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고1 공통수학2 · 도형의 방정식

두 점 사이의 거리와 내분점·외분점

도형을 좌표로 다루는 첫걸음은 '두 점이 얼마나 떨어져 있는가'를 식으로 쓰는 것입니다. 피타고라스 정리에서 거리 공식을 끌어내고, 선분을 일정한 비로 나누는 점과 삼각형의 무게중심까지 좌표로 계산합니다.

↩ 이전 자료: 원의 성질 (2), 내접원·외접사각형·접선과 현

01두 점 사이의 거리

수직선에서는 차의 절댓값, 좌표평면에서는 피타고라스 정리입니다.

수직선 위의 두 점

수직선 위의 두 점 A(x1),B(x2)A(x_{1}), B(x_{2}) 사이의 거리는 두 좌표의 차입니다. 어느 쪽이 큰지 모르니 절댓값을 씌워 항상 0 이상이 되게 합니다.

AB=∣x2−x1∣AB = |x_{2} - x_{1}|
Check

A(−3), B(5)이면 AB = |5 − (−3)| = 8. 순서를 바꿔 |−3 − 5| = 8로 계산해도 같습니다.

좌표평면 위의 두 점 — 피타고라스로 유도

좌표평면의 두 점 A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2})를 잇고, A에서 가로로·B에서 세로로 선을 그으면 직각삼각형이 생깁니다. 가로 변의 길이는 ∣x2−x1∣|x_{2} - x_{1}|, 세로 변의 길이는 ∣y2−y1∣|y_{2} - y_{1}|이므로 빗변 AB는 피타고라스 정리로 구할 수 있습니다.

A(1, 2)B(4, 6)|x₂−x₁| = 3|y₂−y₁| = 45
A(1, 2), B(4, 6)을 빗변으로 하는 직각삼각형 — 가로 3, 세로 4이므로 AB = 5
AB=32+42=5AB = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5
AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2AB = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}

제곱을 하므로 (x2−x1)(x_{2} - x_{1})과 (x1−x2)(x_{1} - x_{2}) 중 어느 것을 써도 결과는 같습니다. 원점 O와 점 P(x, y) 사이의 거리는 OP=x2+y2OP = \sqrt{x^{2} + y^{2}}가 됩니다.

예제

두 점 A(−2, 1), B(1, 5) 사이의 거리를 구해 봅시다.

  1. 1
    x의 차: 1 − (−2) = 3, y의 차: 5 − 1 = 4
  2. 2
    AB=32+42=9+16=25AB = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}
  3. 3
    AB = 5