이차함수의 최대·최소와 이차방정식의 근

표준형과 일반형

이차함수 $y = ax^{2} + bx + c (a \ne 0)$의 그래프는 포물선입니다. 일반형 $y = ax^{2} + bx + c$를 완전제곱하여 표준형 $y = a(x - p)^{2} + q$로 고치면 꼭짓점 (p, q)와 축 x = p를 바로 읽을 수 있습니다. $(x - p)^{2} \ge 0$이므로 a > 0이면 x = p에서 y가 가장 작고, a < 0이면 가장 큽니다.

일반형에서 완전제곱을 하지 않고도 꼭짓점의 x좌표는 x = −b/2a로 구할 수 있습니다. 이 값을 함수에 대입하면 y좌표가 나옵니다.

1. 1
   $x^{2} - 4x$에 $(-\dfrac{4}{2})^{2} = 4$를 더하고 빼기: $y = (x^{2} - 4x + 4) - 4 + 1$
2. 2
   $y = (x - 2)^{2} - 3$
3. 3
   꼭짓점 (2, −3), 축 x = 2, a = 1 > 0이므로 아래로 볼록

정의역이 실수 전체일 때

x가 모든 실수를 움직일 때 포물선은 한쪽으로 끝없이 뻗어 나가므로, 최댓값과 최솟값 중 하나만 존재합니다. a > 0이면 x = p에서 최솟값 q를 갖고 최댓값은 없습니다. a < 0이면 x = p에서 최댓값 q를 갖고 최솟값은 없습니다.

제한된 범위에서의 최대·최소

x의 범위가 $\alpha \le x \le \beta$로 제한되면 그래프의 일부만 보게 되므로 최댓값과 최솟값이 모두 생깁니다. 후보는 꼭짓점의 y좌표와 양 끝의 함숫값 $f(\alpha ), f(\beta )$ 세 개뿐입니다. 꼭짓점이 구간 밖에 있으면 그 구간에서는 계속 증가하거나 계속 감소하므로 양 끝값만 비교하면 됩니다.

1. 1
   표준형으로 고쳐 꼭짓점의 x좌표 p를 구합니다.
2. 2
   p가 구간 $\alpha \le x \le \beta$ 안에 있는지 확인합니다.
3. 3
   안에 있으면: 꼭짓점의 y좌표와 $f(\alpha ), f(\beta )$를 비교합니다.
4. 4
   밖에 있으면: $f(\alpha ), f(\beta )$ 중 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값입니다.

1. 1
   $y = (x - 1)^{2} + 2$, 꼭짓점 x = 1은 구간 $0 \le x \le 3$ 안에 있음
2. 2
   a > 0이므로 최솟값은 꼭짓점의 y좌표 2 (x = 1)
3. 3
   양 끝값: f(0) = 3, f(3) = 9 − 6 + 3 = 6 → 최댓값 6 (x = 3)

최대·최소의 활용

'가장 큰 넓이', '가장 높은 높이' 같은 문제는 구하려는 양을 한 변수의 이차식으로 세운 뒤 표준형으로 고쳐 꼭짓점을 찾는 문제입니다. 변수의 범위(길이는 양수 등)를 꼭 확인합니다.

1. 1
   가로를 x라 하면 가로 + 세로 = 10이므로 세로는 10 − x (0 < x < 10)
2. 2
   넓이 $S = x(10 - x) = -x^{2} + 10x$
3. 3
   $S = -(x^{2} - 10x + 25) + 25 = -(x - 5)^{2} + 25$
4. 4
   x = 5(구간 안)일 때 최댓값 25. 가로 = 세로 = 5인 정사각형일 때 넓이가 가장 큽니다.

x축과의 교점 = 이차방정식의 실근

$y = ax^{2} + bx + c$의 그래프가 x축(y = 0)과 만나는 점의 x좌표는 $ax^{2} + bx + c = 0$의 실근입니다. 즉 x절편이 곧 실근이고, 교점의 개수는 실근의 개수와 같으므로 판별식 $D = b^{2} - 4ac$의 부호로 판정합니다.

직선과의 위치 관계

포물선 $y = ax^{2} + bx + c$와 직선 y = mx + n의 교점에서는 두 y값이 같으므로, 교점의 x좌표는 두 식을 연립한 $ax^{2} + (b - m)x + (c - n) = 0$의 실근입니다. 이 이차방정식의 판별식으로 위치 관계를 판정합니다.

1. 1
   연립: $x^{2} + 2x + k = 4x + 1 \to x^{2} - 2x + k - 1 = 0$
2. 2
   접하려면 $\dfrac{D}{4} = (-1)^{2} - (k - 1) = 2 - k = 0$
3. 3
   k = 2. (확인: $x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2} = 0$, 접점의 x좌표는 1)

두 근이 모두 k보다 클 조건

$f(x) = ax^{2} + bx + c (a > 0)$의 두 실근이 모두 k보다 크다는 것은, 그래프가 x축과 만나는 두 점이 모두 x = k의 오른쪽에 있다는 뜻입니다. 그림을 그려 보면 세 가지가 필요합니다: (i) x축과 만나야 하므로 $D \ge 0, (ii)$ 축이 k보다 오른쪽에 있어야 하므로 −b/2a > k, (iii) x = k에서 그래프가 x축 위에 있어야 하므로 f(k) > 0. 세 조건 중 하나라도 빠지면 반례가 생깁니다.

두 근 사이에 k가 있는 경우는 x = k에서 그래프가 x축 아래에 있으면 되므로 f(k) < 0 하나만 확인합니다. a < 0이면 양변에 −1을 곱해 a > 0으로 만든 뒤 적용합니다.

1. 1
   $f(x) = x^{2} - 2mx + m + 6$으로 놓습니다.
2. 2
   판별식: $\dfrac{D}{4} = m^{2} - (m + 6) = (m - 3)(m + 2) \ge 0 \to m \le -2$ 또는 $m \ge 3$
3. 3
   축: x = m > 1
4. 4
   경계: f(1) = 1 − 2m + m + 6 = 7 − m > 0 → m < 7
5. 5
   공통 범위: $3 \le m < 7. (m = 3$이면 $(x - 3)^{2} = 0$, 중근 3 > 1 ✓)