일차부등식과 절댓값, 해의 범위를 정확히 가르기

부등식의 성질 (복습)

부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도, 양변에 같은 양수를 곱하거나 나누어도 부등호의 방향은 그대로입니다. 그러나 양변에 같은 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀝니다. 예를 들어 2 < 5 의 양변에 −1을 곱하면 −2 > −5 가 됩니다.

ax > b 의 풀이 — a의 부호로 경우 나누기

일차부등식은 정리하면 항상 ax > b (또는 <, ≥, ≤) 꼴이 됩니다. 양변을 a로 나누어야 하는데, a의 부호에 따라 방향이 달라지고, a = 0이면 나눌 수조차 없습니다. 그래서 a > 0, a < 0, a = 0 세 경우로 나눕니다.

a = 0일 때 좌변은 x에 관계없이 0이므로 부등식은 0 > b 가 됩니다. 이 식이 참이면 x에 무엇을 넣어도 성립하므로 해는 모든 실수(부정)이고, 거짓이면 해가 없습니다(불능).

1. 1
   a > 1 이면 a − 1 > 0 이므로 $x > \dfrac{2}{a - 1}$
2. 2
   a < 1 이면 a − 1 < 0 이므로 방향이 바뀌어 $x < \dfrac{2}{a - 1}$
3. 3
   a = 1 이면 0 > 2 — 거짓이므로 해가 없다

연립부등식의 해 = 공통 범위

연립부등식은 두 개 이상의 부등식을 묶은 것이고, 그 해는 모든 부등식을 동시에 만족시키는 x의 범위입니다. 각 부등식을 따로 푼 다음, 수직선 위에 그려서 겹치는 부분(공통 범위)을 읽습니다.

1. 1
   각 부등식을 따로 풀어 x의 범위를 구합니다.
2. 2
   두 범위를 한 수직선 위에 그립니다. 경계가 포함되면 ●, 포함되지 않으면 ○ 으로 표시합니다.
3. 3
   두 범위가 겹치는 부분이 연립부등식의 해입니다.

1. 1
   2x − 1 > −3 → 2x > −2 → x > −1
2. 2
   $x + 1 \le 5 \to x \le 4$
3. 3
   공통 범위: $-1 < x \le 4$

A < B < C 꼴의 부등식

A < B < C 꼴은 A < B 와 B < C 를 동시에 만족한다는 뜻이므로, 연립부등식 { A < B, B < C } 로 바꾸어 풉니다. A < C 를 쓰면 안 됩니다. 그것은 두 조건에서 따라 나오는 결과일 뿐, 원래 조건을 다 담지 못합니다.

1. 1
   $-1 \le 2x + 3 \to -4 \le 2x \to -2 \le x$
2. 2
   2x + 3 < 7 → 2x < 4 → x < 2
3. 3
   공통 범위: $-2 \le x < 2$
4. 4
   가운데가 x의 일차식 하나뿐이면 세 변에 같은 연산을 한 번에 해도 됩니다: $-1 - 3 \le 2x < 7 - 3 \to -4 \le 2x < 4 \to -2 \le x < 2$

특별한 경우와 미지수가 있는 연립부등식

두 범위가 겹치지 않으면 해가 없고, 한 점에서만 만나면 해는 그 점 하나입니다. 한 범위가 다른 범위를 완전히 포함하면 더 좁은 쪽이 해입니다.

해가 주어지고 미지수를 구하는 문제는 거꾸로 갑니다. 각 부등식을 문자 그대로 풀어 x < (a에 관한 식) 꼴로 만든 뒤, 주어진 해의 경계값과 비교합니다.

1. 1
   $x - 2 \le 3x \to -2 \le 2x \to x \ge -1 ($주어진 해의 왼쪽 끝 −1 과 일치)
2. 2
   $3x < x + a \to 2x < a \to x < \dfrac{a}{2}$
3. 3
   오른쪽 끝이 3 이어야 하므로 $\dfrac{a}{2} = 3 \to a = 6$

|x| < a 와 |x| > a

절댓값 |x| 는 수직선에서 x와 원점 0 사이의 거리입니다. 그래서 |x| < 3 은 '0에서 거리가 3보다 가까운 수', 즉 −3 < x < 3 이고, |x| > 3 은 '0에서 거리가 3보다 먼 수', 즉 x < −3 또는 x > 3 입니다. 안쪽이면 하나의 범위, 바깥쪽이면 '또는'으로 갈라진 두 범위라는 점이 핵심입니다.

|x − a| < b 와 |x − a| > b

|x − a| 는 x에서 a까지의 거리입니다. 따라서 |x − a| < b 는 'a에서 거리가 b 미만'이므로 a − b < x < a + b 입니다. 계산으로는 −b < x − a < b 를 만들고 세 변에 a를 더하면 됩니다. 절댓값 안이 2x + 1 처럼 복잡해도 방법은 같습니다.

1. 1
   |x − 3| < 2 → −2 < x − 3 < 2 → 1 < x < 5 (3에서 거리가 2 미만)
2. 2
   $|2x + 1| \ge 5 \to 2x + 1 \le -5$ 또는 $2x + 1 \ge 5$
3. 3
   $2x \le -6$ 또는 $2x \ge 4 \to x \le -3$ 또는 $x \ge 2$

절댓값의 정의로 돌아가기

절댓값 기호가 두 개 이상이면 앞의 공식을 바로 쓸 수 없습니다. 이때는 정의로 돌아갑니다. |X| 는 $X \ge 0$ 이면 X, X < 0 이면 −X 입니다. 절댓값 안이 0이 되는 x의 값들이 경계가 되고, 그 경계로 수직선을 나누면 각 구간에서는 안의 부호가 정해져 절댓값을 벗길 수 있습니다.

1. 1
   절댓값 안의 식이 0이 되는 x를 모두 찾아 경계로 삼습니다. (경계 2개 → 구간 3개)
2. 2
   각 구간에서 절댓값 안의 부호를 정해 절댓값을 벗기고, 일차부등식을 풉니다.
3. 3
   구한 해 중 그 구간에 속하는 부분만 남깁니다. (구간 조건과의 공통 범위)
4. 4
   모든 구간의 결과를 합칩니다.

예제: |x − 1| + |x + 2| < 5

경계는 x = 1 (x − 1 = 0) 과 x = −2 (x + 2 = 0) 입니다. 구간은 $x < -2, -2 \le x < 1, x \ge 1$ 세 개입니다.

세 결과를 합치면 −3 < x < 2 입니다. 실제로 x = −3, x = 2 를 넣으면 좌변이 정확히 5가 되어 등호가 성립하지 않고, 그 사이의 값(예: x = 0 → 1 + 2 = 3)은 5보다 작습니다.