부등식의 답은 하나의 수가 아니라 범위입니다. 부등식의 성질을 다시 확인하고, 연립부등식에서 공통 범위를 읽는 법, 절댓값 기호가 든 부등식을 구간을 나누어 푸는 법까지 순서대로 익힙니다.
↩ 이전 자료: 고차방정식과 연립이차방정식, 인수분해로 차수 낮추기음수를 곱하면 부등호 방향이 바뀝니다. 그리고 a가 0이면 어떻게 될까요?
부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도, 양변에 같은 양수를 곱하거나 나누어도 부등호의 방향은 그대로입니다. 그러나 양변에 같은 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀝니다. 예를 들어 2 < 5 의 양변에 −1을 곱하면 −2 > −5 가 됩니다.
| 연산 | a < b 일 때 |
|---|---|
| 양변에 c를 더하기 / 빼기 | a + c < b + c, a − c < b − c |
| 양변에 양수 c를 곱하기 / 나누기 | ac < bc, a/c < b/c |
| 양변에 음수 c를 곱하기 / 나누기 | ac > bc, a/c > b/c (방향 반전) |
−3x > 6 의 양변을 −3으로 나누면 x < −2 입니다. 방향이 바뀐다는 것을 잊으면 x > −2 라는 틀린 답이 나옵니다.
일차부등식은 정리하면 항상 ax > b (또는 <, ≥, ≤) 꼴이 됩니다. 양변을 a로 나누어야 하는데, a의 부호에 따라 방향이 달라지고, a = 0이면 나눌 수조차 없습니다. 그래서 a > 0, a < 0, a = 0 세 경우로 나눕니다.
| a의 부호 | ax > b 의 해 |
|---|---|
| a > 0 | x > b/a |
| a < 0 | x < b/a (방향 반전) |
| a = 0 | 0·x > b — b < 0이면 모든 실수이면 해가 없다 |
a = 0일 때 좌변은 x에 관계없이 0이므로 부등식은 0 > b 가 됩니다. 이 식이 참이면 x에 무엇을 넣어도 성립하므로 해는 모든 실수(부정)이고, 거짓이면 해가 없습니다(불능).
(a − 1)x > 2 의 해를 a의 값에 따라 구해 봅시다.