studycafe
홈›고1 · 공통수학2›05 도형의 방정식
고1 공통수학2 · 도형의 방정식

도형의 평행이동과 대칭이동

점을 옮기는 규칙과 도형(방정식)을 옮기는 규칙은 부호가 반대로 보입니다. 왜 그런지 이해하면 헷갈리지 않습니다. 평행이동, 축·원점·직선에 대한 대칭이동, 그리고 이들을 이어 붙이는 합성까지 다룹니다.

↩ 이전 자료: 원과 직선의 위치관계, 원의 접선

01평행이동

점은 더하고, 도형의 식은 뺍니다 — 이유를 알면 헷갈리지 않습니다.

점의 평행이동

점 (x, y)를 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 옮기는 것을 평행이동이라 합니다. 좌표는 각각 a, b만큼 더해집니다.

(x,y)→(x+a,y+b)(x, y) \to (x + a, y + b)
Check

점 (1, −2)를 x축 방향으로 2, y축 방향으로 −3만큼 평행이동하면 (1 + 2, −2 − 3) = (3, −5)입니다.

도형의 평행이동 — 부호가 반대인 이유

도형 f(x, y) = 0 위의 점 (x, y)를 옮긴 점을 (x', y')라 하면 x' = x + a, y' = y + b 입니다. 옮긴 도형의 방정식은 x', y'가 만족하는 식이어야 하므로 원래 점을 x = x' − a, y = y' − b 로 되돌려 원래 식에 넣습니다. 그래서 식에서는 a, b를 빼는 것처럼 보입니다.

f(x,y)=0→f(x−a,y−b)=0f(x, y) = 0 \to f(x - a, y - b) = 0
예제

직선 y = 2x + 1을 x축 방향으로 1, y축 방향으로 3만큼 평행이동한 직선을 구해 봅시다.

  1. 1
    x 대신 x − 1, y 대신 y − 3을 넣습니다: y − 3 = 2(x − 1) + 1
  2. 2
    y = 2x − 2 + 1 + 3 = 2x + 2
  3. 3
    확인: 원래 직선 위의 점 (0, 1)은 (1, 4)로 옮겨지고, 2·1 + 2 = 4로 새 직선 위에 있습니다.

원의 평행이동은 중심만 옮기면 됩니다. 반지름은 변하지 않습니다.(x−1)2+(y+2)2=4. (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4를 x축 방향으로 −3, y축 방향으로 5만큼 옮기면 중심 (1, −2)가 (−2, 3)으로 가서 (x+2)2+(y−3)2=4(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4입니다.