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01고차방정식과 인수분해

차수가 높아져도 원리는 하나입니다: (인수) × (인수) = 0.

인수정리와 조립제법으로 풀기

삼차 이상의 방정식을 고차방정식이라 합니다. 고차방정식은 좌변을 인수분해하여 일차식·이차식의 곱 = 0 꼴로 만든 뒤, 각 인수를 0으로 놓고 풉니다. 공식으로 바로 인수분해되지 않으면 인수정리를 씁니다 $: f(\alpha ) = 0$ 인 α를 찾으면 f(x)는 $x - \alpha$ 로 나누어떨어지므로, 조립제법으로 몫을 구해 차수를 하나 낮춥니다.

f(\alpha ) = 0 \to f(x) = (x - \alpha ) \cdot (

몫)

1
$f(\alpha ) = 0$ 이 되는 α를 찾습니다. 후보는 ±(상수항의 약수)/(최고차항 계수의 약수)입니다.
2
조립제법으로 f(x)를 $x - \alpha$ 로 나누어 몫을 구합니다.
3
몫이 이차식이면 인수분해하거나 근의 공식을 씁니다. 삼차 이상이면 1~2를 반복합니다.
4
각 인수를 0으로 놓고 근을 모두 씁니다. 복소수 범위에서 n차 방정식은 중근을 포함해 n개의 근을 가집니다.

예제

$x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6 = 0$ 을 풀어 봅시다.

1
$f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6$ 에서 f(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 → x − 1이 인수
2
조립제법(1 | 1 −2 −5 6)으로 나누면 몫은 $x^{2} - x - 6$
3
$x^{2} - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ 이므로 f(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2)
4
x = 1 또는 x = 3 또는 x = −2

Check

$x^{3} - 8 = 0$ 은 $(x - 2)(x^{2} + 2x + 4) = 0$ . 실근은 x = 2 하나이고 $, x^{2} + 2x + 4 = 0$ 의 허근 $x = -1 \pm \sqrt{3} i$ 까지 합쳐 근은 모두 3개입니다.

치환을 이용한 풀이와 복이차식

같은 덩어리가 반복해서 나오면 그 덩어리를 t로 치환해 이차방정식으로 바꿉니다. 특히 $x^{4} + ax^{2} + b = 0$ 처럼 짝수 차수 항만 있는 식을 복이차식이라 하며 $, x^{2} = t$ 로 치환하면 t의 이차방정식이 됩니다.

x^{4} + ax^{2} + b = 0 \to x^{2} = t

로 치환

\to t^{2} + at + b = 0

예제

$x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0$ $\to t^{2} - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) = 0 \to x^{2} = 1$ 또는 $x^{2} = 4 \to x = \pm 1, \pm 2 ($ 실근 4개)

예제

$(x^{2} + 2x)^{2} - 2(x^{2} + 2x) - 3 = 0$ $\to x^{2} + 2x = t$ 로 놓으면 $t^{2} - 2t - 3 = (t - 3)(t + 1) = 0. t = 3$ 이면 $x^{2} + 2x - 3 = 0 \to x = 1, -3. t = -1$ 이면 $x^{2} + 2x + 1 = 0 \to x = -1 ($ 중근).

t로 치환해도 인수분해가 안 되면 $A^{2} - B^{2}$ 꼴을 만듭니다 $. x^{4} + ax^{2} + b$ 에 $x^{2}$ 의 항을 적당히 더하고 빼서 $(x^{2} + p)^{2} - (qx)^{2}$ 로 고치면 $(x^{2} + qx + p)(x^{2} - qx + p)$ 로 인수분해됩니다.

예제

$x^{4} + x^{2} + 1 = 0$ $\to t^{2} + t + 1$ 은 유리수 범위에서 인수분해되지 않습니다. 대신 $x^{2}$ 을 더하고 빼면 $(x^{4} + 2x^{2} + 1) - x^{2} = (x^{2} + 1)^{2} - x^{2} = (x^{2} + x + 1)(x^{2} - x + 1) = 0 \to x = (-1 \pm \sqrt{3} i)/2, (1 \pm \sqrt{3} i)/2$ . 실근은 없고 허근이 4개입니다.