이차방정식, 판별식과 근의 성질

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이 레슨에서 해볼 일

실수 계수 이차방정식의 판별식으로 실근·중근·허근을 구별한다.
근과 계수의 관계로 대칭식을 구하고 두 근으로 이차방정식을 구성한다.

먼저 볼 개념과 교과 연결

현재 교과의 개념을 연결합니다.

근의 공식 켤레복소수

2022 개정 · 고등학교 공통수학1: 10공수1-02-02, 10공수1-02-03계수가 실수인 이차방정식만 다룬다. 지나치게 복잡한 판별식·근 관계 조건은 기본 목표에서 제외한다.

교육과정 원문 대조 기준이며 교과서 진도와 교사 최종 검토는 확인 중입니다.

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기본 목표 문제0/3 확인

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전체 진도0%

01. 판별식과 근의 종류
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02. 근과 계수의 관계
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03. 이차방정식의 켤레근
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04. 이차방정식의 실근의 부호
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기초
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응용
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심화
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개념 카드는 읽은 만큼, 문제는 맞힌 만큼 올라갑니다. 이 기기에만 저장됩니다.

01판별식과 근의 종류

근의 공식에서 √ 안의 값만 보면 근이 실수인지 허수인지 알 수 있습니다.

√ 안의 값이 근의 모양을 결정한다

$ax^{2} + bx + c = 0$ 의 $x = (-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}) / 2a$ 에서, 근이 실수인지 인지를 결정하는 것은 √ 안의 값 $b^{2} - 4ac$ 하나뿐입니다. 이 값을 D라 부릅니다. 중3까지는 D < 0이면 '근이 없다'고 했지만, 를 배운 지금은 √()도 허수로 쓸 수 있으므로 이 두 개 있다고 말합니다.

D = b^{2} - 4ac

D의	근의 종류	예
D > 0	서로 다른 두	$x^{2} - 3x + 1 = 0 (D = 5)$
D = 0	(서로 같은 두 실근)	$x^{2} - 6x + 9 = 0 (D = 0)$
D < 0	서로 다른 두	$x^{2} - 2x + 5 = 0 (D = -16)$

을 가질 조건은 $D \ge 0$ 입니다. x의 가 (b = 2b')이면 $\dfrac{D}{4} = b'^{2} - ac$ 를 쓰면 계산이 간단해집니다. 만 판정하면 되므로 D 대신 $\dfrac{D}{4}$ 를 써도 결론은 같습니다.

예제

$x^{2} - 2x + 5 = 0$ 의 근을 판별해 봅시다.

1
x의 가 −2 = 2·(−1)이므로 b' = −1
2
$\dfrac{D}{4} = (-1)^{2} - 1\cdot 5 = 1 - 5 = -4 < 0$
3
따라서 서로 다른 두 . 실제로 을 쓰면 $x = 1 \pm 2i$

판별식으로 계수의 조건 구하기

에 미지의 k가 들어 있어도 근을 구할 필요는 없습니다. D를 k의 식으로 쓰고 조건을 풀면 k의 범위가 나옵니다.

예제

$x^{2} + 4x + k = 0$ 이 을 가질 때, 실수 k의 값의 범위는?

1
을 가지려면 $D \ge 0$
2
$\dfrac{D}{4} = 2^{2} - 1\cdot k = 4 - k$
3
$4 - k \ge 0 \to k \le 4$

Check

같은 식이 을 가지려면 $\dfrac{D}{4} = 4 - k = 0$ , 즉 k = 4. 이때 $x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)^{2} = 0$ 이므로 중근 x = −2가 맞습니다.

02근과 계수의 관계

두 근을 구하지 않아도 합과 곱은 계수에서 바로 읽을 수 있습니다.

두 근의 합과 곱

의 두 근 $(-b + \sqrt{D})/2a, (-b - \sqrt{D})/2a$ 를 더하면 $\sqrt{D}$ 부분이 사라지고, 곱하면 (합·차 공식으로 $) \sqrt{D}$ 의 만 남습니다. 그래서 합과 곱은 √ 없이 만으로 나타납니다. D < 0인 일 때도 그대로 성립합니다.

\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \alpha \beta = \frac{c}{a}

1
$\alpha + \beta = (-b + \sqrt{D})/2a + (-b - \sqrt{D})/2a = -2b/2a = -\dfrac{b}{a}$
2
$\alpha \beta = \{(-b)^{2} - (\sqrt{D})^{2}\}/4a^{2} = (b^{2} - b^{2} + 4ac)/4a^{2} = \dfrac{c}{a}$

예제

$2x^{2} - 6x + 1 = 0$ 의 두 근을 α, β라 할 때 α + β와 αβ는? a = 2, b = −6, c = 1이므로 $\alpha + \beta = -\dfrac{-6}{2} = 3, \alpha \beta = \dfrac{1}{2}$ 입니다.

대칭식의 값 구하기

α와 β를 서로 바꿔도 값이 변하지 않는 식을 이라 합니다. 대칭식은 항상 α + β와 αβ만으로 나타낼 수 있으므로, 근을 구하지 않고 값을 계산합니다.

	합·곱으로 나타내기
α² + β²	$(\alpha + \beta )^{2} - 2\alpha \beta$
(α − β)²	$(\alpha + \beta )^{2} - 4\alpha \beta$
\|α − β\|	$\sqrt{(\alpha + \beta )^{2} - 4\alpha \beta } = \sqrt{D} / \|a\| ($ 일 때)
$1/\alpha + 1/\beta$	(α + β) / αβ
α³ + β³	$(\alpha + \beta )^{3} - 3\alpha \beta (\alpha + \beta )$

예제

$x^{2} - 4x + 1 = 0$ 의 두 근 α, β에 대하여 α² + β²과 |α − β|를 구해 봅시다.

1
$\alpha + \beta = 4, \alpha \beta = 1$
2
$\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 4^{2} - 2\cdot 1 = 16 - 2 = 14$
3
$(\alpha - \beta )^{2} = 4^{2} - 4\cdot 1 = 12 \to |\alpha - \beta | = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
4
확인: $D = 16 - 4 = 12, \sqrt{D}/|a| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ ✓

두 수를 근으로 하는 이차방정식과 이차식의 인수분해

를 거꾸로 쓰면, 두 수 α, β를 근으로 하고 $x^{2}$ 의 가 1인 을 바로 만들 수 있습니다. 합을 x의 계수( 반대)에, 곱을 에 놓으면 됩니다.

x^{2} - (\alpha + \beta )x + \alpha \beta = 0

같은 원리로 $ax^{2} + bx + c$ 는 $ax^{2} + bx + c = 0$ 의 두 근 α, β를 써서 $a(x - \alpha )(x - \beta )$ 로 됩니다. 근이 여도 되므로, 범위에서는 모든 이차식이 두 개의 곱으로 인수분해됩니다.

예제

두 수 2 + i, 2 − i를 근으로 하고 $x^{2}$ 의 가 1인 을 구하고, 이를 이용해 $x^{2} - 4x + 5$ 를 해 봅시다.

1
합: (2 + i) + (2 − i) = 4, 곱: $(2 + i)(2 - i) = 4 - i^{2} = 5$
2
구하는 은 $x^{2} - 4x + 5 = 0$
3
따라서 $x^{2} - 4x + 5 = (x - 2 - i)(x - 2 + i)$

03이차방정식의 켤레근

계수에 조건이 있으면, 한 근만 알아도 나머지 근이 저절로 정해집니다.

켤레근의 성질

의 두 근은 $-b/2a \pm \sqrt{D}/2a$ 꼴로, ± 부분만 다릅니다. 그래서 가 인 에서 한 근이 $p + q\sqrt{r}$ 이면 다른 근은 $p - q\sqrt{r}$ 이고, 계수가 실수인 이차방정식에서 한 근이 p + qi 이면 다른 근은 p − qi 입니다. 이렇게 짝을 이루는 두 근을 이라 합니다.

의 조건	한 근	다른 근
a, b, c가	$p + q\sqrt{r} (p, q$ 유리수, $\sqrt{r}$ )	$p - q\sqrt{r}$
a, b, c가 실수	p + qi (p, q 실수, $q \ne 0)$	p − qi

의 조건을 꼭 확인해야 합니다. 예를 들어 $x^{2} - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0$ 의 근은 1과 $\sqrt{2}$ 인데, 계수에 가 섞여 있어서 $\sqrt{2}$ 의 켤레 $-\sqrt{2}$ 는 근이 아닙니다.

예제

$x^{2} + ax + b = 0$ 의 한 근이 $3 - \sqrt{2}$ 일 때, a, b의 값은?

1
가 이므로 다른 근은 $3 + \sqrt{2}$
2
두 근의 합 = 6, 곱 $= (3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 9 - 2 = 7$
3
에서 −a = 6, b = 7 → a = −6, b = 7
4
확인: $x^{2} - 6x + 7 = 0$ 에 $3 - \sqrt{2}$ 를 하면 $(11 - 6\sqrt{2}) - (18 - 6\sqrt{2}) + 7 = 0$ ✓

Check

실수 의 한 근이 1 + 2i이면 다른 근은 1 − 2i. 합 2, 곱 1 + 4 = 5이므로 $x^{2}$ 의 계수가 1인 은 $x^{2} - 2x + 5 = 0$ 입니다.

04이차방정식의 실근의 부호

근을 구하지 않고 부호를 판정합니다. 확인할 것은 판별식·합·곱 세 가지뿐입니다.

두 실근의 부호 조건

먼저 두 근이 실수여야 를 말할 수 있으므로 $D \ge 0$ 이 기본입니다. 그 위에서 곱 αβ의 부호가 두 근이 같은 부호인지 다른 부호인지를, 합 α + β의 부호가 같은 부호일 때 둘 다 인지 인지를 알려줍니다.

조건		합 α + β	곱 αβ
두 근이 모두	$D \ge 0$	> 0	> 0
두 근이 모두	$D \ge 0$	< 0	> 0
두 근의 가 다름	(자동으로 D > 0)	—	< 0

가 다른 경우에는 $\dfrac{c}{a} < 0$ 이면 −4ac > 0이라 $D = b^{2} - 4ac > 0$ 이 저절로 성립하므로 곱 < 0 하나만 확인하면 됩니다. '서로 다른 두 근'이라고 하면 $D \ge 0$ 대신 D > 0을 씁니다.

예제

$x^{2} - 2kx + k + 2 = 0$ 이 두 개의 양의 ( 포함)을 가질 때, 실수 k의 값의 범위는?

1
: $\dfrac{D}{4} = k^{2} - (k + 2) = (k - 2)(k + 1) \ge 0 \to k \le -1$ 또는 $k \ge 2$
2
합: 2k > 0 → k > 0
3
곱: k + 2 > 0 → k > −2
4
세 조건의 공통 범위: $k \ge 2. (k = 2$ 일 때 $x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2}$ , 2 ✓)

세 조건이 모두 겹치는 부분(색칠)이 답

k \ge 2

05레벨별로 풀어보기

개념을 확인했다면 아래 문제로 점검해 보세요. 답을 입력하고 채점하기를 누르면 결과가 나타납니다.

채점표

기초

0/5

응용

0/5

심화

0/3

기초판별식 계산, 합과 곱 읽기

문제 1

x^{2} - 4x + 7 = 0

의 의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

x^{2} - 5x + 8 = 0

의 근의 종류를 고르시오. (1 서로 다른 두 , 2 , 3 서로 다른 두 — 번호로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

x^{2} - 7x + 3 = 0

의 두 근을 α, β라 할 때, α + β의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

2x^{2} + 3x - 4 = 0

의 두 근을 α, β라 할 때, αβ의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

두 수 3, −5를 근으로 하고

x^{2}

의 가 1인 이

x^{2} + ax + b = 0

일 때, a, b의 값을 구하시오. (a,b 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

응용대칭식의 값, 계수 조건, 켤레근

문제 1

x^{2} - 5x + 2 = 0

의 두 근을 α, β라 할 때, α² + β²의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

x^{2} - 3x - 2 = 0

의 두 근을 α, β라 할 때, |α − β|의 값을 구하시오. (√ 기호 사용)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

x^{2} + 6x + k = 0

이 을 가질 때, 실수 k의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

x^{2} + ax + b = 0

의 한 근이

1 + \sqrt{2}

일 때, a, b의 값을 구하시오. (a,b 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

실수

x^{2} + ax + b = 0

의 한 근이 2 − 3i일 때, a + b의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

심화실근의 부호 조건, 삼차 대칭식

문제 1

x^{2} + 2kx + k + 6 = 0

이 서로 다른 두 음의 을 가질 때, 실수 k의 값의 범위를 구하시오. (k>a 형태로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

x^{2} - (k + 1)x + k^{2} - 4 = 0

의 두 의 가 서로 다를 때, 실수 k의 값의 범위를 구하시오. (a<k<b 형태로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

x^{2} + x + 1 = 0

의 두 근을 α, β라 할 때, α³ + β³의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)