지수·로그 방정식과 부등식

밑을 같게 하여 풀기

지수에 미지수가 있는 방정식을 지수방정식이라 합니다. 지수함수 y = aˣ 은 일대일 대응이므로, 밑이 같은 두 거듭제곱이 같으면 지수도 같아야 합니다. 이것이 지수방정식을 푸는 기본 원리입니다.

1. 1
   양변을 같은 밑의 거듭제곱으로 고칩니다 $(4 = 2^{2}, 1/8 = 2^{-3}$ 등).
2. 2
   지수끼리 같다고 놓아 방정식을 세웁니다.
3. 3
   그 방정식을 풉니다.

1. 1
   4ˣ $= (2^{2})$ˣ $= 2^{2x}$
2. 2
   $2^{2x} = 2^{x+3}$ 이므로 2x = x + 3
3. 3
   x = 3

치환하여 풀기

aˣ 과 $a^{2}$ˣ = (aˣ)² 이 함께 나오면 aˣ = t 로 치환해 t의 이차방정식으로 바꿉니다. 이때 aˣ > 0 이므로 t > 0 인 해만 받아들이고, 음수인 t는 버립니다.

1. 1
   2ˣ = t (t > 0) 로 놓으면 4ˣ $= t^{2}$ 이므로 $t^{2} - 5t + 4 = 0$
2. 2
   (t − 1)(t − 4) = 0 에서 t = 1 또는 t = 4 (둘 다 양수)
3. 3
   2ˣ = 1 에서 x = 0, 2ˣ = 4 에서 x = 2

밑이 미지수인 경우

밑에 미지수가 있으면 두 경우를 살펴야 합니다. 밑이 같고 지수가 다른 $x^f(x) = x^g(x) (x > 0)$ 꼴은 지수가 같은 경우(f = g) 외에 밑이 1인 경우(x = 1)도 해입니다. 1은 몇 제곱해도 1이기 때문입니다. 밑이 다르고 지수가 같은 $a^f(x) = b^f(x)$ 꼴은 지수가 0인 경우(f = 0)와 밑이 같은 경우(a = b)입니다.

1. 1
   지수가 같은 경우: x + 2 = 2x − 1 에서 x = 3
2. 2
   밑이 1인 경우: x = 1 이면 양변 모두 1 이므로 해
3. 3
   해는 1, 3 이고 합은 4