원의 방정식

정의에서 방정식으로

원은 한 점 C(a, b)로부터 거리가 r로 일정한 점 P(x, y)의 모임입니다. 거리 공식으로 CP = r을 쓰면 $\sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}} = r$ 이고, 양변을 제곱하면 원의 방정식이 됩니다.

중심이 원점이면 a = b = 0이므로 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$입니다. 방정식에서 중심을 읽을 때는 부호를 반대로 읽습니다. $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$의 중심은 (2, −1), 반지름은 3입니다.

1. 1
   중심은 AB의 중점: $(\dfrac{1+5}{2}, \dfrac{2+6}{2}) = (3, 4)$
2. 2
   반지름은 중심에서 A까지의 거리: $\sqrt{(3-1)^{2} + (4-2)^{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
3. 3
   $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 8$

일반형 $x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0$

표준형을 전개하면 $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + (a^{2} + b^{2} - r^{2}) = 0$ 처럼 일반형 $x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0$ 이 됩니다. 거꾸로 일반형에서 중심·반지름을 찾으려면 x끼리, y끼리 모아 완전제곱을 만듭니다.

1. 1
   $x^{2} + Ax \to (x + \dfrac{A}{2})^{2} - (\dfrac{A}{2})^{2}, y^{2} + By \to (y + \dfrac{B}{2})^{2} - (\dfrac{B}{2})^{2}$ 로 고칩니다.
2. 2
   상수를 우변으로 모읍니다: $(x + \dfrac{A}{2})^{2} + (y + \dfrac{B}{2})^{2} = \dfrac{A^{2} + B^{2}}{4} - C$
3. 3
   우변이 양수이면 원이고, 중심은 $(-\dfrac{A}{2}, -\dfrac{B}{2})$, 반지름은 √(우변)입니다.

우변이 0이면 점 하나, 음수이면 나타내는 도형이 없습니다.

1. 1
   $(x^{2} - 4x + 4) + (y^{2} + 6y + 9) = 3 + 4 + 9$
2. 2
   $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$
3. 3
   중심 (2, −3), 반지름 4

세 점을 지나는 원

세 점이 주어지면 일반형 $x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0$에 세 점을 각각 대입해 A, B, C에 관한 연립방정식을 풉니다. 미지수 세 개, 식 세 개이므로 원이 하나로 정해집니다.

1. 1
   (0, 0) 대입: C = 0
2. 2
   (4, 0) 대입: 16 + 4A = 0 → A = −4
3. 3
   (0, 2) 대입: 4 + 2B = 0 → B = −2
4. 4
   $x^{2} + y^{2} - 4x - 2y = 0 \to (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$. 중심 (2, 1), 반지름 $\sqrt{5}$

x축·y축에 접하는 원

원의 중심이 (a, b)일 때 중심에서 x축까지의 거리는 |b|, y축까지의 거리는 |a|입니다. 원이 축에 접한다는 것은 이 거리가 반지름과 같다는 뜻입니다.

아폴로니오스의 원

선택 확장 · 거리비로 원의 자취를 구하는 탐구입니다. 원의 중심·반지름·기본 방정식 확인을 마친 뒤 선택할 수 있습니다.

두 정점 A, B로부터의 거리의 비가 $m : n (m \ne n)$으로 일정한 점 P의 자취는 원이 됩니다. 이를 아폴로니오스의 원이라 합니다. PA : PB = m : n 을 nPA = mPB 로 쓰고 양변을 제곱하면 x, y에 관한 이차식이 되며, 정리하면 원의 방정식이 나옵니다.

1. 1
   $PA = 2PB \to PA^{2} = 4PB^{2} \to x^{2} + y^{2} = 4\{(x - 3)^{2} + y^{2}\}$
2. 2
   $x^{2} + y^{2} = 4x^{2} - 24x + 36 + 4y^{2} \to 3x^{2} + 3y^{2} - 24x + 36 = 0$
3. 3
   $x^{2} + y^{2} - 8x + 12 = 0 \to (x - 4)^{2} + y^{2} = 4$
4. 4
   중심 (4, 0), 반지름 2인 원. 확인: (2, 0)은 PA = 2, PB = 1로 비가 2 : 1입니다.

두 원의 교점을 지나는 도형

선택 확장 · 두 원의 교점에서 두 식이 함께 0이라는 성질을 이용하는 추가 탐구입니다. 기본 목표의 필수 절차는 아닙니다.

서로 다른 두 점에서 만나는 두 원 $x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0, x^{2} + y^{2} + A'x + B'y + C' = 0$의 교점은 두 식을 모두 0으로 만듭니다. 따라서 $(x^{2} + y^{2} + Ax + By + C) + k(x^{2} + y^{2} + A'x + B'y + C') = 0$은 k의 값에 관계없이 두 교점을 지납니다.

1. 1
   $(x^{2} + y^{2} - 4) + k(x^{2} + y^{2} - 2x - 2y) = 0$ 으로 놓습니다.
2. 2
   (4, 0) 대입: $12 + 8k = 0 \to k = -\dfrac{3}{2}$
3. 3
   $2(x^{2} + y^{2} - 4) - 3(x^{2} + y^{2} - 2x - 2y) = 0 \to -x^{2} - y^{2} + 6x + 6y - 8 = 0$
4. 4
   $x^{2} + y^{2} - 6x - 6y + 8 = 0 \to (x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 10$. 중심 (3, 3)