y = 2ˣ 은 x가 1 커질 때마다 y가 2배가 되는 함수이고 는 그 관계를 거꾸로 읽은 함수입니다. 두 그래프의 모양과 점근선, 평행이동, 그리고 이를 이용한 대소 비교와 최대·최소를 익힙니다.
↩ 이전 자료: 무리함수, 근호 안에 x가 있는 함수밑이 1보다 큰지 작은지가 그래프의 모양을 결정합니다.
인 상수 a에 대해 y = aˣ 을 밑이 a인 지수함수라고 합니다. 지수를 실수까지 확장했으므로 정의역은 실수 전체이고, aˣ 은 항상 양수이므로 치역은 y > 0 입니다. 밑이 1이면 y = 1 인 상수함수가 되므로 제외합니다.
y = 2ˣ 에서 x가 1 커질 때마다 y는 2배가 되므로 그래프는 오른쪽으로 갈수록 급격히 올라가고, 왼쪽으로 갈수록 0에 한없이 가까워지지만 0이 되지는 않습니다. 이렇게 그래프가 한없이 가까워지는 직선을 점근선이라 하며, y = aˣ 의 점근선은 x축(y = 0)입니다. 또 이므로 밑에 관계없이 항상 점 (0, 1)을 지납니다.
| a > 1 | 0 < a < 1 | |
|---|---|---|
| 증가·감소 | x가 커지면 y도 커짐 (증가) | x가 커지면 y는 작아짐 (감소) |
| 지나는 점 | (0, 1), (1, a) | (0, 1), (1, a) |
| 점근선 | x축 (y = 0) | x축 (y = 0) |
| 치역 | y > 0 | y > 0 |
(1/2)ˣ = 2⁻ˣ 이므로 y = (1/2)ˣ 의 그래프는 y = 2ˣ 의 그래프를 y축에 대해 대칭이동한 것입니다.
다른 함수와 마찬가지로 x 대신 x − m, y 대신 y − n 을 넣으면 x축 방향으로 m, y축 방향으로 n 만큼 평행이동한 그래프가 됩니다. 점근선도 함께 움직여 y = n 이 됩니다. 대칭이동은 x 또는 y의 부호를 바꿉니다.
| 변환 | 식 | 점근선 |
|---|---|---|
| x축으로 m, y축으로 n 평행이동 | y = n | |
| x축 대칭 | y = −aˣ | y = 0 |
| y축 대칭 | y = a⁻ˣ = (1/a)ˣ | y = 0 |
| 원점 대칭 | y = −a⁻ˣ | y = 0 |
의 그래프의 점근선과 y절편은?