지수·로그 방정식과 부등식

밑을 같게 하여 풀기

지수에 미지수가 있는 방정식을 지수방정식이라 합니다. 지수함수 $y = a^{x}$ 은 일대일 대응이므로, 밑이 같은 두 거듭제곱이 같으면 지수도 같아야 합니다. 이것이 지수방정식을 푸는 기본 원리입니다.

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   양변을 같은 밑의 거듭제곱으로 고칩니다 $(4 = 2^{2}, \dfrac{1}{8} = 2^{-3}$ 등).
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   지수끼리 같다고 놓아 방정식을 세웁니다.
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   그 방정식을 풉니다.

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   $4^{x} = (2^{2})^{x} = 2^{2x}$
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   $2^{2x} = 2^{x+3}$ 이므로 2x = x + 3
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   x = 3

치환하여 풀기

$a^{x}$ 과 $a^{2x} = (a^{x})^{2}$ 이 함께 나오면 $a^{x} = t$ 로 치환해 t의 이차방정식으로 바꿉니다. 이때 $a^{x} > 0$ 이므로 t > 0 인 해만 받아들이고, 음수인 t는 버립니다.

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   $2^{x} = t (t > 0)$ 로 놓으면 $4^{x} = t^{2}$ 이므로 $t^{2} - 5t + 4 = 0$
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   (t − 1)(t − 4) = 0 에서 t = 1 또는 t = 4 (둘 다 양수)
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   $2^{x} = 1$ 에서 $x = 0, 2^{x} = 4$ 에서 x = 2

밑이 미지수인 경우

밑에 미지수가 있으면 두 경우를 살펴야 합니다. 밑이 같고 지수가 다른 $x^f(x) = x^g(x) (x > 0)$ 꼴은 지수가 같은 경우(f = g) 외에 밑이 1인 경우(x = 1)도 해입니다. 1은 몇 제곱해도 1이기 때문입니다. 밑이 다르고 지수가 같은 $a^f(x) = b^f(x)$ 꼴은 지수가 0인 경우(f = 0)와 밑이 같은 경우(a = b)입니다.

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   지수가 같은 경우: x + 2 = 2x − 1 에서 x = 3
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   밑이 1인 경우: x = 1 이면 양변 모두 1 이므로 해
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   해는 1, 3 이고 합은 4

밑을 같게 하여 풀기

지수함수 $y = a^{x}$ 은 a > 1 이면 증가함수라 지수가 클수록 값이 크고, 0 < a < 1 이면 감소함수라 지수가 클수록 값이 작습니다. 그래서 지수끼리 비교할 때 밑이 1보다 작으면 부등호의 방향이 바뀝니다.

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   $\dfrac{1}{27} = (\dfrac{1}{3})^{3}$ 이므로 $(\dfrac{1}{3})^{x} \le (\dfrac{1}{3})^{3}$
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   밑 $\dfrac{1}{3}$ 이 1보다 작으므로 방향을 뒤집어 $x \ge 3$

치환하여 풀기

방정식과 마찬가지로 $a^{x} = t (t > 0)$ 로 치환해 t의 이차부등식을 풀고, t의 범위를 다시 x의 범위로 되돌립니다. 되돌릴 때도 밑의 크기에 따라 방향에 주의합니다.

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   $3^{x} = t (t > 0)$ 로 놓으면 $9^{x} = t^{2}$ 이므로 $t^{2} - 4t + 3 \le 0$
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   $(t - 1)(t - 3) \le 0$ 에서 $1 \le t \le 3$
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   $3^{0} \le 3^{x} \le 3^{1}$ 이고 밑 3 > 1 이므로 $0 \le x \le 1$

진수를 비교하여 풀기

로그 안에 미지수가 있는 방정식을 로그방정식이라 합니다. 로그함수도 일대일 대응이므로 밑이 같은 두 로그가 같으면 진수도 같습니다. 단, 로그가 정의되려면 진수 > 0 이어야 하므로 구한 해가 진수 조건을 만족하는지 반드시 확인합니다.

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   진수 조건(진수 > 0)에서 x의 범위를 구합니다.
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   $\log _a f(x) = b$ 꼴이면 $f(x) = a^{b}$ 으로, $\log _a f(x) = \log _a g(x)$ 꼴이면 f(x) = g(x) 로 바꿉니다.
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   해를 구한 뒤 진수 조건을 만족하는 것만 남깁니다.

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   진수 조건: x + 2 > 0 이고 3x − 4 > 0 에서 $x > \dfrac{4}{3}$
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   x + 2 = 3x − 4 에서 2x = 6, x = 3
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   x = 3 은 $x > \dfrac{4}{3}$ 을 만족하므로 해는 x = 3

치환하여 풀기

$(\log _a x)^{2}$ 과 $\log _a x$ 가 함께 나오면 $\log _a x = t$ 로 치환합니다. 지수와 달리 t는 어떤 실수든 될 수 있습니다. 진수 조건 x > 0 은 여전히 확인합니다.

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   진수 조건: x > 0
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   $\log _{2} x = t$ 로 놓으면 $t^{2} - 3t + 2 = 0, (t - 1)(t - 2) = 0$ 에서 t = 1 또는 t = 2
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   $\log _{2} x = 1$ 에서 $x = 2, \log _{2} x = 2$ 에서 x = 4 (둘 다 x > 0)

로그부등식

로그함수 $y = \log _a x$ 는 a > 1 이면 증가, 0 < a < 1 이면 감소합니다. 그래서 진수를 비교할 때 지수부등식과 같은 규칙이 적용됩니다. 여기에 진수 조건을 반드시 함께 풀어 공통 범위를 답합니다.

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   진수 조건: x − 1 > 0 에서 x > 1
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   $3 = \log _{2} 8$ 이므로 $\log _{2} (x - 1) < \log _{2} 8$. 밑 2 > 1 이므로 x − 1 < 8, x < 9
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   공통 범위: 1 < x < 9

지수·로그의 활용

일정한 비율로 늘거나 줄어드는 양(세균 수, 방사성 물질의 양, 복리 이자)은 지수함수로, 매우 큰 범위의 양을 다루기 쉽게 줄인 척도(지진 규모, 소리의 크기 dB, 산성도 pH)는 로그로 표현됩니다. 문제에서 식이 주어지면, 그 식을 지수·로그 방정식으로 세워 푸는 것이 전부입니다.

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   규모 $7: \log (A_{7} \div A_{0}) = 7$ 에서 $A_{7} = A_{0} \times 10^{7}$. 규모 $5: A_{5} = A_{0} \times 10^{5}$
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   $A_{7} \div A_{5} = 10^{7} \div 10^{5} = 10^{2} = 100$
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   따라서 100배. 규모가 1 커질 때마다 진폭은 10배가 됩니다.