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고1 공통수학2 · 도형의 방정식

원의 방정식

원은 '한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임'입니다. 이 정의를 거리 공식에 넣으면 원의 방정식이 나옵니다. 표준형과 일반형을 오가는 법, 축에 접하는 원, 그리고 거리의 비가 일정한 점의 자취까지 다룹니다.

↩ 이전 자료: 직선의 방정식과 두 직선의 위치관계

01원의 방정식 (표준형)

중심과 반지름만 알면 원의 방정식은 바로 써집니다.

정의에서 방정식으로

원은 한 점 C(a, b)로부터 거리가 r로 일정한 점 P(x, y)의 모임입니다. 거리 공식으로 CP = r을 쓰면 (x−a)2+(y−b)2=r\sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}} = r 이고, 양변을 제곱하면 원의 방정식이 됩니다.

(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}
C(a, b)rbO
중심 C(a, b), 반지름 r인 원 — 이 원은 b = r이므로 x축에 접합니다
(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

중심이 원점이면 a = b = 0이므로 x2+y2=r2x^{2} + y^{2} = r^{2}입니다. 방정식에서 중심을 읽을 때는 부호를 반대로 읽습니다.(x−2)2+(y+1)2=9. (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9의 중심은 (2, −1), 반지름은 3입니다.

예제

두 점 A(1, 2), B(5, 6)을 지름의 양 끝으로 하는 원의 방정식을 구해 봅시다.

  1. 1
    중심은 AB의 중점: ((1+5)/2, (2+6)/2) = (3, 4)
  2. 2
    반지름은 중심에서 A까지의 거리:(3−1)2+(4−2)2=8=22: \sqrt{(3-1)^{2} + (4-2)^{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
  3. 3
    (x−3)2+(y−4)2=8(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 8