원과 직선의 위치관계, 원의 접선

두 가지 판정법

직선의 식을 원의 방정식에 대입하면 x에 관한 이차방정식이 됩니다. 이 방정식의 실근 개수가 곧 교점의 개수이므로 판별식 D로 판정할 수 있습니다. 하지만 더 빠른 방법은 원의 중심에서 직선까지의 거리 d를 구해 반지름 r과 비교하는 것입니다.

1. 1
   중심 (0, 0), 반지름 r = 3
2. 2
   $d = |0 + 0 - 15|/\sqrt{9 + 16} = 15/5 = 3$
3. 3
   d = r 이므로 접한다 (교점 1개)

같은 원리로, 원과 만나지 않는 직선(d > r)에 대해 원 위의 점과 직선 사이 거리의 최댓값은 d + r, 최솟값은 d − r입니다. 중심을 지나 직선에 수직인 방향에서 가장 멀고 가장 가깝기 때문입니다.

현의 길이

원과 직선이 두 점 A, B에서 만날 때 선분 AB를 현이라 합니다. 중심 C에서 현에 내린 수선의 발 H는 현의 중점이고, 삼각형 CAH는 CA = r, CH = d인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리로 $AH = \sqrt{r^{2} - d^{2}}$입니다.

1. 1
   r = 5, d = |−15|/5 = 3
2. 2
   $AH = \sqrt{25 - 9} = 4$
3. 3
   $AB = 2 \times 4 = 8$