삼각함수의 각의 변환

$2n\pi + \theta$ 의 삼각함수

삼각함수의 값은 동경 위의 점의 좌표로 정해집니다. $2n\pi + \theta (n$은 정수)와 θ는 같은 동경을 나타내므로 단위원 위의 점도 같고, 삼각함수 값도 완전히 같습니다. 즉 각에서 $2\pi$의 정수배는 그냥 지워도 됩니다.

−θ 의 삼각함수 — x축 대칭

각 θ의 동경이 단위원과 만나는 점을 P(x, y)라 하면, 각 −θ의 동경은 반대 방향으로 같은 만큼 돌아간 것이므로 그 점은 P를 x축에 대하여 대칭이동한 점 (x, −y)입니다. x좌표$(\cos )$는 그대로, y좌표$(\sin )$는 부호가 바뀝니다.

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   $\sin (-30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\dfrac{1}{2}$
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   $\cos (-\dfrac{\pi }{3}) = \cos (\dfrac{\pi }{3}) = \dfrac{1}{2}$
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   $\tan (-\dfrac{\pi }{4}) = -\tan (\dfrac{\pi }{4}) = -1$

π + θ 와 π − θ 의 삼각함수

각 π + θ의 동경은 θ의 동경을 반 바퀴 더 돌린 것이므로, 단위원 위의 점은 P(x, y)를 원점에 대하여 대칭이동한 (−x, −y)입니다. $\sin$과 $\cos$의 부호가 모두 바뀌고, $\tan = \dfrac{y}{x}$는 부호가 두 번 바뀌어 그대로입니다.

각 π − θ의 동경 위의 점은 P를 y축에 대하여 대칭이동한 (−x, y)입니다. 위 그림에서 θ와 π − θ의 점이 좌우로 마주 보고 있는 것을 확인하세요. y좌표$(\sin )$는 그대로, x좌표$(\cos )$의 부호만 바뀝니다.

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   $4\pi /3 = \pi + \dfrac{\pi }{3}$ 이므로 $\sin (4\pi /3) = -\sin (\dfrac{\pi }{3}) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
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   150° = 180° − 30° 이므로 $\cos 150^{\circ} = -\cos 30^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{\pi }{2} - \theta$ 와 $\dfrac{\pi }{2} + \theta$ 의 삼각함수

각 $\dfrac{\pi }{2} - \theta$의 동경 위의 점은 P(x, y)를 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 (y, x)입니다. x좌표와 y좌표가 자리를 바꾸므로 $\sin$과 $\cos$가 서로 바뀝니다. 이것은 중3에서 본 $\sin (90^{\circ} - A) = cosA$와 같은 내용입니다.

각 $\dfrac{\pi }{2} + \theta$의 점은 (y, x)를 다시 y축에 대칭이동한 (−y, x)입니다. 역시 $\sin$과 $\cos$가 바뀌되, $\cos$에는 음의 부호가 붙습니다.

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   $5\pi /6 = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{3}$ 이므로 $\cos (5\pi /6) = -\sin (\dfrac{\pi }{3}) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
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   120° = 90° + 30° 이므로 $\sin 120^{\circ} = \cos 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
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   같은 각을 π − θ 꼴로 봐도 됩니다: $\cos (5\pi /6) = \cos (\pi - \dfrac{\pi }{6}) = -\cos (\dfrac{\pi }{6}) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — 결과는 같습니다.

두 가지 규칙으로 정리하기

지금까지 나온 변환은 모두 다음 두 규칙으로 정리됩니다. θ는 예각이라고 생각하고 적용하면 편합니다.

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   함수의 종류: $n\pi \pm \theta (\pi$의 정수배) 꼴이면 함수는 그대로. $\dfrac{\pi }{2} \pm \theta , 3\pi /2 \pm \theta (\dfrac{\pi }{2}$의 홀수배) 꼴이면 $\sin$ ↔ $\cos , \tan$ ↔ $1/\tan$으로 바뀝니다.
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   부호: θ를 예각으로 보고, 원래 각(변환하기 전의 각)이 있는 사분면에서 원래 함수의 부호를 붙입니다.

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   $\dfrac{\pi }{2} + \theta$는 $\dfrac{\pi }{2}$의 홀수배 꼴이므로 $\cos \to \sin$으로 바뀝니다.
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   θ가 예각이면 $\dfrac{\pi }{2} + \theta$는 제2사분면의 각이고, 제2사분면에서 원래 함수 $\cos$의 부호는 −.
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   따라서 $\cos (\dfrac{\pi }{2} + \theta ) = -\sin \theta$.

삼각함수표

삼각함수표는 0°부터 90°까지의 각에 대한 $\sin , \cos , \tan$의 값을 소수로 정리한 표입니다. 표에 0°~90°만 있는 이유가 바로 위의 변환입니다 — 어떤 각이든 변환을 거치면 0°~90°의 각으로 돌아오기 때문입니다. 특수각은 표 없이도 값을 알아야 합니다.

$\tan (\dfrac{\pi }{2})$는 $\cos (\dfrac{\pi }{2}) = 0$이라 정의되지 않습니다. 표에서 $\sin$의 줄을 거꾸로 읽으면 $\cos$의 줄이 되는 것은 $\sin (\dfrac{\pi }{2} - \theta ) = \cos \theta$ 때문입니다.

계산 절차

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   음의 각이면 −θ 공식으로 양의 각으로 바꿉니다. $(\sin , \tan$는 부호가 바뀌고 $\cos$는 그대로)
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   $2\pi (360^{\circ})$ 이상이면 $2n\pi$를 빼서 0 이상 $2\pi$ 미만으로 만듭니다.
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   각을 π ± θ 또는 $\dfrac{\pi }{2} \pm \theta , 3\pi /2 \pm \theta (\theta$는 예각) 꼴로 쓰고 변환 규칙을 적용합니다.
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   특수각의 값을 넣고, 사분면에 맞는 부호를 확인합니다.

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   $\sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2} ($제2사분면, $\sin$은 +)
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   $\cos 240^{\circ} = \cos (180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\dfrac{1}{2} ($제3사분면, $\cos$는 −)
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   $\tan (-45^{\circ}) = -\tan 45^{\circ} = -1$
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   $\sin (7\pi /6) = \sin (\pi + \dfrac{\pi }{6}) = -\sin (\dfrac{\pi }{6}) = -\dfrac{1}{2} ($제3사분면, $\sin$은 −)

식을 간단히 하기

θ가 들어 있는 식은 각 항을 $\sin \theta , \cos \theta , \tan \theta$로 바꾼 뒤 정리합니다. 같은 항이 상쇄되거나 $\sin ^{2}\theta + \cos ^{2}\theta = 1$로 묶이는 경우가 많습니다.

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   $\sin (\pi + \theta ) = -\sin \theta , \cos (\dfrac{\pi }{2} - \theta ) = \sin \theta \to$ 두 항의 합은 0
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   $\sin (-\theta ) = -\sin \theta , \tan (\dfrac{\pi }{2} + \theta ) = -1/\tan \theta = -\cos \theta /\sin \theta , \cos (\pi - \theta ) = -\cos \theta$
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   세 항의 곱: $(-\sin \theta ) \times (-\cos \theta /\sin \theta ) \times (-\cos \theta ) = -\cos ^{2}\theta$
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   따라서 전체는 $0 + (-\cos ^{2}\theta ) = -\cos ^{2}\theta$