이차방정식, 판별식과 근의 성질

√ 안의 값이 근의 모양을 결정한다

이차방정식 $ax^{2} + bx + c = 0$의 근의 공식 $x = (-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}) / 2a$ 에서, 근이 실수인지 허수인지를 결정하는 것은 √ 안의 값 $b^{2} - 4ac$ 하나뿐입니다. 이 값을 판별식 D라 부릅니다. 중3까지는 D < 0이면 '근이 없다'고 했지만, 복소수를 배운 지금은 √(음수)도 허수로 쓸 수 있으므로 허근이 두 개 있다고 말합니다.

실근을 가질 조건은 $D \ge 0$입니다. x의 계수가 짝수(b = 2b')이면 $D/4 = b'^{2} - ac$를 쓰면 계산이 간단해집니다. 부호만 판정하면 되므로 D 대신 D/4를 써도 결론은 같습니다.

1. 1
   x의 계수가 −2 = 2·(−1)이므로 b' = −1
2. 2
   $D/4 = (-1)^{2} - 1\cdot 5 = 1 - 5 = -4 < 0$
3. 3
   따라서 서로 다른 두 허근. 실제로 근의 공식을 쓰면 $x = 1 \pm 2i$

판별식으로 계수의 조건 구하기

방정식에 미지의 계수 k가 들어 있어도 근을 구할 필요는 없습니다. D를 k의 식으로 쓰고 부호 조건을 풀면 k의 범위가 나옵니다.

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   실근을 가지려면 $D \ge 0$
2. 2
   $D/4 = 2^{2} - 1\cdot k = 4 - k$
3. 3
   $4 - k \ge 0 \to k \le 4$