절대부등식, 항상 성립하는 부등식과 그 증명

절대부등식이란

x > 1처럼 x의 값에 따라 성립하기도 하고 안 하기도 하는 부등식이 있는가 하면$, x^{2} \ge 0$처럼 문자에 어떤 실수를 넣어도 항상 성립하는 부등식이 있습니다. 후자를 절대부등식이라 합니다. 절대부등식을 '증명한다'는 것은 모든 실수에 대해 성립함을 보이는 것입니다.

부등식 증명에 쓰는 실수의 성질

절대부등식을 증명할 때는 다음 실수의 성질을 근거로 씁니다. 특히 첫 번째와 두 번째가 거의 모든 증명의 출발점입니다.

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   $a > b \Leftrightarrow a - b > 0$ — 두 수의 대소는 차의 부호로 판단합니다. 따라서 $A \ge B$를 보이려면 $A - B \ge 0$을 보이면 됩니다.
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   $a^{2} \ge 0$ (등호는 a = 0일 때) — 실수의 제곱은 음수가 아닙니다. 차를 완전제곱 꼴로 바꾸는 이유입니다.
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   $a^{2} + b^{2} \ge 0$ (등호는 a = b = 0일 때) — 제곱의 합도 0 이상입니다.
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   a > 0, b > 0일 때 $a > b \Leftrightarrow a^{2} > b^{2}$ — 양수끼리는 제곱을 비교해도 대소가 유지됩니다. 근호나 절댓값이 있을 때 씁니다.
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   $|a|^{2} = a^{2}, |a| \ge a, |ab| = |a||b|$ — 절댓값이 있는 부등식에서 씁니다.

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   (좌변) − (우변$) = a^{2} + b^{2} - 2ab = (a - b)^{2}$
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   $(a - b)^{2}$은 실수의 제곱이므로 $(a - b)^{2} \ge 0$
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   따라서 $a^{2} + b^{2} \ge 2ab$. 등호는 a − b = 0, 즉 a = b일 때 성립