삼각함수의 그래프와 방정식·부등식

$y = \sin x$ 의 그래프

각 x(라디안)의 동경이 단위원과 만나는 점은 $(\cos x, \sin x)$입니다. x가 0에서 $2\pi$까지 커질 때 이 점의 y좌표$(\sin x)$가 어떻게 변하는지를 가로축 x, 세로축 y로 옮겨 그리면 $y = \sin x$의 그래프가 됩니다. 0에서 1까지 올라갔다가 0을 거쳐 −1까지 내려온 뒤 다시 0으로 돌아옵니다.

그래프에서 읽을 수 있는 성질은 세 가지입니다. ① 정의역은 실수 전체, 치역은 $-1 \le y \le 1$이므로 최댓값 1, 최솟값 −1. ② $2\pi$마다 같은 모양이 반복됩니다 — $\sin (x + 2\pi ) = \sin x$. ③ $\sin (-x) = -\sin x$이므로 그래프는 원점에 대하여 대칭입니다. f(−x) = −f(x)인 함수를 홀함수라 합니다.

0이 아닌 상수 p에 대하여 f(x + p) = f(x)가 모든 x에서 성립하는 함수를 주기함수, 그런 양수 p 중 가장 작은 것을 주기라 합니다. $y = \sin x$는 주기가 $2\pi$인 주기함수입니다.

$y = \cos x$ 의 그래프

이번에는 단위원 위의 점의 x좌표$(\cos x)$를 따라갑니다. x = 0일 때 1에서 시작해 $\dfrac{\pi }{2}$에서 $0, \pi$에서 $-1, 3\pi /2$에서 $0, 2\pi$에서 다시 1이 됩니다.

치역과 주기는 $\sin$과 같습니다$(-1 \le y \le 1$, 주기 $2\pi )$. 다른 점은 대칭입니다. $\cos (-x) = \cos x$이므로 그래프는 y축에 대하여 대칭이고, 이런 함수를 짝함수라 합니다. 또 각의 변환에서 배운 $\sin (x + \dfrac{\pi }{2}) = \cos x$에 의해, $\cos$ 그래프는 $\sin$ 그래프를 x축 방향으로 $-\dfrac{\pi }{2}$만큼 평행이동한 것입니다 — 두 그림을 겹쳐 보면 물결이 왼쪽으로 $\dfrac{\pi }{2}$만큼 밀려 있습니다.

점근선과 주기 π

$\tan x = \sin x / \cos x$이므로 $\cos x = 0$이 되는 $x = \dfrac{\pi }{2} + n\pi$에서는 값이 정의되지 않습니다. 그 근처에서 분모가 0에 가까워지면 $|\tan x|$는 한없이 커지므로, 그래프는 세로선 $x = \dfrac{\pi }{2} + n\pi$에 한없이 가까워집니다. 이 세로선을 점근선이라 합니다.

성질을 정리하면 ① 정의역은 $x \ne \dfrac{\pi }{2} + n\pi$인 실수 전체, 치역은 실수 전체 — 최댓값도 최솟값도 없습니다. ② $\tan (x + \pi ) = \tan x$이므로 주기는 π입니다$(\sin , \cos$의 절반). ③ $\tan (-x) = -\tan x$이므로 원점 대칭인 홀함수이고, ④ 점근선은 $x = \dfrac{\pi }{2} + n\pi (n$은 정수)입니다.

평행이동과 확대·축소

$y = a \sin (bx + c) + d$는 $y = a \sin (b(x + \dfrac{c}{b})) + d$로 고쳐 쓸 수 있습니다. 각 상수의 역할은 다음과 같습니다. a는 y의 값을 a배 하므로 그래프가 y축 방향으로 |a|배 늘어나고(진폭 |a|), b는 x를 b배 빨리 돌게 하므로 x축 방향으로 1/|b|배 줄어들어 주기가 $2\pi /|b|$가 됩니다. $\dfrac{c}{b}$만큼 x축 방향으로 $-\dfrac{c}{b}$ 평행이동, d만큼 y축 방향으로 평행이동합니다.

최댓값·최솟값은 평행이동 c와 무관합니다. $\sin (bx + c)$가 어차피 −1과 1 사이를 모두 거치기 때문입니다. 반면 주기는 b에만 달려 있습니다.

1. 1
   a = 2, d = 1 → 최댓값 |2| + 1 = 3, 최솟값 −|2| + 1 = −1
2. 2
   b = 2 → 주기 $2\pi /2 = \pi$
3. 3
   $2x - \dfrac{\pi }{3} = 2(x - \dfrac{\pi }{6})$ 이므로 $y = 2 \sin 2x$ 를 x축 방향으로 $\dfrac{\pi }{6}, y$축 방향으로 1만큼 평행이동한 그래프

삼각함수를 포함한 식의 최대·최소

$\sin x$나 $\cos x$가 제곱으로 들어 있으면 $\sin x = t ($또는 $\cos x = t)$로 치환해 t의 이차함수로 바꿉니다. 이때 반드시 $-1 \le t \le 1$이라는 범위를 함께 적어야 합니다. $\sin$과 $\cos$가 섞여 있으면 $\sin ^{2}x = 1 - \cos ^{2}x$ 또는 $\cos ^{2}x = 1 - \sin ^{2}x$로 한 종류로 통일한 뒤 치환합니다.

1. 1
   $\cos ^{2}x = 1 - \sin ^{2}x$ 로 바꾸면 $y = -\sin ^{2}x + 2 \sin x + 1$
2. 2
   $\sin x = t (-1 \le t \le 1)$ 로 치환: $y = -t^{2} + 2t + 1 = -(t - 1)^{2} + 2$
3. 3
   꼭짓점 t = 1이 범위 안에 있으므로 t = 1일 때 최댓값 2, 범위의 반대쪽 끝 t = −1일 때 최솟값 −1 − 2 + 1 = −2

삼각방정식 — 교점의 x좌표

$\sin x = \dfrac{1}{2}$처럼 각이 미지수인 방정식을 삼각방정식이라 합니다. 해는 $y = \sin x$의 그래프와 직선 $y = \dfrac{1}{2}$의 교점의 x좌표입니다. 주기함수라 해가 무수히 많으므로 보통 $0 \le x < 2\pi$처럼 범위를 정해 풉니다.

1. 1
   특수각 표에서 값이 맞는 각 θ를 하나 찾습니다. $(\sin x = \dfrac{1}{2} \to \theta = \dfrac{\pi }{6})$
2. 2
   대칭으로 나머지 해를 찾습니다: $\sin$은 $\pi - \theta , \cos$는 $2\pi - \theta , \tan$는 π + θ가 같은 값을 가집니다.
3. 3
   부호가 음수이면 값이 음수가 되는 사분면$(\sin$은 $3\cdot 4, \cos$는 $2\cdot 3, \tan$는 2·4)에서 $\pi \pm \theta , 2\pi - \theta$ 꼴로 만듭니다.
4. 4
   주어진 범위 안의 해만 남깁니다.

1. 1
   $\cos (\dfrac{\pi }{3}) = \dfrac{1}{2}$ 이고 $\cos$가 음수인 곳은 제2·3사분면 $\to x = \pi - \dfrac{\pi }{3} = 2\pi /3, x = \pi + \dfrac{\pi }{3} = 4\pi /3$
2. 2
   $\tan (\dfrac{\pi }{4}) = 1$ 이고 $\tan$은 주기가 $\pi \to x = \dfrac{\pi }{4}, x = \dfrac{\pi }{4} + \pi = 5\pi /4$

삼각부등식 — 그래프의 위아래

$\sin x > \dfrac{1}{2}$ 같은 삼각부등식은 먼저 등호로 바꾼 방정식을 풀어 경계가 되는 x를 찾고, 그래프에서 $y = \sin x$가 직선 $y = \dfrac{1}{2}$보다 위에 있는 구간을 읽으면 됩니다. 아래 그림에서 두 교점 $\dfrac{\pi }{6}$과 $5\pi /6$ 사이에서 곡선이 직선 위에 있으므로 해는 $\dfrac{\pi }{6} < x < 5\pi /6$입니다.

1. 1
   부등호를 등호로 바꾼 삼각방정식을 범위 안에서 풉니다.
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   그래프(또는 단위원)에서 부등식을 만족하는 구간이 경계 사이인지 바깥인지 확인합니다.
3. 3
   등호가 포함되면 경계도 해에 넣습니다(≤, ≥).

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   $\cos x = \dfrac{1}{2}$ 의 해: $x = \dfrac{\pi }{3}, 5\pi /3$
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   $y = \cos x$ 는 x = 0에서 1로 시작해 내려갔다가 다시 올라오므로, 두 경계 사이에서 $\dfrac{1}{2}$ 이하
3. 3
   등호 포함 $\to \dfrac{\pi }{3} \le x \le 5\pi /3$