집합의 뜻과 부분집합, 모임을 수학으로 다루기

집합과 원소

집합은 어떤 기준에 의하여 그 대상을 분명하게 정할 수 있는 것들의 모임입니다. '큰', '예쁜', '맛있는'처럼 사람마다 판단이 달라지는 기준으로는 집합을 만들 수 없습니다. 집합을 이루는 하나하나의 대상을 원소라고 합니다.

a가 집합 A의 원소이면 $a \in A$(a는 A에 속한다), 원소가 아니면 $a \notin A$(a는 A에 속하지 않는다)로 씁니다. 집합은 보통 대문자 A, B, C로, 원소는 소문자 a, b, c로 나타냅니다.

집합을 나타내는 세 가지 방법

같은 집합이라도 상황에 따라 세 가지 방식으로 나타냅니다. 원소를 하나하나 적는 원소나열법, 원소가 만족하는 조건을 적는 조건제시법, 그림으로 그리는 벤다이어그램입니다.

유한집합, 무한집합, 공집합

원소가 유한개인 집합을 유한집합, 원소가 무수히 많은 집합을 무한집합이라 합니다. 원소가 하나도 없는 집합은 공집합이라 하고 기호 ∅로 나타냅니다. 공집합은 원소의 개수가 0인 유한집합으로 봅니다.

원소의 개수 n(A)

유한집합 A의 원소의 개수를 n(A)로 나타냅니다. 원소를 세기 전에 조건제시법으로 된 집합은 원소나열법으로 바꿔 쓰면 실수가 줄어듭니다.

1. 1
   조건을 만족하는 원소를 나열합니다 → A = {4, 8, 12, 16, 20}
2. 2
   개수를 셉니다 → n(A) = 5

부분집합 $A \subset B$

집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, A를 B의 부분집합이라 하고 $A \subset B$(A는 B에 포함된다)로 씁니다. A의 원소 중 하나라도 B에 없으면 $A \not\subset B$입니다.

부분집합의 성질, 서로 같은 집합, 진부분집합

임의의 집합 A, B, C에 대하여 다음이 항상 성립합니다.

1. 1
   $\varnothing \subset A$ — 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다. (∅에는 'B에 없는 원소'가 하나도 없으므로)
2. 2
   $A \subset A$ — 모든 집합은 자기 자신의 부분집합입니다.
3. 3
   $A \subset B$이고 $B \subset C$이면 $A \subset C$ — 포함관계는 이어집니다(추이성).

$A \subset B$이고 동시에 $B \subset A$이면 두 집합의 원소가 완전히 같으므로 A = B(서로 같은 집합)입니다. 반대로 $A \subset B$이지만 $A \ne B$이면, 즉 B에는 있고 A에는 없는 원소가 있으면 A를 B의 진부분집합이라 합니다.

1. 1
   A = B이면 두 집합의 원소가 같아야 합니다.
2. 2
   1, 2는 이미 공통이므로 남은 원소끼리 같아야 합니다 → a = 5

부분집합의 개수는 $2^{n}$

선택 확장 · 현행 직접 목표는 부분집합의 포함관계 이해입니다. 포함·제외 선택으로 개수를 세는 탐구는 필수 완료 문항과 구별합니다.

A = {a, b, c}의 부분집합을 만들 때, 원소 a를 넣을지 말지 2가지, b를 넣을지 말지 2가지, c도 2가지입니다. 선택이 서로 독립이므로 전체 경우는 $2 \times 2 \times 2 = 2^{3} = 8$가지입니다.

특정 원소를 포함하거나 포함하지 않는 부분집합

선택 확장 · 포함·제외가 고정된 원소를 이용한 개수 세기입니다. 집합·원소·포함관계의 기본 개념을 먼저 확인하세요.

특정 원소 k개를 반드시 포함하는(또는 반드시 포함하지 않는) 부분집합을 셀 때는, 그 k개의 원소는 넣을지 말지가 이미 정해져 있으므로 선택의 자유가 없습니다. 나머지 n − k개의 원소만 '넣는다/안 넣는다'를 정하면 되므로 개수는 $2^{n-k}$입니다.

1. 1
   1은 반드시 넣고, 5는 반드시 빼기로 정해져 있습니다.
2. 2
   자유롭게 정할 수 있는 원소는 2, 3, 4의 3개입니다.
3. 3
   개수 $= 2^{3} = 8$

'특정 원소를 적어도 하나 포함하는 부분집합'은 (전체 부분집합의 개수) − (그 원소들을 하나도 포함하지 않는 부분집합의 개수)로 구합니다. 예를 들어 {1, 2, 3, 4}의 부분집합 중 1 또는 2를 적어도 하나 포함하는 것은 $2^{4} - 2^{2} = 16 - 4 = 12$개입니다.