절대부등식, 항상 성립하는 부등식과 그 증명

절대부등식이란

x > 1처럼 x의 값에 따라 성립하기도 하고 안 하기도 하는 부등식이 있는가 하면, $x^{2} \ge 0$처럼 문자에 어떤 실수를 넣어도 항상 성립하는 부등식이 있습니다. 후자를 절대부등식이라 합니다. 절대부등식을 '증명한다'는 것은 모든 실수에 대해 성립함을 보이는 것입니다.

부등식 증명에 쓰는 실수의 성질

절대부등식을 증명할 때는 다음 실수의 성질을 근거로 씁니다. 특히 첫 번째와 두 번째가 거의 모든 증명의 출발점입니다.

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   $a > b \Leftrightarrow a - b > 0$ — 두 수의 대소는 차의 부호로 판단합니다. 따라서 $A \ge B$를 보이려면 $A - B \ge 0$을 보이면 됩니다.
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   $a^{2} \ge 0$ (등호는 a = 0일 때) — 실수의 제곱은 음수가 아닙니다. 차를 완전제곱 꼴로 바꾸는 이유입니다.
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   $a^{2} + b^{2} \ge 0$ (등호는 a = b = 0일 때) — 제곱의 합도 0 이상입니다.
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   a > 0, b > 0일 때 $a > b \Leftrightarrow a^{2} > b^{2}$ — 양수끼리는 제곱을 비교해도 대소가 유지됩니다. 근호나 절댓값이 있을 때 씁니다.
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   $|a|^{2} = a^{2}, |a| \ge a, |ab| = |a||b|$ — 절댓값이 있는 부등식에서 씁니다.

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   (좌변) − (우변$) = a^{2} + b^{2} - 2ab = (a - b)^{2}$
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   $(a - b)^{2}$은 실수의 제곱이므로 $(a - b)^{2} \ge 0$
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   따라서 $a^{2} + b^{2} \ge 2ab$. 등호는 a − b = 0, 즉 a = b일 때 성립

산술평균 ≥ 기하평균

양수 a, b에 대하여 $\dfrac{a + b}{2}$를 산술평균, $\sqrt{a}b$를 기하평균이라 합니다. 산술평균은 항상 기하평균보다 크거나 같으며, 앞에서 증명한 $a^{2} + b^{2} \ge 2ab$에서 a, b 자리에 $\sqrt{a}, \sqrt{b}$를 넣으면 바로 얻어집니다.

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   $\dfrac{a + b}{2} - \sqrt{a}b = \dfrac{a - 2\sqrt{a}b + b}{2} = ((\sqrt{a})^{2} - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^{2})/2$
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   $= (\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}/2 \ge 0$
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   등호는 $\sqrt{a} = \sqrt{b}$, 즉 a = b일 때 성립

조화평균까지 한 줄로

선택 확장 · 조화평균까지 일반 관계를 넓혀 보는 탐구입니다. 기본 목표는 간단한 절대부등식의 이유와 등호 조건 확인입니다.

2ab/(a + b)를 조화평균이라 합니다. 기하평균은 조화평균보다 크거나 같으므로 세 평균은 산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균 순서로 놓입니다. 등호는 세 곳 모두 a = b일 때입니다.

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   $\sqrt{a}b \ge 2ab/(a + b)$를 보이려면 양변에 양수 (a + b)를 곱해 $(a + b)\sqrt{a}b \ge 2ab$로 바꿉니다.
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   다시 양수 $\sqrt{a}b$로 나누면 $a + b \ge 2\sqrt{a}b$, 즉 이미 증명한 산술·기하평균 부등식입니다.
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   따라서 성립하며, 등호는 역시 a = b일 때입니다.

활용: 최솟값과 최댓값 구하기

산술·기하평균 부등식은 $a + b \ge 2\sqrt{a}b$ 꼴로 자주 씁니다. 곱 ab가 일정하면 합 a + b의 최솟값을, 합 a + b가 일정하면 곱 ab의 최댓값을 구할 수 있습니다. 특히 a와 $\dfrac{1}{a}$처럼 곱이 상수가 되는 두 항이 보이면 바로 적용합니다. 단, 최솟값·최댓값이라고 답하려면 등호가 실제로 성립하는 값이 있는지 반드시 확인해야 합니다.

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   두 항의 곱 $x \cdot \dfrac{9}{x} = 9$가 상수이므로 산술·기하평균을 적용
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   $x + \dfrac{9}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}} = 2\sqrt{9} = 6$
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   등호는 $x = \dfrac{9}{x}$, 즉 $x^{2} = 9$에서 x = 3 (x > 0)일 때 성립하므로 최솟값은 6

부등식과 증명

실수 a, b, x, y에 대하여 다음이 항상 성립하며, 이를 코시-슈바르츠 부등식이라 합니다. 증명은 (좌변) − (우변)을 전개해서 완전제곱 꼴을 찾는 것으로 끝납니다.

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   (좌변) − (우변$) = a^{2}x^{2} + a^{2}y^{2} + b^{2}x^{2} + b^{2}y^{2} - (a^{2}x^{2} + 2abxy + b^{2}y^{2})$
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   $= a^{2}y^{2} - 2abxy + b^{2}x^{2} = (ay - bx)^{2}$
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   $(ay - bx)^{2} \ge 0$이므로 부등식이 성립. 등호는 ay − bx = 0, 즉 ay = bx일 때 $(a, b \ne 0$이면 $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b})$

활용: 최댓값·최솟값 구하기

$x^{2} + y^{2}$의 값이 주어지고 ax + by의 최댓값을 묻거나, 반대로 ax + by의 값이 주어지고 $x^{2} + y^{2}$의 최솟값을 물으면 코시-슈바르츠 부등식을 씁니다. 계수 a, b는 문제의 일차식에서 읽습니다.

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   x + y = 1·x + 1·y이므로 a = 1, b = 1로 놓으면 $(1^{2} + 1^{2})(x^{2} + y^{2}) \ge (x + y)^{2}$
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   $2 \cdot 1 \ge (x + y)^{2} \to (x + y)^{2} \le 2 \to -\sqrt{2} \le x + y \le \sqrt{2}$
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   등호는 $\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1}$, 즉 x = y일 때. $x^{2} + y^{2} = 1$과 함께 풀면 $x = y = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \to$ 최댓값 $\sqrt{2}$

$|a| + |b| \ge |a + b|$

양변이 모두 0 이상이므로 제곱을 비교해도 대소가 유지됩니다. $|a|^{2} = a^{2}, |a||b| = |ab|$를 이용하면 차가 |ab| − ab 꼴이 되고, 이는 항상 0 이상입니다.

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   $(|a| + |b|)^{2} - |a + b|^{2} = (a^{2} + 2|a||b| + b^{2}) - (a^{2} + 2ab + b^{2})$
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   $= 2(|ab| - ab) \ge 0 (|ab| \ge ab$이므로)
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   양변이 0 이상이고 제곱의 대소가 그대로이므로 $|a| + |b| \ge |a + b|$
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   등호는 |ab| = ab, 즉 $ab \ge 0 (a, b$가 같은 부호이거나 한쪽이 0)일 때