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01이차부등식의 뜻과 인수분해로 풀기

곱이 양수인지 음수인지는 두 인수의 부호로 결정됩니다.

이차부등식이란

이차부등식은 정리했을 때 (x에 관한 이차식 $) > 0, < 0, \ge 0, \le 0$ 꼴이 되는 부등식입니다. 먼저 모든 항을 좌변으로 옮겨 우변을 0으로 만들고, 최고차항의 계수가 음수면 양변에 −1을 곱해(부등호 방향 반전) 양수로 만든 뒤 시작합니다.

ax^{2} + bx + c > 0 (a > 0

이 되도록 정리)

Check

$-x^{2} + 3x - 2 \ge 0$ 은 양변에 −1을 곱해 $x^{2} - 3x + 2 \le 0$ 으로 바꾸어 풉니다. 부등호 방향이 바뀐 것에 주의합니다.

인수분해 후 부호 분석

좌변이 $(x - \alpha )(x - \beta ) (\alpha < \beta )$ 로 인수분해되면, 두 인수의 부호를 x의 범위별로 따져 곱의 부호를 정합니다.

x의 범위	$x - \alpha$	$x - \beta$	$(x - \alpha )(x - \beta )$
$x < \alpha$	−	−	+
$\alpha < x < \beta$	+	−	−
$x > \beta$	+	+	+

(x - \alpha )(x - \beta ) > 0 \Leftrightarrow x < \alpha

또는

x > \beta

(x - \alpha )(x - \beta ) < 0 \Leftrightarrow \alpha < x < \beta

요약하면, 부등호가 > 이면 두 근의 바깥쪽, < 이면 두 근의 사이입니다. ≥, ≤ 이면 등호가 있으므로 경계 α, β 도 해에 포함됩니다.

예제

$x^{2} - 7x + 10 \le 0$ 과 $x^{2} - x - 12 > 0$ 을 풀어봅시다.

1
$x^{2} - 7x + 10 \le 0 \to (x - 2)(x - 5) \le 0 \to$ 두 근 사이 $: 2 \le x \le 5$
2
$x^{2} - x - 12 > 0 \to (x + 3)(x - 4) > 0 \to$ 두 근 바깥: x < −3 또는 x > 4