집합의 연산, 겹치고 합치고 빼기

교집합 $A \cap B$, 합집합 $A \cup B$

두 집합 A, B에 공통으로 속하는 원소 전체의 집합을 A와 B의 교집합이라 하고 $A \cap B$로 씁니다. A에 속하거나 B에 속하는, 즉 적어도 한쪽에 속하는 원소 전체의 집합을 합집합이라 하고 $A \cup B$로 씁니다.

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   양쪽에 모두 있는 원소 $\to A \cap B = \{3, 4\}$
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   어느 한쪽에라도 있는 원소를 겹치지 않게 모두 모음 $\to A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
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   3, 4는 두 집합에 다 있지만 합집합에는 한 번씩만 씁니다.

서로소

두 집합에 공통인 원소가 하나도 없을 때, 즉 $A \cap B = \varnothing$일 때 A와 B는 서로소라고 합니다. 벤다이어그램에서 두 원이 겹치지 않는 경우입니다.

전체집합 U와 여집합 $A^{c}$

'3의 배수가 아닌 수'라고 하면 범위가 없어 정할 수 없습니다. 다루는 대상 전체를 담은 집합을 미리 정해 두고 이를 전체집합 U라 합니다. 전체집합 U의 원소 중 A에 속하지 않는 원소 전체의 집합을 A의 여집합이라 하고 $A^{c}$로 씁니다.

차집합 A − B

A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 원소 전체의 집합을 A에 대한 B의 차집합이라 하고 A − B로 씁니다. 'A에 속하고 B에 속하지 않는다'는 'A에 속하고 $B^{c}$에 속한다'와 같은 말이므로 $A - B = A \cap B^{c}$입니다. 이 식은 여집합 문제를 차집합으로, 차집합 문제를 교집합으로 바꿀 때 자주 씁니다.

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   A의 원소 중 B에 있는 2, 4를 지움 → A − B = {1, 3, 5}
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   B의 원소 중 A에 있는 2, 4를 지움 → B − A = {6}
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   A − B와 B − A는 일반적으로 다릅니다. 뺄셈처럼 순서가 중요합니다.

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

교집합과 합집합은 수의 곱셈·덧셈처럼 순서를 바꾸거나 묶는 순서를 바꿔도 결과가 같습니다. 분배법칙은 ∩와 ∪가 섞여 있을 때 괄호를 푸는 규칙입니다. 벤다이어그램을 그려 양쪽을 색칠해 보면 왜 같은지 확인할 수 있습니다.

드모르간의 법칙

'A 또는 B에 속한다'의 반대는 'A에도 B에도 속하지 않는다'입니다. 즉 합집합의 여집합은 여집합의 교집합이 됩니다. 같은 이유로 교집합의 여집합은 여집합의 합집합입니다. 이를 드모르간의 법칙이라 합니다. 여집합 기호가 괄호 안으로 들어가면서 ∪와 ∩가 서로 바뀐다고 기억하세요.

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   $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \to (A \cup B)^{c} = \{5, 6\}$
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   $A^{c} = \{4, 5, 6\}, B^{c} = \{1, 2, 5, 6\} \to A^{c} \cap B^{c} = \{5, 6\}$
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   둘이 같으므로 $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$가 확인됩니다.

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

n(A)와 n(B)를 그냥 더하면 $A \cap B$의 원소는 A에서 한 번, B에서 한 번, 두 번 세어집니다. 그래서 한 번 세어진 것으로 만들려면 $n(A \cap B)$를 한 번 빼야 합니다. A, B가 서로소이면 $n(A \cap B) = 0$이므로 그냥 더하면 됩니다.

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   $n(A \cup B) = 5 + 4 - 2 = 7$
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   검산: 겹친 2개를 빼지 않으면 9가 되어 실제보다 2개 더 세게 됩니다.

세 집합일 때 (개요)

선택 확장 · 세 집합의 포함배제 공식입니다. 현행 기준의 간단한 연산·벤 다이어그램 확인을 마친 뒤 선택할 수 있습니다.

집합이 세 개면 두 개씩 겹친 부분을 각각 빼는데, 그러면 세 집합이 모두 겹친 부분 $A \cap B \cap C$가 세 번 더해졌다가 세 번 빠져 0번 세어집니다. 그래서 마지막에 한 번 다시 더해 줍니다.

활용: 설문 조사 문제

'A를 좋아하는 학생', 'B를 좋아하는 학생'처럼 집단을 세는 문제는 집합으로 바꿔 풉니다. '둘 다$' = A \cap B, '$적어도 하나$' = A \cup B, '$둘 다 아님$' = (A \cup B)^{c}, 'A$만' = A − B로 번역하는 것이 핵심입니다.

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   축구 집합 A, 농구 집합 $B \to n(U) = 40, n(A) = 25, n(B) = 20, n(A \cap B) = 10$
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   적어도 하나를 좋아하는 학생: $n(A \cup B) = 25 + 20 - 10 = 35$
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   둘 다 좋아하지 않는 학생: $n((A \cup B)^{c}) = 40 - 35 = 5$명