분모에 문자가 있는 식이 분수식입니다. 유리식의 계산 규칙을 정리한 뒤, 중1 때 배운 반비례 그래프 를 평행이동해 모든 분수함수의 그래프·점근선·역함수를 다루는 방법을 익힙니다.
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유리수 계산 규칙이 문자식에도 그대로 적용됩니다.
두 에 대해 꼴로 나타낼 수 있는 식을 이라 합니다. B가 이면 그냥 다항식이고 등), 분모에 문자가 들어 있으면 이라 합니다 등). 를 문자식으로 확장한 것이라고 생각하면 됩니다.
| 식 | 분류 |
|---|---|
| (가 ) | |
| 분수식 |
에서는 가 0이 되는 x는 제외합니다. 는 에서만 의미가 있습니다.
와 규칙이 같습니다. 곱셈·나눗셈은 끼리, 끼리 곱한 뒤 로 하고, 덧셈·뺄셈은 분모를 한 뒤 분자끼리 더하거나 뺍니다. 분자·분모를 먼저 해 두면 약분할 것이 눈에 보입니다.
을 계산해 봅시다.
은 를 (x − 1)(x + 1)로 하면 x − 1 이 되어 x + 1 이 됩니다 (단, .
가 두 의 곱인 은 두 의 차로 쪼갤 수 있습니다. 이것을 로 분해한다고 하며, 의 반대 방향입니다.
은 A = x, B = x + 1, B − A = 1 이므로 입니다. 거꾸로 해 보면 로 확인됩니다.
나 에 다시 가 들어 있는 식을 라 합니다. 분수의 나눗셈이므로 로 정리합니다. 분자·분모를 각각 하나의 분수로 한 뒤 나누면 됩니다.
는 를 로 한 뒤 이 됩니다.
반비례 그래프를 다시 보면서 점근선이라는 개념을 붙입니다.
y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 인 를 라 하고, 그중 에 x가 있는 함수를 분수함수라고도 합니다. 가장 기본은 중1 에서 본 입니다. 는 두 갈래로 갈라진 곡선(쌍곡선)이며, 분모가 0이 되는 x = 0 은 에서 빠지고 0도 나오지 않으므로 정의역 , 입니다.
x가 0에 가까워지면 |y|는 한없이 커지고, |x|가 커지면 y는 0에 한없이 가까워집니다. 이렇게 곡선이 한없이 가까워지지만 만나지는 않는 을 이라 하며, 의 점근선은 x = 0 ()과 y = 0 ()입니다.
| k | 위치 | 각 구간에서 |
|---|---|---|
| k > 0 | 제1, 3 | x가 커지면 y는 감소 |
| k < 0 | 제2, 4사분면 | x가 커지면 y는 증가 |
|k|가 클수록 는 에서 멀어집니다. 또 그래프는 원점에 대해 이고, y = x, y = −x 에 대해서도 대칭입니다.
는 k = 3 > 0 이므로 제1, 3에 있고, 는 제2, 4사분면에 있습니다.
를 옮기면 점근선도 함께 옮겨집니다.
의 를 방향으로 p, 방향으로 q만큼 하면 가 됩니다. 그래프 모양은 그대로이고 만 따라 움직이므로 점근선은 x = p, y = q이고, 은 , 은 입니다. 두 점근선의 (p, q)가 그래프의 의 중심입니다.
의 과 ·은?
와 가 모두 인 는 분자를 분모로 나누어 꼴(표준형)로 고칠 수 있습니다. 분자를 '분모의 배 + 나머지'로 쪼개는 것이 핵심입니다.
을 표준형으로 고쳐 을 구해 봅시다.
빠른 확인: 의 은 가 0이 되는 와 의 비 입니다. 위 예에서 로 일치합니다.
이 일부 구간으로 제한되면 은 에서 읽습니다. k > 0 이면 x = p 의 양쪽 각 구간에서 x가 커질수록 y가 감소하므로, 구간의 양 끝에서 ·이 나옵니다 (k < 0 이면 증가).
분수함수는 일대일대응이므로 역함수가 있고, 역함수도 분수함수입니다.
는 에서 로의 이므로 가 존재합니다. 역함수는 x와 y를 바꾼 뒤 y에 대해 정리해 구하며, 결과도 입니다.
의 를 구해 봅시다.
원래 의 이 x = 1, y = 2 였다면 의 점근선은 x = 2, y = 1 로 서로 바뀝니다. 역함수의 은 원래 함수의 이기 때문입니다. 두 는 y = x 에 대해 입니다.
이므로 은 정말 x = 2, y = 1 입니다.
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