일반각과 호도법, 삼각함수의 정의

시초선과 동경

중학교까지의 각은 0°에서 180° 사이의 '벌어진 정도'였습니다. 이제 각을 반직선이 회전한 양으로 다시 정의합니다. 좌표평면에서 원점 O를 중심으로 x축의 양의 부분 OX를 고정해 두고(시초선), 또 다른 반직선 OP를 O를 중심으로 회전시킵니다. 이 회전하는 반직선 OP를 동경이라 합니다.

회전 방향에 따라 부호를 붙입니다. 시계 반대 방향으로 돈 각은 양의 각, 시계 방향으로 돈 각은 음의 각입니다. 예를 들어 −90°는 시초선에서 시계 방향으로 90° 돈 각이고, 그 동경은 y축의 음의 부분 위에 있습니다.

일반각 — 같은 동경을 나타내는 모든 각

동경은 한 바퀴(360°)를 돌면 제자리로 돌아옵니다. 그래서 30°와 390°(= 360° + 30°), 750°(= 720° + 30°), −330°(= −360° + 30°)는 모두 같은 동경을 나타냅니다. 동경 OP가 나타내는 각 하나를 θ라 하면, 같은 동경을 나타내는 모든 각은 다음 꼴로 쓸 수 있고 이를 동경 OP의 일반각이라 합니다.

보통 θ는 $0^{\circ} \le \theta < 360^{\circ}$인 것으로 잡습니다. 주어진 각에서 360°를 더하거나 빼서 0° 이상 360° 미만으로 만들면 됩니다.

1. 1
   $1140^{\circ} = 360^{\circ} \times 3 + 60^{\circ} \to n = 3, \theta = 60^{\circ}$
2. 2
   $-200^{\circ} = 360^{\circ} \times (-1) + 160^{\circ} \to n = -1, \theta = 160^{\circ} (-200^{\circ}$에 360°를 더하면 160°)

사분면의 각

좌표축은 평면을 네 부분(제1~4사분면)으로 나눕니다. 각 θ의 동경이 제1사분면에 있으면 θ를 제1사분면의 각이라 하고, 나머지도 같습니다. 동경이 좌표축 위에 있는 각(0°, 90°, 180° 등)은 어느 사분면에도 속하지 않습니다.

라디안 — 호의 길이로 각을 재기

반지름이 r인 원에서 길이가 r인 호에 대한 중심각의 크기를 생각해 봅시다. 원의 크기가 달라도 호의 길이와 반지름이 함께 커지므로 이 중심각은 항상 같습니다. 이 일정한 각을 1라디안(rad)이라 하고, 라디안으로 각을 재는 방법을 호도법이라 합니다.

원의 둘레는 $2\pi r$이므로, 반지름 r짜리 호가 둘레에 $2\pi$개 들어갑니다. 즉 한 바퀴 360°는 $2\pi$라디안입니다. 여기서 도(°)와 라디안 사이의 기본 관계가 나옵니다.

1. 1
   도 → 라디안은 $\dfrac{\pi }{180}$을 곱합니다: $150^{\circ} = 150 \times \dfrac{\pi }{180} = 5\pi /6$
2. 2
   라디안 → 도는 $180^{\circ}/\pi$를 곱합니다: $5\pi /4 = \dfrac{5}{4} \times 180^{\circ} = 225^{\circ}$

호도법에서는 단위 'rad'를 보통 생략합니다. 각 $\dfrac{\pi }{3}$은 '3분의 파이 라디안'이고, 일반각도 $2n\pi + \theta (n$은 정수)로 씁니다.

부채꼴의 호의 길이와 넓이

반지름 r, 중심각 θ(라디안)인 부채꼴을 봅시다. 호의 길이 l은 중심각에 비례하므로 원 전체(중심각 $2\pi$, 둘레 $2\pi r)$와 비교하면 $l : 2\pi r = \theta : 2\pi$, 곧 $l = r\theta$입니다. 넓이 S도 중심각에 비례하므로 $S : \pi r^{2} = \theta : 2\pi$에서 $S = (\dfrac{1}{2})r^{2}\theta$가 됩니다.

60분법이었다면 $l = 2\pi r \times \dfrac{\theta }{360}$ 처럼 분수가 붙었을 텐데, 호도법에서는 곱셈 한 번으로 끝납니다. 이것이 호도법을 쓰는 가장 큰 이유입니다. 두 번째 넓이 공식 $S = (\dfrac{1}{2})rl$은 $l = r\theta$를 대입하면 바로 나오며, 호의 길이가 주어진 문제에서 편리합니다.

1. 1
   호의 길이 $l = r\theta = 3 \times 2\pi /3 = 2\pi$
2. 2
   넓이 $S = (\dfrac{1}{2}) r^{2} \theta = (\dfrac{1}{2}) \times 9 \times 2\pi /3 = 3\pi$
3. 3
   검산: $S = (\dfrac{1}{2}) r l = (\dfrac{1}{2}) \times 3 \times 2\pi = 3\pi$ — 두 공식의 결과가 같습니다.

동경 위의 점으로 정의하기

중3의 삼각비는 직각삼각형의 변의 비였기 때문에 0°보다 크고 90°보다 작은 각에서만 쓸 수 있었습니다. 이제 각 θ의 동경 위에 원점이 아닌 점 P(x, y)를 잡고, OP의 길이를 $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$라 합시다. 점 P를 동경 위 어디에 잡아도 삼각형이 닮음이라 비율 $\dfrac{y}{r}, \dfrac{x}{r}, \dfrac{y}{x}$는 변하지 않습니다. 이 비율을 θ의 삼각함수로 정의합니다.

특히 r = 1인 원, 즉 단위원 위에 점 P를 잡으면 P의 좌표는 그대로 $(\cos \theta , \sin \theta )$가 됩니다. 앞으로 삼각함수 값을 떠올릴 때는 단위원 위의 점의 x좌표가 $\cos , y$좌표가 $\sin$이라고 기억하면 됩니다. $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$에서는 이 정의가 중3 삼각비와 정확히 일치합니다.

1. 1
   $r = \sqrt{(-3)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$
2. 2
   $\sin \theta = \dfrac{y}{r} = \dfrac{4}{5}, \cos \theta = \dfrac{x}{r} = -\dfrac{3}{5}$
3. 3
   $\tan \theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{4}{-3} = -\dfrac{4}{3}$

사분면에 따른 부호

r은 길이라 항상 양수입니다. 따라서 $\sin \theta$의 부호는 y의 부호, $\cos \theta$의 부호는 x의 부호와 같고, $\tan \theta = \dfrac{y}{x}$의 부호는 x와 y의 부호가 같으면 +, 다르면 −입니다. 이를 사분면별로 정리하면 다음과 같습니다.

'양수인 것'만 외우면 편합니다: 제1사분면은 셋 다(all), 제2사분면은 $\sin$만, 제3사분면은 $\tan$만, 제4사분면은 $\cos$만 양수 — 흔히 얼(all)·싸$(\sin )\cdot$안$(\tan )\cdot$고$(\cos )$로 외웁니다.

$\sin ^{2}\theta + \cos ^{2}\theta = 1$ 과 $\tan \theta = \sin \theta /\cos \theta$

동경 위의 점 P(x, y)와 $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 사이에는 항상 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$이 성립합니다. 양변을 $r^{2}$으로 나누면 $(\dfrac{x}{r})^{2} + (\dfrac{y}{r})^{2} = 1$, 즉 $\cos ^{2}\theta + \sin ^{2}\theta = 1$입니다. 또 $\tan \theta = \dfrac{y}{x}$의 분자·분모를 r로 나누면 $\dfrac{y/r}{x/r}$이므로 $\tan \theta = \sin \theta /\cos \theta$입니다. 두 관계는 θ가 어느 사분면에 있든 성립합니다.

$\sin ^{2}\theta$는 $(\sin \theta )^{2}$을 줄여 쓴 것입니다. 첫 식은 단위원의 방정식 $x^{2} + y^{2} = 1$에 점 $(\cos \theta , \sin \theta )$를 대입한 것이라고 봐도 됩니다.

활용 — 한 값이 주어질 때 나머지 구하기

1. 1
   θ가 어느 사분면의 각인지 확인해 구하려는 삼각함수의 부호를 정합니다.
2. 2
   $\sin ^{2}\theta + \cos ^{2}\theta = 1$로 $\sin \theta$ 또는 $\cos \theta$의 크기를 구하고, 1단계에서 정한 부호를 붙입니다.
3. 3
   $\tan \theta = \sin \theta /\cos \theta$로 $\tan \theta$를 구합니다.

1. 1
   제2사분면에서는 $\sin \theta > 0, \tan \theta < 0$
2. 2
   $\sin ^{2}\theta = 1 - \cos ^{2}\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25} \to \sin \theta = \dfrac{4}{5} ($양수)
3. 3
   $\tan \theta = \sin \theta /\cos \theta = (\dfrac{4}{5}) \div (-\dfrac{3}{5}) = -\dfrac{4}{3}$

$\sin \theta + \cos \theta$ 같은 합이 주어지면 양변을 제곱해 봅니다. $(\sin \theta + \cos \theta )^{2} = \sin ^{2}\theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos ^{2}\theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$이므로 $\sin \theta \cos \theta$의 값을 얻을 수 있습니다. 차가 주어지면 $(\sin \theta - \cos \theta )^{2} = 1 - 2\sin \theta \cos \theta$를 씁니다.