원과 직선의 위치관계, 원의 접선

두 가지 판정법

직선의 식을 원의 방정식에 대입하면 x에 관한 이차방정식이 됩니다. 이 방정식의 실근 개수가 곧 교점의 개수이므로 판별식 D로 판정할 수 있습니다. 하지만 더 빠른 방법은 원의 중심에서 직선까지의 거리 d를 구해 반지름 r과 비교하는 것입니다.

1. 1
   중심 (0, 0), 반지름 r = 3
2. 2
   $d = |0 + 0 - 15|/\sqrt{9 + 16} = \dfrac{15}{5} = 3$
3. 3
   d = r 이므로 접한다 (교점 1개)

같은 원리로, 원과 만나지 않는 직선(d > r)에 대해 원 위의 점과 직선 사이 거리의 최댓값은 d + r, 최솟값은 d − r입니다. 중심을 지나 직선에 수직인 방향에서 가장 멀고 가장 가깝기 때문입니다.

현의 길이

원과 직선이 두 점 A, B에서 만날 때 선분 AB를 현이라 합니다. 중심 C에서 현에 내린 수선의 발 H는 현의 중점이고, 삼각형 CAH는 CA = r, CH = d인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리로 $AH = \sqrt{r^{2} - d^{2}}$입니다.

1. 1
   r = 5, d = |−15|/5 = 3
2. 2
   $AH = \sqrt{25 - 9} = 4$
3. 3
   $AB = 2 \times 4 = 8$

$x_{1}x + y_{1}y = r^{2}$

원 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 위의 점 $P(x_{1}, y_{1})$에서의 접선은 반지름 OP와 수직입니다. OP의 기울기는 $\dfrac{y_{1}}{x_{1}}$이므로 접선의 기울기는 $-\dfrac{x_{1}}{y_{1}}$이고, $y - y_{1} = (-\dfrac{x_{1}}{y_{1}})(x - x_{1})$을 정리하면 $x_{1}x + y_{1}y = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$ 이 됩니다. P가 원 위의 점이므로 우변은 $r^{2}$입니다.

$x^{2}$을 $x_{1}x$로, $y^{2}$을 $y_{1}y$로 하나씩 바꿔 넣는다고 기억하면 됩니다. 중심이 (a, b)인 원 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ 위의 점에서는 같은 원리로 $(x_{1} - a)(x - a) + (y_{1} - b)(y - b) = r^{2}$이 됩니다.

1. 1
   $x_{1} = 3, y_{1} = 4, r^{2} = 25$
2. 2
   3x + 4y = 25
3. 3
   확인: 원점에서 이 직선까지의 거리는 $\dfrac{25}{5} = 5 = r$ 이므로 접합니다.

$y = mx \pm r\sqrt{m^{2} + 1}$

기울기가 m인 접선을 y = mx + n 으로 놓으면, 원 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$에 접하려면 원점에서 이 직선 mx − y + n = 0까지의 거리가 r이어야 합니다. $|n|/\sqrt{m^{2} + 1} = r$ 에서 $n = \pm r\sqrt{m^{2} + 1}$입니다.

부호 ±가 붙는 이유는 같은 기울기의 접선이 원의 양쪽에 하나씩 있기 때문입니다. 중심이 원점이 아닌 원은 이 공식을 바로 쓸 수 없으므로 '중심에서 직선까지의 거리 = r' 조건을 직접 세웁니다.

1. 1
   r = 2, m = 1
2. 2
   $r\sqrt{m^{2} + 1} = 2\sqrt{2}$
3. 3
   $y = x + 2\sqrt{2}$ 또는 $y = x - 2\sqrt{2}$

원 밖의 한 점에서 그은 접선

원 밖의 점 P(p, q)에서 원에 그은 접선은 항상 두 개입니다. 구하는 방법은 두 가지입니다. 첫째, 접점을 $(x_{1}, y_{1})$으로 두고 접선 $x_{1}x + y_{1}y = r^{2}$이 P를 지난다는 조건과 $(x_{1}, y_{1})$이 원 위에 있다는 조건을 연립합니다. 둘째, 접선을 y − q = m(x − p)로 놓고 중심에서 이 직선까지의 거리 = r 로 m을 구합니다.

1. 1
   접선: y − 1 = m(x − 3) → mx − y − 3m + 1 = 0
2. 2
   원점까지의 거리 $= \sqrt{5}: |-3\,\mathrm{m} + 1|/\sqrt{m^{2} + 1} = \sqrt{5} \to (1 - 3\,\mathrm{m})^{2} = 5(m^{2} + 1)$
3. 3
   $9\,\mathrm{m}^{2} - 6\,\mathrm{m} + 1 = 5\,\mathrm{m}^{2} + 5 \to 4\,\mathrm{m}^{2} - 6\,\mathrm{m} - 4 = 0 \to 2\,\mathrm{m}^{2} - 3\,\mathrm{m} - 2 = 0 \to (2\,\mathrm{m} + 1)(m - 2) = 0$
4. 4
   m = 2 또는 $m = -\dfrac{1}{2}$. 두 접선은 $y = 2x - 5, y = -\dfrac{x}{2} + \dfrac{5}{2}$

접선의 길이

점 P에서 접점 T까지의 거리 PT를 접선의 길이라 합니다. 접점에서 반지름 CT와 접선이 수직이므로 삼각형 PCT는 직각삼각형이고, 빗변이 PC입니다.

1. 1
   중심 (0, 0)까지의 거리 PC = 5, r = 3
2. 2
   $PT = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16}$
3. 3
   PT = 4