두 수의 곱이 일정하면 반비례라고 판단합니다.
2. 2
   정비례면 y = ax, 반비례면 $y = \dfrac{a}{x}$로 놓습니다.
3. 3
   주어진 한 쌍의 x, y 값을 대입해 a를 구합니다.
4. 4
   완성한 관계식에 원하는 x(또는 y)의 값을 대입합니다.

가로·세로 밑변의 연결 연습