지수함수와 로그함수의 그래프

지수함수 $y = a^{x}$

$a > 0, a \ne 1$ 인 상수 a에 대해 $y = a^{x}$ 을 밑이 a인 지수함수라고 합니다. 지수를 실수까지 확장했으므로 정의역은 실수 전체이고, $a^{x}$ 은 항상 양수이므로 치역은 y > 0 입니다. 밑이 1이면 y = 1 인 상수함수가 되므로 제외합니다.

$y = 2^{x}$ 에서 x가 1 커질 때마다 y는 2배가 되므로 그래프는 오른쪽으로 갈수록 급격히 올라가고, 왼쪽으로 갈수록 0에 한없이 가까워지지만 0이 되지는 않습니다. 이렇게 그래프가 한없이 가까워지는 직선을 점근선이라 하며, $y = a^{x}$ 의 점근선은 x축(y = 0)입니다. 또 $a^{0} = 1$ 이므로 밑에 관계없이 항상 점 (0, 1)을 지납니다.

지수함수 그래프의 평행이동과 대칭이동

다른 함수와 마찬가지로 x 대신 x − m, y 대신 y − n 을 넣으면 x축 방향으로 m, y축 방향으로 n 만큼 평행이동한 그래프가 됩니다. 점근선도 함께 움직여 y = n 이 됩니다. 대칭이동은 x 또는 y의 부호를 바꿉니다.

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   $y = 2^{x}$ 을 x축 방향으로 1, y축 방향으로 3 만큼 평행이동한 그래프
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   점근선은 y = 0 이 3 만큼 올라간 y = 3
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   x = 0 을 대입하면 $y = 2^{-1} + 3 = \dfrac{7}{2}$ 이므로 y절편은 $\dfrac{7}{2}$

로그함수 $y = \log _a x$

지수함수 $y = a^{x}$ 은 일대일 대응이므로 역함수를 가집니다. x와 y를 바꾼 $x = a^{y}$ 을 로그로 풀면 $y = \log _a x$. 이것이 밑이 a인 로그함수입니다. 역함수이므로 정의역과 치역이 서로 바뀌어, 정의역은 x > 0, 치역은 실수 전체입니다.

역함수의 그래프는 원래 그래프를 직선 y = x 에 대해 대칭이동한 것입니다. 따라서 $y = a^{x}$ 이 (0, 1)을 지나고 점근선이 y = 0 이었다면, $y = \log _a x$ 는 (1, 0)을 지나고 점근선은 y축(x = 0)입니다.

로그함수 그래프의 평행이동과 대칭이동

$y = \log _a (x - m) + n$ 은 $y = \log _a x$ 를 x축 방향으로 m, y축 방향으로 n 만큼 평행이동한 그래프이고, 점근선은 x = m 으로 옮겨집니다. 진수 x − m > 0 이어야 하므로 정의역도 x > m 으로 바뀝니다.

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   $y = \log _{2} x$ 를 x축 방향으로 −4 만큼 평행이동한 그래프
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   점근선은 x = 0 이 왼쪽으로 4 옮겨진 x = −4
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   y = 0 이면 $\log _{2} (x + 4) = 0, x + 4 = 1, x = -3$ 이므로 x절편은 −3

지수함수를 이용한 대소 비교

$y = a^{x}$ 이 a > 1 이면 증가함수이므로 지수가 클수록 값이 큽니다. 0 < a < 1 이면 감소함수이므로 지수가 클수록 값이 작습니다. 따라서 밑이 다른 수들은 먼저 같은 밑으로 고쳐 쓴 뒤 지수를 비교합니다.

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   모든 수를 같은 밑의 거듭제곱으로 고칩니다 $(4 = 2^{2}, 8 = 2^{3}$ 등).
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   밑이 1보다 크면 지수의 크기 순서가 그대로 값의 크기 순서입니다.
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   밑이 0과 1 사이이면 순서가 뒤집힙니다. 헷갈리면 $(\dfrac{1}{2})^{x} = 2^{-x}$ 처럼 밑을 1보다 크게 바꿔 씁니다.

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   $4^{\dfrac{1}{3}} = (2^{2})^{\dfrac{1}{3}} = 2^{\dfrac{2}{3}}, 8^{\dfrac{1}{4}} = (2^{3})^{\dfrac{1}{4}} = 2^{\dfrac{3}{4}}$
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   지수를 통분하면 $\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{12}, \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}, \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ 이므로 $\dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4}$
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   밑 2 > 1 이므로 $2^{\dfrac{1}{2}} < 4^{\dfrac{1}{3}} < 8^{\dfrac{1}{4}}$

로그함수를 이용한 대소 비교

마찬가지로 $y = \log _a x$ 는 a > 1 이면 증가함수라 진수가 클수록 값이 큽니다. 밑이 다르면 $\log _{a^{m}} b^{n} = (\dfrac{n}{m}) \log _a b$ 로 밑을 통일한 뒤, 계수를 진수 안으로 넣어$(k \log _a b = \log _a b^{k})$ 진수끼리 비교합니다.

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   $\log _{4} 20 = \log _{2^{2}} 20 = (\dfrac{1}{2}) \log _{2} 20 = \log _{2} 20^{\dfrac{1}{2}} = \log _{2} \sqrt{20}$
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   진수 비교: $5 = \sqrt{25}$ 이고 $\sqrt{25} > \sqrt{20}$
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   밑 2 > 1 이므로 $\log _{2} 5 > \log _{4} 20$

지수함수의 최대·최소

지수함수는 증가하거나 감소하기만 하므로, 닫힌 구간에서의 최댓값·최솟값은 구간의 양 끝에서 나옵니다. a > 1 이면 오른쪽 끝에서 최대, 왼쪽 끝에서 최소이고, 0 < a < 1 이면 그 반대입니다.

$a^{x}$ 과 $a^{2x} = (a^{x})^{2}$ 이 함께 있으면 $a^{x} = t$ 로 치환합니다. 이때 t > 0 이고, x의 범위에 맞춰 t의 범위도 바꿔야 합니다. 그러면 t에 대한 이차함수의 최대·최소 문제가 됩니다.

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   $2^{x} = t$ 로 놓으면 $0 \le x \le 2$ 에서 $2^{0} \le t \le 2^{2}$, 즉 $1 \le t \le 4$
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   $4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}$ 이므로 $y = t^{2} - 2t + 3 = (t - 1)^{2} + 2$
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   t = 1 (x = 0) 에서 최솟값 2, t = 4 (x = 2) 에서 최댓값 16 − 8 + 3 = 11

로그함수의 최대·최소

로그함수도 단조함수이므로 구간의 양 끝을 확인하면 됩니다. 단, 진수가 양수인 범위 안에서만 생각해야 합니다. $(\log _a x)^{2}$ 과 $\log _a x$ 가 함께 있으면 $\log _a x = t$ 로 치환합니다. 지수와 달리 t는 음수도 될 수 있으므로 x의 범위에서 t의 범위를 정확히 구합니다.

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   $\log _{3} x = t$ 로 놓으면 $1 \le x \le 27$ 에서 $\log _{3} 1 \le t \le \log _{3} 27$, 즉 $0 \le t \le 3$
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   $y = t^{2} - 2t = (t - 1)^{2} - 1$
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   t = 1 (x = 3) 에서 최솟값 −1, t = 3 (x = 27) 에서 최댓값 9 − 6 = 3