이차부등식, 부호가 바뀌는 지점 찾기

이차부등식이란

이차부등식은 정리했을 때 (x에 관한 이차식$) > 0, < 0, \ge 0, \le 0$ 꼴이 되는 부등식입니다. 먼저 모든 항을 좌변으로 옮겨 우변을 0으로 만들고, 최고차항의 계수가 음수면 양변에 −1을 곱해(부등호 방향 반전) 양수로 만든 뒤 시작합니다.

인수분해 후 부호 분석

좌변이 $(x - \alpha )(x - \beta ) (\alpha < \beta )$ 로 인수분해되면, 두 인수의 부호를 x의 범위별로 따져 곱의 부호를 정합니다.

요약하면, 부등호가 > 이면 두 근의 바깥쪽, < 이면 두 근의 사이입니다. ≥, ≤ 이면 등호가 있으므로 경계 α, β 도 해에 포함됩니다.

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   $x^{2} - 7x + 10 \le 0 \to (x - 2)(x - 5) \le 0 \to$ 두 근 사이: $2 \le x \le 5$
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   $x^{2} - x - 12 > 0 \to (x + 3)(x - 4) > 0 \to$ 두 근 바깥: x < −3 또는 x > 4

이차함수의 그래프로 해석하기

이차부등식 $ax^{2} + bx + c > 0$ 의 해는 이차함수 $y = ax^{2} + bx + c$ 의 그래프에서 y > 0 인 부분, 즉 그래프가 x축보다 위에 있는 x의 범위입니다. a > 0 이면 아래로 볼록한 그래프가 x축과 두 점 α, β에서 만나고, 두 점의 바깥쪽에서 위에, 사이에서 아래에 있습니다. 앞의 부호 분석과 같은 결론입니다.

판별식 D의 부호에 따른 해

그래프가 x축과 몇 점에서 만나는지는 판별식 $D = b^{2} - 4ac$ 가 결정합니다. a > 0 일 때 D > 0 이면 두 점, D = 0 이면 한 점(접함), D < 0 이면 만나지 않고 항상 x축 위에 있습니다. 그래서 인수분해가 되지 않을 때는 D의 부호부터 확인합니다.

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   $x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2} \le 0$. 제곱은 항상 0 이상이므로, 0이 되는 x = 2 만 해입니다.
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   $x^{2} + 2x + 3: \dfrac{D}{4} = 1^{2} - 3 = -2 < 0$ 이고 a = 1 > 0 이므로 항상 양수. 해는 모든 실수입니다.

해가 주어졌을 때 이차부등식 구하기

해가 $\alpha < x < \beta$ 인 이차부등식(최고차항 계수 1)은 $(x - \alpha )(x - \beta ) < 0$ 을 전개한 것이고, 해가 $x < \alpha$ 또는 $x > \beta$ 이면 $(x - \alpha )(x - \beta ) > 0$ 입니다. 문제의 부등식이 $x^{2} + ax + b < 0$ 꼴로 주어지면 전개해서 계수를 비교합니다.

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   (x + 1)(x − 3) < 0
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   전개: $x^{2} - 2x - 3 < 0$
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   계수 비교: a = −2, b = −3

주의: 해가 두 근 사이$(\alpha < x < \beta )$인데 부등호가 > 이면 최고차항의 계수는 음수입니다. 예를 들어 −(x + 1)(x − 3) > 0 의 해가 −1 < x < 3 입니다. 이런 문제는 양변을 최고차항의 계수로 나누어 계수가 1인 꼴로 바꾼 뒤 비교합니다.

이차부등식이 항상 성립할 조건

모든 실수 x에 대해 $ax^{2} + bx + c > 0$ 이려면, 그래프가 아래로 볼록(a > 0)하면서 x축과 만나지 않아야(D < 0) 합니다. 등호가 붙으면 접해도 되므로 $D \le 0$ 입니다.

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   a = 1 > 0 이므로 D < 0 만 확인하면 됩니다.
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   $\dfrac{D}{4} = k^{2} - 4 < 0 \to (k + 2)(k - 2) < 0$
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   −2 < k < 2

최고차항의 계수에 문자가 있으면(예: $(k - 1)x^{2} + \cdots )$ 그 계수가 0인 경우는 이차부등식이 아니므로 따로 확인해야 합니다. 계수가 0이 되어 상수만 남으면, 그 상수의 부호로 성립 여부가 결정됩니다.

연립이차부등식의 풀이

이차부등식이 섞인 연립부등식도 방법은 같습니다. 각 부등식을 따로 풀어 범위를 구하고, 수직선에서 겹치는 부분을 읽습니다. 다만 이차부등식의 해가 '또는'으로 두 범위에 걸쳐 있을 수 있으므로 겹치는 부분도 두 군데가 될 수 있습니다.

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   $x^{2} - 4x + 3 \le 0 \to (x - 1)(x - 3) \le 0 \to 1 \le x \le 3$
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   $x^{2} - x - 6 < 0 \to (x + 2)(x - 3) < 0 \to -2 < x < 3$
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   공통 범위: $1 \le x < 3 (x = 3$ 은 두 번째 부등식을 만족하지 않으므로 제외)