두 점 사이의 거리와 내분점·외분점

수직선 위의 두 점

수직선 위의 두 점 $A(x_{1}), B(x_{2})$ 사이의 거리는 두 좌표의 차입니다. 어느 쪽이 큰지 모르니 절댓값을 씌워 항상 0 이상이 되게 합니다.

좌표평면 위의 두 점 — 피타고라스로 유도

좌표평면의 두 점 $A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2})$를 잇고, A에서 가로로·B에서 세로로 선을 그으면 직각삼각형이 생깁니다. 가로 변의 길이는 $|x_{2} - x_{1}|$, 세로 변의 길이는 $|y_{2} - y_{1}|$이므로 빗변 AB는 피타고라스 정리로 구할 수 있습니다.

제곱을 하므로 $(x_{2} - x_{1})$과 $(x_{1} - x_{2})$ 중 어느 것을 써도 결과는 같습니다. 원점 O와 점 P(x, y) 사이의 거리는 $OP = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$가 됩니다.

1. 1
   x의 차: 1 − (−2) = 3, y의 차: 5 − 1 = 4
2. 2
   $AB = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$
3. 3
   AB = 5

수직선 위의 내분점과 외분점

현행 목표는 내분입니다. 외분 공식은 2015 교육과정에 명시된 내용을 잇는 선택 확장이며, 외분 문항은 기본 목표에 넣지 않습니다.

선분 AB 위의 점 P가 AP : PB = m : n 을 만족하면 P를 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점이라 합니다. 반대로 선분 AB의 연장선 위(선분 바깥)에 있는 점 Q가 $AQ : BQ = m : n (m \ne n)$이면 Q를 m : n으로 외분하는 점이라 합니다.

$A(x_{1}), B(x_{2})$일 때 내분점 P(x)는 AP : PB = m : n 이므로 $(x - x_{1}) : (x_{2} - x) = m : n$. 안쪽 곱과 바깥쪽 곱이 같다는 비례식을 풀면 $n(x - x_{1}) = m(x_{2} - x) \to (m + n)x = mx_{2} + nx_{1}$ 이 됩니다.

좌표평면 위의 내분점·외분점·중점

이 카드에서 내분·중점은 현행 목표, 외분은 선택 확장입니다. 내분비 AP:PB의 순서를 먼저 확인하고, 외분점은 선분 바깥에 놓이는지 별도로 확인하세요.

좌표평면에서는 x좌표와 y좌표를 각각 따로 수직선 공식으로 계산하면 됩니다. $A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2})$를 m : n으로 나눌 때:

1. 1
   m = 1, n = 2. x좌표: $\dfrac{1\cdot 7 + 2\cdot 1}{1 + 2} = \dfrac{9}{3} = 3$
2. 2
   y좌표: $\dfrac{1\cdot 5 + 2\cdot 2}{1 + 2} = \dfrac{9}{3} = 3$
3. 3
   P(3, 3). A에서 B까지의 $\dfrac{1}{3}$ 지점이므로 A(1, 2)에 (2, 1)을 더한 값과 일치합니다.

무게중심의 좌표

삼각형의 무게중심은 세 중선이 만나는 점이고, 각 중선을 꼭짓점 쪽에서 2 : 1로 내분합니다. 이 성질을 좌표로 옮기면 공식이 나옵니다. $A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2}), C(x_{3}, y_{3})$일 때 BC의 중점은 $M(\dfrac{x_{2} + x_{3}}{2}, \dfrac{y_{2} + y_{3}}{2})$이고, 무게중심 G는 AM을 2 : 1로 내분하는 점입니다.

1. 1
   G의 x좌표 $= (2\cdot \dfrac{x_{2} + x_{3}}{2} + 1\cdot x_{1})/(2 + 1)$
2. 2
   $= \dfrac{x_{2} + x_{3} + x_{1}}{3}$
3. 3
   y좌표도 같은 방법으로 $\dfrac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3}$

1. 1
   x좌표: $(1 + 4 + (-2))/3 = \dfrac{3}{3} = 1$
2. 2
   y좌표: $(2 + (-1) + 5)/3 = \dfrac{6}{3} = 2$
3. 3
   G(1, 2)

무게중심을 알고 꼭짓점 하나를 모를 때는, 공식을 거꾸로 씁니다. 세 x좌표의 합은 G의 x좌표의 3배여야 합니다.