함수, 합성함수와 역함수

함수의 뜻: 하나씩 대응

두 집합 X, Y가 있을 때, X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응하는 관계를 X에서 Y로의 함수라 하고 f : X → Y 로 씁니다. X의 원소 x에 대응하는 Y의 원소를 f(x)라 쓰고, x에서의 함숫값이라고 합니다.

'하나씩'이 핵심입니다. X의 원소 중 대응하지 않는 것이 있어도, 한 원소가 Y의 두 원소에 동시에 대응해도 함수가 아닙니다. 반대로 Y에 대응받지 못한 원소가 남거나, Y의 한 원소에 X의 여러 원소가 몰려도 함수입니다.

정의역·공역·치역

정의역은 출발 집합 X, 공역은 도착 집합 Y이고, 실제로 대응된 함숫값 전체의 집합 $\{f(x) | x \in X\}$를 치역이라 합니다. 치역은 항상 공역의 부분집합이며, 공역과 같을 수도 있고 더 작을 수도 있습니다.

서로 같은 함수와 함수의 그래프

두 함수 f, g의 정의역과 공역이 같고, 정의역의 모든 x에 대해 f(x) = g(x)이면 두 함수를 서로 같은 함수라 하고 f = g 로 씁니다. 식의 모양이 달라도 됩니다. 정의역이 {−1, 1}이면 $f(x) = x^{2}$ 과 g(x) = 1 은 f(−1) = g(−1) = 1, f(1) = g(1) = 1 이므로 서로 같은 함수입니다.

함수 y = f(x)의 그래프는 순서쌍 (x, f(x)) 전체를 좌표평면에 나타낸 것입니다. 어떤 곡선이 함수의 그래프인지는 x축에 수직인 직선을 그어 확인합니다. 정의역의 각 x에서 그 직선이 그래프와 오직 한 점에서만 만나야 함수입니다(수직선 검사).