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01유리식과 그 연산

유리수 계산 규칙이 문자식에도 그대로 적용됩니다.

유리식과 분수식

두 다항식 $A, B (B \ne 0)$ 에 대해 A/B 꼴로 나타낼 수 있는 식을 유리식이라 합니다. 분모 B가 상수이면 그냥 다항식이고 $(x/3, x^{2} + 1$ 등), 분모에 문자가 들어 있으면 분수식이라 합니다(1/x, (x + 1)/(x − 2) 등). 유리수를 문자식으로 확장한 것이라고 생각하면 됩니다.

식	분류
x/3 + 1	다항식 (분모가 상수)
1/x	분수식
(x + 1)/(x − 2)	분수식 $(x \ne 2)$

분수식에서는 분모가 0이 되는 x는 제외합니다. (x + 1)/(x − 2) 는 $x \ne 2$ 에서만 의미가 있습니다.

유리식의 사칙연산

유리수와 규칙이 같습니다. 곱셈·나눗셈은 분자끼리, 분모끼리 곱한 뒤 공통인수로 약분하고, 덧셈·뺄셈은 분모를 통분한 뒤 분자끼리 더하거나 뺍니다. 분자·분모를 먼저 인수분해해 두면 약분할 것이 눈에 보입니다.

예제

1/(x − 1) + 1/(x + 1) 을 계산해 봅시다.

1
분모가 다르므로 통분합니다. 공통분모는 (x − 1)(x + 1)
2
(x + 1)/((x − 1)(x + 1)) + (x − 1)/((x − 1)(x + 1))
3
분자끼리 더하면 (x + 1) + (x − 1) = 2x
4
따라서 $2x/((x - 1)(x + 1)) = 2x/(x^{2} - 1)$

Check

$(x^{2} - 1)/(x - 1)$ 은 분자를 (x − 1)(x + 1)로 인수분해하면 x − 1 이 약분되어 x + 1 이 됩니다 (단 $, x \ne 1)$ .

부분분수와 번분수

분모가 두 일차식의 곱인 분수식은 두 분수의 차로 쪼갤 수 있습니다. 이것을 부분분수로 분해한다고 하며, 통분의 반대 방향입니다.

\frac{1}{AB} = \frac{1}{B - A} \cdot (\frac{1}{A} - \frac{1}{B}) (A \ne B)

Check

1/(x(x + 1)) 은 A = x, B = x + 1, B − A = 1 이므로 1/x − 1/(x + 1) 입니다. 거꾸로 통분해 보면 ((x + 1) − x)/(x(x + 1)) = 1/(x(x + 1)) 로 확인됩니다.

분자나 분모에 다시 분수가 들어 있는 식을 번분수라 합니다. 분수의 나눗셈이므로 $(a/b) \div (c/d) = ad/(bc)$ 로 정리합니다. 분자·분모를 각각 하나의 분수로 통분한 뒤 나누면 됩니다.

Check

$(1/x) \div (1 + 1/x)$ 는 분모를 (x + 1)/x 로 통분한 뒤 $(1/x) \times (x/(x + 1)) = 1/(x + 1)$ 이 됩니다.