점·선·면에서 시작해 직선과 각, 도형 사이의 위치 관계, 그리고 자와 컴퍼스로 하는 작도와 삼각형의 합동 조건까지 — 모든 도형 학습의 밑바탕이 되는 기본 개념을 정리합니다.
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도형을 이루는 가장 기본적인 요소부터 이름을 정확히 붙입니다.
도형을 이루는 기본 요소는 점, 선, 면입니다. 점이 움직인 자리가 선이 되고, 선이 움직인 자리가 면이 됩니다. 선과 선이 만나서 생기는 점을 , 면과 면이 만나서 생기는 선을 이라 합니다.
직육면체에서 8개는 (선)들이 만나는 이고, 모서리 12개는 면과 면이 만나는 입니다. 삼각형·원처럼 한 위에 놓이는 도형을 , 직육면체·처럼 한 평면 위에 놓이지 않고 공간을 차지하는 도형을 이라 합니다.
서로 다른 두 점 A, B를 지나 양쪽으로 끝없이 뻗은 선을 , 점 A에서 시작해 점 B 쪽으로만 끝없이 뻗은 선을 , 점 A에서 점 B까지의 부분만을 라 합니다.
와 직선 BA, 와 선분 BA는 각각 같은 도형입니다. 그러나 와 반직선 BA는 시작점이 다르므로 다른 도형입니다. 또 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나뿐이므로, 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C로 만들 수 있는 직선은 직선 AB, BC, CA의 3개입니다.
두 점 A, B를 잇는 선 중에서 가장 짧은 것은 이고, 그 길이를 라 합니다. 선분 AB 위에서 AM = MB가 되는 점 M을 선분 AB의 이라 합니다.
AB = 12cm이고 M이 AB의 , N이 AM의 중점일 때 NB의 길이는? AM = 6cm, AN = 3cm이므로 NB = AB − AN = 12 − 3 = 9cm입니다.
각의 종류를 구분하고, 수직과 거리를 정확히 정의합니다.
한 점 O에서 시작하는 두 OA, OB로 이루어진 도형을 라 하고 로 나타냅니다. 점 O를 각의 , 두 반직선을 각의 변이라 합니다. 각은 크기에 따라 다음과 같이 부릅니다.
| 종류 | 크기 |
|---|---|
| 180° (두 변이 한 을 이룸) | |
| 90° (평각의 절반) | |
| 0°보다 크고 90°보다 작은 각 | |
| 90°보다 크고 180°보다 작은 각 |
135°는 90°보다 크고 180°보다 작으므로 입니다. 위에 OC를 그으면 입니다. 예를 들어 이면 입니다.
두 이 만나서 이루는 각이 이면 두 직선은 한다고 하고 으로 나타냅니다. 이때 두 직선은 서로 이고, 한 직선을 다른 직선의 이라 합니다.
l 위에 있지 않은 점 P에서 l에 을 그어 l과 만나는 점 H를 이라 합니다. 점 P와 직선 l 위의 점을 잇는 중 PH가 가장 짧으므로, 선분 PH의 길이를 라 합니다.
평면에서는 세 가지, 공간에서는 '꼬인 위치'가 하나 더 생깁니다.
점과 의 관계는 '점이 직선 위에 있다' 또는 '직선 위에 있지 않다' 둘 중 하나입니다. 한 위에 있는 서로 다른 두 직선의 관계는 셋 중 하나입니다: 한 점에서 만난다, 하다(만나지 않는다, , 일치한다.
공간에서는 두 이 만나지도 않고 하지도 않은 경우가 하나 더 생깁니다. 이런 두 직선은 한 위에 놓을 수 없으며, 서로 에 있다고 합니다.
| 공간에서 두 | 만나는가 | 한 위에 있는가 |
|---|---|---|
| 한 점에서 만난다 | O | O |
| 하다 | X | O |
| 에 있다 | X | X |
직육면체 ABCD-EFGH(윗면 ABCD, 아랫면 EFGH, A 아래 E)에서 AB와 에 있는 모서리는? 12개 모서리 중 AB와 만나는 것은 AD, BC, AE, BF의 4개, 한 것은 DC, EF, HG의 3개입니다. 나머지 CG, DH, FG, EH의 4개가 꼬인 위치입니다.
과 의 관계는 '직선이 평면에 포함된다', '한 점에서 만난다', '하다'의 셋, 서로 다른 두 평면의 관계는 '만난다(이 생긴다)'와 '평행하다'의 둘입니다.
두 이 다른 한 직선과 만나면 여덟 개의 각이 생깁니다. 같은 쪽의 같은 위치에 있는 두 각을 , 안쪽에서 서로 엇갈린 위치에 있는 두 각을 이라 합니다. 두 직선이 하면 동위각의 크기가 서로 같고, 엇각의 크기도 서로 같습니다. 거꾸로 동위각(또는 엇각)의 크기가 같으면 두 직선은 평행합니다.
한 두 l, m이 한 직선과 만날 때 한 쌍의 이 (2x + 10)°와 70°이면 x의 값은? 엇각의 크기가 같으므로 2x + 10 = 70, 2x = 60, x = 30입니다.
자와 컴퍼스만으로 도형을 그리는 규칙이 곧 합동 조건이 됩니다.
눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용해 도형을 그리는 것을 라 합니다. 자는 두 점을 잇거나 선을 연장할 때만 쓰고, 컴퍼스는 원을 그리거나 길이를 옮길 때 씁니다. 크기가 같은 각은 다음 순서로 작도합니다.
삼각형은 다음 세 가지 중 하나가 주어지면 모양과 크기가 하나로 정해져 할 수 있습니다: 세 변의 길이, 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기. 단, 세 변이 주어질 때는 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 삼각형이 만들어집니다.
세 변의 길이가 3, 5, x인 삼각형이 있으려면 5 − 3 < x < 5 + 3, 즉 2 < x < 8이어야 합니다. x = 8이면 세 점이 한 위에 놓여 삼각형이 되지 않습니다. 또 두 변과 끼인각이 아닌 각이 주어지면 삼각형이 두 개 생기거나 아예 없을 수 있어 하나로 정해지지 않습니다.
모양과 크기가 같아서 완전히 포갤 수 있는 두 도형을 이라 하고 로 나타냅니다. 합동인 도형은 하는 변의 길이와 대응하는 각의 크기가 각각 같습니다. 삼각형의 조건이 그대로 합동 조건이 됩니다.
| 조건 | 내용 |
|---|---|
| SSS | 하는 세 변의 길이가 각각 같다 |
| SAS 합동 | 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같다 |
| ASA 합동 | 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같다 |
와 에서 AB = DE, BC = EF이다. SAS 이 되려면 어떤 각이 같아야 할까? 두 변 AB, BC의 끼인각은 이고, DE, EF의 끼인각은 입니다. 따라서 가 필요합니다.
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