함수, 합성함수와 역함수

함수의 뜻: 하나씩 대응

두 집합 X, Y가 있을 때, X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응하는 관계를 X에서 Y로의 함수라 하고 f : X → Y 로 씁니다. X의 원소 x에 대응하는 Y의 원소를 f(x)라 쓰고, x에서의 함숫값이라고 합니다.

'하나씩'이 핵심입니다. X의 원소 중 대응하지 않는 것이 있어도, 한 원소가 Y의 두 원소에 동시에 대응해도 함수가 아닙니다. 반대로 Y에 대응받지 못한 원소가 남거나, Y의 한 원소에 X의 여러 원소가 몰려도 함수입니다.

정의역·공역·치역

정의역은 출발 집합 X, 공역은 도착 집합 Y이고, 실제로 대응된 함숫값 전체의 집합 $\{f(x) | x \in X\}$를 치역이라 합니다. 치역은 항상 공역의 부분집합이며, 공역과 같을 수도 있고 더 작을 수도 있습니다.

서로 같은 함수와 함수의 그래프

두 함수 f, g의 정의역과 공역이 같고, 정의역의 모든 x에 대해 f(x) = g(x)이면 두 함수를 서로 같은 함수라 하고 f = g 로 씁니다. 식의 모양이 달라도 됩니다. 정의역이 {−1, 1}이면 $f(x) = x^{2}$ 과 g(x) = 1 은 f(−1) = g(−1) = 1, f(1) = g(1) = 1 이므로 서로 같은 함수입니다.

함수 y = f(x)의 그래프는 순서쌍 (x, f(x)) 전체를 좌표평면에 나타낸 것입니다. 어떤 곡선이 함수의 그래프인지는 x축에 수직인 직선을 그어 확인합니다. 정의역의 각 x에서 그 직선이 그래프와 오직 한 점에서만 만나야 함수입니다(수직선 검사).

일대일함수와 일대일대응

정의역의 서로 다른 두 원소가 항상 서로 다른 함숫값을 가질 때, 즉 $x_{1} \ne x_{2}$ 이면 $f(x_{1}) \ne f(x_{2})$ 일 때 f를 일대일함수라 합니다. 여기에 치역 = 공역 조건까지 만족하면 일대일대응입니다. 일대일대응은 X와 Y의 원소가 빠짐없이 짝을 이루는 상태입니다.

그래프에서는 y축에 수직인 직선(가로선)을 그어 그래프와 많아야 한 점에서 만나면 일대일함수입니다. 공역의 모든 y에서 정확히 한 점씩 만나면 일대일대응입니다.

항등함수와 상수함수

항등함수는 정의역의 각 원소를 자기 자신에 대응시키는 함수 I(x) = x 입니다. 그래프는 직선 y = x 이고, 항등함수는 일대일대응입니다. 상수함수는 정의역의 모든 원소를 공역의 한 원소 c에 대응시키는 함수 f(x) = c 로, 그래프는 x축에 평행한 직선입니다.

합성함수의 뜻

두 함수 f : X → Y, g : Y → Z가 있으면 x를 f로 보내 f(x)를 얻고, 그 값을 다시 g로 보내 g(f(x))를 얻을 수 있습니다. 이렇게 f를 먼저, g를 나중에 적용하는 새 함수를 f와 g의 합성함수라 하고 g∘f 로 씁니다. 기호에서는 먼저 적용하는 함수를 오른쪽에 씁니다.

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   (g∘f)(3) = g(f(3)) — 안쪽 f부터 계산: f(3) = 4
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   g(4) = 8 이므로 (g∘f)(3) = 8
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   (f∘g)(3) = f(g(3)) — g(3) = 6, f(6) = 7 이므로 (f∘g)(3) = 7
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   식으로 정리하면 (g∘f)(x) = 2(x + 1) = 2x + 2, (f∘g)(x) = 2x + 1

g∘f 가 정의되려면 f의 치역이 g의 정의역에 포함되어야 합니다.

합성함수의 성질

위 예제에서 (g∘f)(3) = 8, (f∘g)(3) = 7 로 다릅니다. 즉 합성함수는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다 (g∘$f \ne f$∘g). 반면 세 함수를 합성할 때 어느 둘을 먼저 묶든 결과는 같으므로 결합법칙은 성립합니다.

역함수의 뜻과 존재 조건

함수 f : X → Y가 일대일대응이면 Y의 각 원소 y에 대해 f(x) = y 인 x가 X에 오직 하나 있습니다. 그래서 y에 그 x를 대응시키는 '거꾸로 가는' 대응도 함수가 되는데, 이것을 f의 역함수라 하고 $f^{-1} : Y \to X$ 로 씁니다.

역함수가 존재할 조건은 f가 일대일대응인 것입니다. 일대일이 아니면 한 y에 x가 여러 개 대응해 함수가 되지 않고, 치역이 공역보다 작으면 대응할 x가 없는 y가 생깁니다. $y = x^{2}$ 은 실수 전체에서는 역함수가 없지만, 정의역을 $x \ge 0$ 으로 제한하면 일대일대응이 되어 역함수를 가집니다. 또 $f^{-1}$의 정의역은 f의 치역, $f^{-1}$의 치역은 f의 정의역입니다.

역함수 구하는 방법

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   함수를 y = f(x) 꼴로 씁니다.
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   x와 y를 서로 바꿉니다: x = f(y)
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   바꾼 식을 y에 대해 정리하면 $y = f^{-1}(x)$ 입니다.
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   f의 치역이 $f^{-1}$의 정의역이 되므로, 정의역이 제한된 경우 함께 적습니다.

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   y = 2x − 2
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   x와 y를 바꾸면 x = 2y − 2
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   y에 대해 정리: $2y = x + 2 \to y = \dfrac{x}{2} + 1$
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   따라서 $f^{-1}(x) = \dfrac{x}{2} + 1$. 검산: f(3) = 4 이고 $f^{-1}(4) = 3$

$f^{-1}(a)$의 값만 필요하면 역함수를 구하지 않고 f(x) = a 를 풀어 x를 찾는 편이 빠릅니다. $f^{-1}(a) = b \Leftrightarrow f(b) = a$ 이기 때문입니다.

역함수의 성질과 그래프

역함수의 역함수는 원래 함수이고, f와 $f^{-1}$을 합성하면 항등함수가 됩니다. 합성함수의 역함수는 순서가 뒤집힌다는 점에 주의하세요. 셔츠 → 코트 순서로 입었다면 벗을 때는 코트 → 셔츠 순서인 것과 같습니다.

f의 그래프 위의 점 (a, b)에 대해 f(a) = b 이면 $f^{-1}(b) = a$ 이므로 (b, a)는 $f^{-1}$의 그래프 위에 있습니다. (a, b)와 (b, a)는 직선 y = x 에 대해 대칭이므로 y = f(x)와 $y = f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 y = x 에 대해 대칭입니다. 특히 f가 증가함수(x가 커지면 f(x)도 커지는 함수)이면 두 그래프의 교점은 직선 y = x 위에 있으므로, 교점은 f(x) = x 를 풀어 구할 수 있습니다.