직선의 방정식과 두 직선의 위치관계

기울기와 한 점, 두 점, 절편

기울기가 m인 직선이 점 $(x_{1}, y_{1})$을 지나면, 이 직선 위의 임의의 점 (x, y)에 대해 두 점 사이의 기울기 $\dfrac{y - y_{1}}{x - x_{1}}$이 항상 m이어야 합니다. 분모를 없애면 $y - y_{1} = m(x - x_{1})$이 됩니다. 이것이 모든 직선 방정식의 출발점입니다.

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   기울기 $m = \dfrac{7 - 1}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$
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   점 (1, 1)을 써서 y − 1 = 3(x − 1)
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   정리하면 y = 3x − 2. (3, 7)을 넣어 보면 3·3 − 2 = 7로 맞습니다.

일반형 ax + by + c = 0

y = mx + n 꼴을 표준형, 모든 항을 한쪽으로 모은 ax + by + c = 0 꼴을 일반형이라 합니다. 일반형은 x = 3 같은 세로 직선(b = 0)도 표현할 수 있어 더 넓습니다. $b \ne 0$이면 $y = -(\dfrac{a}{b})x - \dfrac{c}{b}$ 이므로 기울기는 $-\dfrac{a}{b}, y$절편은 $-\dfrac{c}{b}$입니다.

평행, 일치, 수직

두 직선 y = mx + n, y = m'x + n'의 위치관계는 기울기가 같은지, 그리고 y절편도 같은지로 결정됩니다. 수직 조건은 한 직선을 90° 돌리면 기울기의 분자·분모가 뒤바뀌고 부호가 바뀌기 때문에 기울기의 곱이 −1이 됩니다.

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   주어진 직선의 기울기: $-\dfrac{a}{b} = -\dfrac{1}{2}$
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   수직인 직선의 기울기 m은 $(-\dfrac{1}{2})\cdot m = -1 \to m = 2$
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   y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1

연립일차방정식의 해의 개수와 연결

연립방정식 { ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0 }의 해는 두 직선의 교점입니다. 따라서 두 직선의 위치관계가 곧 해의 개수입니다.

ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0

두 직선 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 교점을 (p, q)라 하면 두 식 모두 (p, q)에서 0입니다. 그러면 ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0도 (p, q)를 넣으면 0 + k·0 = 0이 되어 항상 성립합니다. 즉 이 식은 k의 값에 관계없이 교점을 지나는 직선을 나타냅니다.

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   (x + y − 3) + k(x − y − 1) = 0 으로 놓습니다.
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   (0, 5) 대입: $(5 - 3) + k(-5 - 1) = 0 \to 2 - 6k = 0 \to k = \dfrac{1}{3}$
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   3(x + y − 3) + (x − y − 1) = 0 → 4x + 2y − 10 = 0 → 2x + y − 5 = 0
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   확인: 교점은 (2, 1)이고 2·2 + 1 − 5 = 0 ✓

단, 이 식은 k를 아무리 바꿔도 a'x + b'y + c' = 0 자체는 나타내지 못합니다. 구하는 직선이 그 직선인지도 함께 확인합니다.

거리 공식

점 $P(x_{1}, y_{1})$에서 직선 ax + by + c = 0까지의 거리는 P에서 직선에 내린 수선의 발 H까지의 길이 PH입니다. 직선에 수직인 방향은 (a, b) 방향이므로, PH의 길이는 P의 좌표를 직선의 식에 넣은 값의 절댓값을 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$로 나눈 것과 같습니다.

직선이 y = mx + n 꼴이면 반드시 mx − y + n = 0 으로 고친 뒤 공식에 넣습니다. 원점과의 거리는 $x_{1} = y_{1} = 0$이므로 $|c|/\sqrt{a^{2} + b^{2}}$입니다.

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   분자: |3·1 + 4·2 − 1| = |10| = 10
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   분모: $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$
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   $d = \dfrac{10}{5} = 2$

평행한 두 직선 사이의 거리는 한 직선 위의 아무 점을 잡아 다른 직선까지의 거리를 재면 됩니다. ax + by + c = 0과 ax + by + c' = 0 사이의 거리는 $|c - c'|/\sqrt{a^{2} + b^{2}}$가 됩니다.