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01명제와 조건, 진리집합

참·거짓이 정해지는 문장만 명제이고, 조건은 x의 값에 따라 참·거짓이 갈립니다.

명제와 조건

참인지 거짓인지를 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라 합니다. '3은 홀수이다'(참), '2 + 3 = 6'(거짓)은 모두 명제입니다. 거짓이어도 명제입니다. 반면 '오늘은 덥다'처럼 사람마다 판단이 다른 문장은 명제가 아닙니다.

'x는 2의 배수이다', 'x + 1 = 3'처럼 문자 x의 값에 따라 참이 되기도 거짓이 되기도 하는 문장을 조건이라 합니다. 조건은 그 자체로는 명제가 아니지만, x에 값을 넣으면 명제가 됩니다.

문장	구분	이유
3은 홀수이다	명제 (참)	참·거짓이 분명
5 < 2	명제 (거짓)	거짓이지만 판별은 분명
x + 1 = 3	조건	x = 2일 때만 참
오늘은 덥다	명제 아님	판단이 주관적

진리집합과 조건의 부정

전체집합 U에서 조건 p를 참이 되게 하는 원소 전체의 집합을 조건 p의 진리집합이라 하고 보통 P로 씁니다. 조건 p의 부정 ~p는 'p가 아니다'이며, 그 진리집합은 P의 여집합 $P^{c}$ 입니다.

조건	진리집합
~p (p가 아니다)	$P^{c}$
p 또는 q	$P \cup Q$
p 그리고 q	$P \cap Q$
~(p 또는 q) = ~p 그리고 ~q	$(P \cup Q)^{c} = P^{c} \cap Q^{c} ($ 드모르간)
~(p 그리고 q) = ~p 또는 ~q	$(P \cap Q)^{c} = P^{c} \cup Q^{c} ($ 드모르간)

예제

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}에서 조건 p: x는 6의 약수 의 진리집합 P와 ~p의 진리집합을 구해 봅시다.

1
6의 약수 → P = {1, 2, 3, 6}
2
~p의 진리집합 $= P^{c} = \{4, 5\}$

'모든'과 '어떤'의 부정

'모든 x에 대하여 p이다'는 U의 모든 원소가 p를 만족할 때(P = U) 참이고, 하나라도 만족하지 않으면 거짓입니다. '어떤 x에 대하여 p이다'는 p를 만족하는 원소가 하나라도 있으면 $(P \ne \varnothing )$ 참입니다. 두 명제의 부정은 '모든'과 '어떤'이 서로 바뀌고 조건이 부정됩니다.

'모든

x

에 대하여

p'

의 부정 = '어떤

x

에 대하여

\sim p', '

어떤

x

에 대하여

p'

의 부정 = '모든

x

에 대하여

\sim p'

Check

'모든 실수 x에 대하여 $x^{2} \ge 0$ 이다'는 참입니다. 그 부정 '어떤 실수 x에 대하여 $x^{2} < 0$ 이다'는 거짓입니다. 원래 명제와 부정은 항상 참·거짓이 반대입니다.