도형의 평행이동과 대칭이동

홈›고1 · 공통수학2›05 도형의 방정식

이 레슨에서 해볼 일

점과 도형의 평행이동에서 좌표 변화와 식 대입 부호를 설명한다.
원점·좌표축·직선 y=x에 대한 대칭이동을 구별하고 순서대로 적용한다.

먼저 볼 개념과 교과 연결

현재 교과의 개념을 연결합니다.

순서쌍과 좌표 일반형 x² + y² + Ax + By + C = 0

2022 개정 · 고등학교 공통수학2: 10공수2-01-06, 10공수2-01-07도형을 고정 좌표계에서 이동한다. 좌표축의 평행이동은 다루지 않는다. y=−x 및 x=a,y=b 대칭은 명시된 네 대칭의 관련 선택 확장이다.

교육과정 원문 대조 기준이며 교과서 진도와 교사 최종 검토는 확인 중입니다.

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기본 목표 문제0/3 확인

대표 목표를 확인하는 문제입니다. 선택 심화는 별도로 도전할 수 있어요.

전체 진도0%

01. 평행이동
0/2 · 0%
02. 대칭이동 — 축, 원점, 직선 y = x
0/2 · 0%
03. 직선 y = −x, x = a, y = b에 대한 대칭
0/2 · 0%
04. 평행이동과 대칭이동의 합성
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기초
0/5 · 0%
응용
0/5 · 0%
심화
0/3 · 0%

개념 카드는 읽은 만큼, 문제는 맞힌 만큼 올라갑니다. 이 기기에만 저장됩니다.

01평행이동

점은 더하고, 도형의 식은 뺍니다 — 이유를 알면 헷갈리지 않습니다.

점의 평행이동

점 (x, y)를 방향으로 a만큼, 방향으로 b만큼 옮기는 것을 이라 합니다. 는 각각 a, b만큼 더해집니다.

(x, y) \to (x + a, y + b)

Check

점 (1, −2)를 방향으로 2, 방향으로 −3만큼 하면 (1 + 2, −2 − 3) = (3, −5)입니다.

도형의 평행이동 — 부호가 반대인 이유

도형 f(x, y) = 0 위의 점 (x, y)를 옮긴 점을 (x', y')라 하면 x' = x + a, y' = y + b 입니다. 옮긴 도형의 은 x', y'가 만족하는 식이어야 하므로 원래 점을 x = x' − a, y = y' − b 로 되돌려 원래 식에 넣습니다. 그래서 식에서는 a, b를 빼는 것처럼 보입니다.

f(x, y) = 0 \to f(x - a, y - b) = 0

예제

y = 2x + 1을 방향으로 1, 방향으로 3만큼 한 직선을 구해 봅시다.

1
x 대신 x − 1, y 대신 y − 3을 넣습니다: y − 3 = 2(x − 1) + 1
2
y = 2x − 2 + 1 + 3 = 2x + 2
3
확인: 원래 위의 점 (0, 1)은 (1, 4)로 옮겨지고, 2·1 + 2 = 4로 새 직선 위에 있습니다.

점 (0, 1)은 (0 + 1, 1 + 3) = (1, 4)로 — 점은 더하고, 식에는 x − 1, y − 3을 넣습니다

원의 은 중심만 옮기면 됩니다. 은 변하지 않습니다. $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ 를 방향으로 −3, 방향으로 5만큼 옮기면 중심 (1, −2)가 (−2, 3)으로 가서 $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ 입니다.

02대칭이동 — 축, 원점, 직선 y = x

거울에 비추듯 옮깁니다. 어느 좌표의 부호가 바뀌는지가 핵심입니다.

점의 대칭이동

에 대한 은 x축을 거울로 삼아 위아래를 뒤집는 것이므로 y의 만 바뀝니다. 은 x좌표의 부호만, 대칭은 두 부호가 모두 바뀝니다. y = x에 대한 대칭은 x와 y의 역할이 바뀝니다.

x축에 대칭 → (2, −1)

y축에 대칭 → (−2, 1)

원점에 대칭 → (−2, −1)

직선 y = x에 대칭 → (1, 2)

점 P(2, 1)을 , , , y = x에 대하여 한 네 점

의 기준	점 (x, y) →	도형 f(x, y) = 0 →
	(x, −y)	f(x, −y) = 0 (y → −y)
	(−x, y)	f(−x, y) = 0 (x → −x)
	(−x, −y)	f(−x, −y) = 0
y = x	(y, x)	f(y, x) = 0 (x ↔ y)

도형의 대칭이동

도형의 도 과 같은 원리입니다. 옮겨진 점 (x', y')를 원래 점으로 되돌린 식을 원래 에 넣습니다. 이면 y = −y' 이므로 식의 y 자리에 −y를 넣습니다.

예제

2x − y + 3 = 0을 직선 y = x에 대하여 한 직선을 구해 봅시다.

1
x와 y를 서로 바꿉니다: 2y − x + 3 = 0
2
정리하면 x − 2y − 3 = 0
3
확인: 원래 위의 점 (0, 3)은 (3, 0)으로 옮겨지고, 3 − 0 − 3 = 0으로 새 직선 위에 있습니다.

Check

원 $x^{2} + y^{2} - 2x + 4y = 0$ 은 $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5$ 이고 중심 (1, −2)입니다. 에 하면 중심이 (−1, −2)로 바뀌고 은 $x^{2} + y^{2} + 2x + 4y = 0$ 이 됩니다 (x → −x).

03직선 y = −x, x = a, y = b에 대한 대칭

기준이 원점이나 축이 아닐 때는 '중점' 생각으로 풉니다.

직선 y = −x에 대한 대칭

선택 확장 · 현행 기준에 직접 명시된 은 ···y=x입니다. 이 카드는 y=−x로 넓혀 보는 탐구입니다.

y = −x에 대한 은 y = x 대칭에 대칭을 한 번 더 한 것과 같습니다. (x, y) → (y, x) → (−y, −x). 즉 x와 y를 바꾸고 둘 다 를 바꿉니다.

(x, y) \to (-y, -x)

Check

점 (2, −5)를 y = −x에 대하여 하면 (−(−5), −2) = (5, −2)입니다.

직선 x = a, y = b에 대한 대칭

선택 확장 · x=a 또는 y=b에 대한 을 알아보는 카드입니다. 자체를 이동하는 것과는 구별합니다.

점 (x, y)를 세로 x = a에 하면 y는 그대로이고, 원래 점과 옮긴 점의 이 직선 x = a 위에 있어야 합니다. 옮긴 점의 x좌표를 x'라 하면 $\dfrac{x + x'}{2} = a$ 이므로 x' = 2a − x입니다.

의 기준	점 (x, y) →	기억법
x = a	(2a − x, y)	x만 2a에서 뺀다
직선 y = b	(x, 2b − y)	y좌표만 2b에서 뺀다
점 (a, b)	(2a − x, 2b − y)	둘 다

예제

점 (1, 3)을 x = 2에 대하여 한 점을 구해 봅시다.

1
x: 2·2 − 1 = 3, y좌표는 그대로 3
2
(3, 3)
3
확인: (1, 3)과 (3, 3)의 (2, 3)은 x = 2 위에 있습니다.

원래 점과 옮긴 점의 이 x = 2 위에 있으므로

\dfrac{1 + x'}{2} = 2, x' = 3

05레벨별로 풀어보기

개념을 확인했다면 아래 문제로 점검해 보세요. 답을 입력하고 채점하기를 누르면 결과가 나타납니다.

채점표

기초

0/5

응용

0/5

심화

0/3

기초점의 이동 규칙 그대로 적용

문제 1

점 (1, −2)를 방향으로 2만큼, 방향으로 −3만큼 한 점의 를 구하시오. (x,y 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

점 (3, −2)를 에 대하여 한 점의 를 구하시오. (x,y 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

점 (−1, 4)를 에 대하여 한 점의 를 구하시오. (x,y 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

점 (2, 5)를 y = x에 대하여 한 점의 를 구하시오. (x,y 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

y = 2x + 1을 방향으로 1만큼, 방향으로 3만큼 한 을 구하시오. (y=ax+b 형태로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

응용도형의 이동, y = −x·x = a 대칭, 거꾸로 구하기

문제 1

원

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4

를 방향으로 −3만큼, 방향으로 5만큼 한 원의 중심의 를 구하시오. (x,y 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

원

x^{2} + y^{2} - 2x + 4y = 0

을 에 대하여 한 원의 중심의 를 구하시오. (x,y 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

2x − y + 3 = 0을 직선 y = x에 대하여 한 직선의 을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

점 (a, b)를 에 대하여 한 후 방향으로 3만큼 한 점이 (2, −1)일 때, a, b의 값을 구하시오. (a,b 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

[선택 확장] 점 (2, −5)를 y = −x에 대하여 한 점의 를 구하시오. (x,y 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

심화여러 이동을 이어서 적용하고 미지수 결정하기

문제 1

[선택 확장] 점 (−1, 2)를 x = 1에 대하여 한 후, 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 점의 를 구하시오. (x,y 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

y = 2x + 3을 방향으로 −1만큼 한 후 에 대하여 한 을 구하시오. (y=ax+b 형태로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

원

x^{2} + y^{2} - 4x + 2y + 1 = 0

을 방향으로 a만큼, 방향으로 b만큼 한 후 y축에 대하여 하면 원

x^{2} + y^{2} - 6x - 8y + 21 = 0

과 일치한다. a, b의 값을 구하시오. (a,b 순으로 쉼표로 답)

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

도형의 평행이동과 대칭이동

이 레슨에서 해볼 일

01평행이동

점의 평행이동

도형의 평행이동 — 부호가 반대인 이유

02대칭이동 — 축, 원점, 직선 y = x

점의 대칭이동

도형의 대칭이동

03직선 y = −x, x = a, y = b에 대한 대칭

직선 y = −x에 대한 대칭

직선 x = a, y = b에 대한 대칭

04평행이동과 대칭이동의 합성

이동을 이어서 적용하기

05레벨별로 풀어보기