고차방정식과 연립이차방정식, 인수분해로 차수 낮추기

인수정리와 조립제법으로 풀기

삼차 이상의 방정식을 고차방정식이라 합니다. 고차방정식은 좌변을 인수분해하여 일차식·이차식의 곱 = 0 꼴로 만든 뒤, 각 인수를 0으로 놓고 풉니다. 공식으로 바로 인수분해되지 않으면 인수정리를 씁니다: $f(\alpha ) = 0$인 α를 찾으면 f(x)는 $x - \alpha$로 나누어떨어지므로, 조립제법으로 몫을 구해 차수를 하나 낮춥니다.

1. 1
   $f(\alpha ) = 0$이 되는 α를 찾습니다. 후보는 ±(상수항의 약수)/(최고차항 계수의 약수)입니다.
2. 2
   조립제법으로 f(x)를 $x - \alpha$로 나누어 몫을 구합니다.
3. 3
   몫이 이차식이면 인수분해하거나 근의 공식을 씁니다. 삼차 이상이면 1~2를 반복합니다.
4. 4
   각 인수를 0으로 놓고 근을 모두 씁니다. 복소수 범위에서 n차 방정식은 중근을 포함해 n개의 근을 가집니다.

1. 1
   $f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6$에서 f(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 → x − 1이 인수
2. 2
   조립제법(1 | 1 −2 −5 6)으로 나누면 몫은 $x^{2} - x - 6$
3. 3
   $x^{2} - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$이므로 f(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2)
4. 4
   x = 1 또는 x = 3 또는 x = −2

치환을 이용한 풀이와 복이차식

같은 덩어리가 반복해서 나오면 그 덩어리를 t로 치환해 이차방정식으로 바꿉니다. 특히 $x^{4} + ax^{2} + b = 0$처럼 짝수 차수 항만 있는 식을 복이차식이라 하며, $x^{2} = t$로 치환하면 t의 이차방정식이 됩니다.

t로 치환해도 인수분해가 안 되면 $A^{2} - B^{2}$ 꼴을 만듭니다. $x^{4} + ax^{2} + b$에 $x^{2}$의 항을 적당히 더하고 빼서 $(x^{2} + p)^{2} - (qx)^{2}$ 로 고치면 $(x^{2} + qx + p)(x^{2} - qx + p)$로 인수분해됩니다.

세 근의 합, 두 근씩 곱한 것의 합, 세 근의 곱

선택 확장 · 이 카드의 삼차 근과 계수의 일반 관계는 현행의 간단한 삼차·사차방정식 풀이와 구별합니다. 기본 목표 완료에 필요하지 않습니다.

삼차방정식 $ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0$의 세 근이 α, β, γ이면 좌변은 $a(x - \alpha )(x - \beta )(x - \gamma )$로 인수분해됩니다. 이를 전개하면 $a\{x^{3} - (\alpha + \beta + \gamma )x^{2} + (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha )x - \alpha \beta \gamma \}$이므로, 원래 식과 계수를 비교하면 세 관계식이 나옵니다. 부호가 −, +, − 로 번갈아 나온다는 점을 기억하세요.

거꾸로 세 수 α, β, γ를 근으로 하고 $x^{3}$의 계수가 1인 삼차방정식은 $x^{3} - (\alpha + \beta + \gamma )x^{2} + (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha )x - \alpha \beta \gamma = 0$ 입니다.

1. 1
   $a = 1, b = -2, c = 3, d = -5 \to \alpha + \beta + \gamma = 2, \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 3, \alpha \beta \gamma = 5$
2. 2
   $\alpha ^{2} + \beta ^{2} + \gamma ^{2} = 2^{2} - 2\cdot 3 = 4 - 6 = -2$
3. 3
   제곱의 합이 음수인 것은 세 근 중에 허근이 있기 때문입니다.

$x^{3} = 1$의 허근 ω

$x^{3} = 1$, 즉 $x^{3} - 1 = (x - 1)(x^{2} + x + 1) = 0$의 근은 실근 1과 $x^{2} + x + 1 = 0$의 두 허근 $\dfrac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}$ 입니다. 이 허근 중 하나를 ω(오메가)라 하면, ω는 두 방정식을 동시에 만족합니다. 계산은 이 두 식만으로 합니다.

ω²이 $x^{2} + x + 1 = 0$의 근인 이유: $(\omega ^{2})^{2} + \omega ^{2} + 1 = \omega ^{4} + \omega ^{2} + 1 = \omega + \omega ^{2} + 1 = 0$. 그래서 ω와 ω²이 서로 켤레근이 되고, ω̄ 대신 ω²을 써서 계산할 수 있습니다.

1. 1
   10 = 3·3 + 1이므로 ω¹⁰ = (ω³)³·ω = ω
2. 2
   5 = 3·1 + 2이므로 ω⁵ = ω³·ω² = ω²
3. 3
   $\omega ^{10} + \omega ^{5} + 1 = \omega + \omega ^{2} + 1 = 0$

대입법으로 미지수 줄이기

미지수가 x, y 두 개이고 그중 하나 이상이 이차인 연립방정식을 연립이차방정식이라 합니다. 일차식이 하나 있으면 중2의 대입법 그대로, 일차식을 y = (x의 식) 꼴로 고쳐 이차식에 대입하면 x만의 이차방정식이 됩니다. 해는 순서쌍 (x, y)로 쓰며, 보통 두 쌍이 나옵니다.

1. 1
   일차식을 한 문자에 대하여 정리합니다. (예: y = x − 1)
2. 2
   이차식에 대입하여 한 문자의 이차방정식을 만듭니다.
3. 3
   이차방정식을 풀어 그 문자의 값을 구합니다.
4. 4
   각 값을 일차식에 대입해 나머지 문자를 구하고, 순서쌍으로 짝지어 씁니다.

1. 1
   일차식에서 x = y + 1
2. 2
   대입: $(y + 1)^{2} + y^{2} = 5 \to 2y^{2} + 2y - 4 = 0 \to y^{2} + y - 2 = 0 \to (y + 2)(y - 1) = 0$
3. 3
   y = 1이면 x = 2, y = −2이면 x = −1
4. 4
   해는 (x, y) = (2, 1), (−1, −2). 확인: 4 + 1 = 5 ✓, 1 + 4 = 5 ✓

인수분해되는 식이 있을 때

두 식이 모두 이차이면 바로 대입할 수 없습니다. 이때 한 식이 (일차식) × (일차식) = 0 꼴로 인수분해되면, 그 식은 두 개의 일차식으로 쪼개집니다. 각 일차식을 나머지 이차식과 연립하면 앞 섹션의 문제로 돌아갑니다.

1. 1
   첫 식: (x − y)(x + y) = 0 → y = x 또는 y = −x
2. 2
   y = x일 때: $x^{2} + 2x^{2} = 12 \to x^{2} = 4 \to x = \pm 2 \to (2, 2), (-2, -2)$
3. 3
   y = −x일 때: $x^{2} + 2x^{2} = 12 \to x = \pm 2 \to (2, -2), (-2, 2)$
4. 4
   해는 (2, 2), (−2, −2), (2, −2), (−2, 2)의 네 쌍

대칭식은 합과 곱으로 치환

x와 y를 바꿔도 식이 변하지 않는 연립방정식(대칭식)은 x + y = u, xy = v로 치환합니다. u, v를 구한 뒤에는 x, y가 $t^{2} - ut + v = 0$의 두 근이라는 사실(두 수를 근으로 하는 이차방정식)을 이용해 x, y를 찾습니다.

1. 1
   $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2xy$이므로 $(x + y)^{2} = 13 + 12 = 25 \to x + y = 5$ 또는 x + y = −5
2. 2
   $x + y = 5, xy = 6: t^{2} - 5t + 6 = 0 \to t = 2, 3 \to (2, 3), (3, 2)$
3. 3
   $x + y = -5, xy = 6: t^{2} + 5t + 6 = 0 \to t = -2, -3 \to (-2, -3), (-3, -2)$
4. 4
   해는 모두 네 쌍. 확인: $(-2)^{2} + (-3)^{2} = 13$ ✓, (−2)(−3) = 6 ✓