무리함수, 근호 안에 x가 있는 함수

무리식과 그 값이 실수가 될 조건

$\sqrt{x + 1}, \dfrac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 처럼 근호 안에 문자가 포함되어 있고 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 무리식이라 합니다. 실수 범위에서는 음수의 제곱근을 생각하지 않으므로, 무리식의 값이 실수가 되려면 근호 안의 식의 값이 0 이상이어야 하고, 근호가 분모에 있으면 0도 안 되므로 양수여야 합니다.

무리식의 연산: 분모의 유리화

무리식의 계산은 무리수와 같습니다. $a \ge 0, b \ge 0$ 일 때 $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}, b > 0$ 일 때 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ 를 쓰고, 분모에 근호가 있으면 분모의 유리화를 합니다. 분모가 $\sqrt{A} - \sqrt{B}$ 꼴이면 켤레 $\sqrt{A} + \sqrt{B}$ 를 분자·분모에 곱해 $(\sqrt{A})^{2} - (\sqrt{B})^{2} = A - B$ 로 근호를 없앱니다.

1. 1
   분모의 켤레 $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}$ 를 분자·분모에 곱합니다.
2. 2
   분모: $(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x})(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}) = (x + 1) - x = 1$
3. 3
   따라서 $\dfrac{1}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}} = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x}$
4. 4
   x = 4 를 넣어 확인: $\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2} = \sqrt{5} + 2$

무리함수와 $y = \sqrt{ax}$

y = f(x)에서 f(x)가 무리식인 함수를 무리함수라 합니다. 정의역이 따로 주어지지 않으면 근호 안이 0 이상이 되는 x 전체를 정의역으로 봅니다. 가장 기본인 $y = \sqrt{ax} (a \ne 0)$는 근호 안 $ax \ge 0$ 에서 정의되고, 근호의 값은 0 이상이므로 치역은 항상 $\{y | y \ge 0\}$입니다.

a > 0 이면 x가 커질수록 y가 커지는 증가함수이고, |a|가 클수록 그래프는 x축에서 멀어집니다(같은 x에서 y가 큼$). y = -\sqrt{ax}$ 는 $y = \sqrt{ax}$ 를 x축에 대해 대칭이동한 것이고, $y = \sqrt{-ax}$ 는 y축에 대해 대칭이동한 것입니다.

$y = \sqrt{a(x - p)} + q$ 의 그래프

$y = \sqrt{ax}$ 를 x축 방향으로 p, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 $y = \sqrt{a(x - p)} + q$ 입니다. 원점에서 출발하던 그래프가 이제 점 (p, q)에서 출발하므로 이 점을 시작점이라 부릅니다. 정의역과 치역도 그만큼 옮겨집니다.

$y = \sqrt{ax + b} + c$ 를 표준형으로

근호 안이 ax + b 꼴이면 x의 계수 a로 묶어 $\sqrt{a(x - p)} + q$ 꼴로 고친 뒤 시작점을 읽습니다. 시작점의 x좌표는 근호 안이 0이 되는 x, y좌표는 근호 바깥의 상수입니다.

1. 1
   $\sqrt{2x + 6} - 1 = \sqrt{2(x + 3)} - 1 \to$ 시작점 (−3, −1). a = 2 > 0 이므로 정의역 $x \ge -3$, 치역 $y \ge -1$
2. 2
   $\sqrt{4 - 2x} = \sqrt{-2(x - 2)} \to$ 시작점 (2, 0). a = −2 < 0 이므로 정의역 $x \le 2$, 치역 $y \ge 0$
3. 3
   빠른 확인: 근호 안 $\ge 0$ 을 풀면 정의역이 바로 나옵니다. $4 - 2x \ge 0 \to x \le 2$

정의역이 구간으로 제한되면, a > 0 일 때는 증가함수이므로 구간의 왼쪽 끝에서 최솟값, 오른쪽 끝에서 최댓값이 나옵니다 (a < 0 이면 반대).

무리함수의 역함수

$y = \sqrt{a(x - p)} + q$ 는 정의역에서 치역으로의 일대일대응이므로 역함수가 있습니다. x, y를 바꾸고 양변을 제곱해 정리하면 이차함수가 나오는데, 이때 역함수의 정의역은 원래 함수의 치역으로 제한해야 합니다. 거꾸로, 정의역이 제한된 이차함수의 역함수는 무리함수입니다.

1. 1
   f의 정의역은 $x \ge 1$, 치역은 $y \ge 0$
2. 2
   $y = \sqrt{x - 1}$ 에서 x, y를 바꿉니다: $x = \sqrt{y - 1}$
3. 3
   양변을 제곱: $x^{2} = y - 1 \to y = x^{2} + 1$
4. 4
   역함수의 정의역은 f의 치역이므로 $f^{-1}(x) = x^{2} + 1 (x \ge 0)$. 검산: $f(5) = 2, f^{-1}(2) = 5$

제한 없이 $y = x^{2} + 1$ 이라고만 쓰면 x < 0 인 부분까지 포함되어 f의 역함수가 아니게 됩니다. 두 그래프는 직선 y = x 에 대해 대칭입니다. $f^{-1}(a)$의 값만 필요하면 f(x) = a 를 풀어도 됩니다.

무리함수의 그래프와 직선의 위치관계 (개요)

선택 확장 · 제곱으로 얻은 방정식의 중근만 확인하지 말고 원래 근호식의 부호 조건과 접점도 검산합니다.

무리함수 $y = \sqrt{x}$ 와 직선 y = x + k 가 만나는 점의 개수는 k에 따라 달라집니다. 그래프를 그려 직선을 위아래로 움직여 보면서 판단하되, 접하는 순간의 k는 두 식을 연립해 제곱한 이차방정식의 판별식 D = 0으로 구합니다.

1. 1
   $\sqrt{x} = x + k$ 의 양변을 제곱: $x = x^{2} + 2kx + k^{2} \to x^{2} + (2k - 1)x + k^{2} = 0$
2. 2
   접할 조건 $D = (2k - 1)^{2} - 4k^{2} = 1 - 4k = 0 \to k = \dfrac{1}{4}$
3. 3
   $k = \dfrac{1}{4}$ 일 때 접점은 $x = \dfrac{1}{4}, y = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2} ($직선 $y = x + \dfrac{1}{4}$ 에서도 $\dfrac{1}{2})$

제곱한 방정식의 해 중에는 원래 식을 만족하지 않는 것(x + k < 0 인 해)이 섞일 수 있으므로, 개수를 셀 때는 반드시 그래프와 함께 확인합니다.