다항식의 연산, 더하고 곱하고 나누기

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이 레슨에서 해볼 일

동류항과 분배법칙으로 다항식을 연산하고 필요한 항의 계수를 찾는다.
나눗셈을 A=BQ+R로 설명하고 나머지 차수를 확인한다.

먼저 볼 개념과 교과 연결

현재 교과의 개념을 연결합니다.

동류항 완전제곱식 (a ± b)²

2022 개정 · 고등학교 공통수학1: 10공수1-01-01다항식의 사칙연산 원리와 간단한 공식 활용. 복잡한 식의 기교를 기본 목표로 삼지 않는다.

교육과정 원문 대조 기준이며 교과서 진도와 교사 최종 검토는 확인 중입니다.

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기본 목표 문제0/3 확인

대표 목표를 확인하는 문제입니다. 선택 심화는 별도로 도전할 수 있어요.

전체 진도0%

01. 다항식 정리하기와 덧셈·뺄셈
0/2 · 0%
02. 다항식의 곱셈과 곱셈공식
0/2 · 0%
03. 곱셈공식의 변형
0/1 · 0%
04. 다항식의 나눗셈
0/2 · 0%
기초
0/5 · 0%
응용
0/5 · 0%
심화
0/3 · 0%

개념 카드는 읽은 만큼, 문제는 맞힌 만큼 올라갑니다. 이 기기에만 저장됩니다.

01다항식 정리하기와 덧셈·뺄셈

차수 순서로 줄을 세우면 동류항이 한눈에 보입니다.

내림차순과 오름차순

은 한 문자에 대해 가 높은 항부터 낮은 항 순으로 쓰는 , 반대로 낮은 항부터 쓰는 으로 정리합니다. 문자가 두 개 이상이면 어떤 문자에 대해 정리하는지 먼저 정하고, 나머지 문자는 숫자()처럼 취급합니다.

정리 방법	$x^{2} + 3x - 2x^{3} + 1$ 을 정리하면
x에 대한	$-2x^{3} + x^{2} + 3x + 1$
x에 대한	$1 + 3x + x^{2} - 2x^{3}$

Check

$2x^{2}y + xy^{2} - 3x + y$ 를 x에 대해 으로 정리하면 $2y\cdot x^{2} + (y^{2} - 3)\cdot x + y$ 입니다. $x^{2}$ 의 는 2y, x 의 계수는 $y^{2} - 3$ , 은 y 로 봅니다.

덧셈과 뺄셈은 동류항끼리

의 덧셈과 뺄셈은 (문자와 가 같은 항)끼리 를 더하거나 빼는 것입니다. 뺄셈은 빼는 식의 모든 항의 를 바꿔서 더하는 것과 같습니다. 괄호를 풀 때 두 번째 항 이후의 부호를 빠뜨리는 실수가 가장 흔합니다.

예제

$A = 2x^{2} + 3x - 1, B = x^{2} - x + 4$ 일 때 A − B 를 구해봅시다.

1
$A - B = (2x^{2} + 3x - 1) - (x^{2} - x + 4)$
2
괄호를 풀면 $2x^{2} + 3x - 1 - x^{2} + x - 4 (B$ 의 가 모두 바뀜)
3
끼리 묶기: $(2 - 1)x^{2} + (3 + 1)x + (-1 - 4)$
4
$= x^{2} + 4x - 5$

02다항식의 곱셈과 곱셈공식

분배법칙으로 전부 곱한 뒤, 자주 나오는 꼴은 공식으로 외웁니다.

분배법칙과 지수법칙

의 곱셈은 으로 한 항씩 빠짐없이 곱한 뒤 을 정리합니다. 같은 문자끼리 곱할 때는 $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ 을 씁니다. 항이 3개와 3개면 곱은 9개 — 빠진 것이 없는지 개수로 확인하세요.

예제

$(x + 3)(x^{2} - 2x + 1)$ 을 해봅시다.

1
$x \times (x^{2} - 2x + 1) = x^{3} - 2x^{2} + x$
2
$3 \times (x^{2} - 2x + 1) = 3x^{2} - 6x + 3$
3
둘을 더하고 정리: $x^{3} + (-2 + 3)x^{2} + (1 - 6)x + 3$
4
$= x^{3} + x^{2} - 5x + 3$

곱셈공식 — 세제곱과 세 문자

중3에서 배운 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ 에 이어, 고1에서는 세제곱과 세 문자 공식을 추가합니다. 모두 으로 하면 나오는 결과이므로, 한 번은 직접 전개해 보고 외우세요. 특히 $(a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ 은 가운데 항이 서로 반대 라는 점이 핵심입니다.

공식	결과
$(a + b)^{3}$	$a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$
$(a - b)^{3}$	$a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}$
$(a + b + c)^{2}$	$a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca$
$(a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$	$a^{3} + b^{3}$
$(a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$	$a^{3} - b^{3}$

예제

$(x + 2)^{3}$ 을 해봅시다.

1
$(a + b)^{3}$ 공식에 a = x, b = 2 를
2
$x^{3} + 3\cdot x^{2}\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 2^{2} + 2^{3}$
3
$= x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8$

Check

$(x + 2)(x^{2} - 2x + 4)$ 는 a = x, b = 2 인 $a^{3} + b^{3}$ 꼴이므로 $x^{3} + 8$ 입니다. x = 2 를 넣어 확인하면 은 $4 \times (4 - 4 + 4) = 16$ , 은 8 + 8 = 16 으로 같습니다.

03곱셈공식의 변형

합과 곱만 알아도 제곱합·세제곱합을 구할 수 있습니다.

a + b 와 ab 로 나타내기

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ 를 $a^{2} + b^{2}$ 에 대해 정리하면 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab$ 입니다. 같은 방법으로 $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ 를 정리하면 $a^{3} + b^{3}$ 을 a + b 와 ab 만으로 쓸 수 있습니다. 문제에서 a + b 와 ab 의 값만 주어졌을 때 쓰는 핵심 기술입니다.

구하려는 식	변형 공식
$a^{2} + b^{2}$	$(a + b)^{2} - 2ab$
$a^{3} + b^{3}$	$(a + b)^{3} - 3ab(a + b)$
$a^{3} - b^{3}$	$(a - b)^{3} + 3ab(a - b)$
$a^{2} + b^{2} + c^{2}$	$(a + b + c)^{2} - 2(ab + bc + ca)$

예제

a + b = 3, ab = −2 일 때 $a^{3} + b^{3}$ 의 값을 구해봅시다.

1
$a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3ab(a + b)$
2
$= 3^{3} - 3 \times (-2) \times 3$
3
= 27 + 18 = 45

Check

$a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$ 로 풀어도 같습니다. $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = 9 + 4 = 13$ 이므로 $3 \times (13 + 2) = 45$ .

04다항식의 나눗셈

숫자 나눗셈처럼 몫과 나머지를 구합니다. 나머지의 차수는 나누는 식보다 낮아야 합니다.

몫과 나머지 — A = BQ + R

$17 = 5 \times 3 + 2$ 에서 나머지 2 는 5 보다 작아야 합니다. 도 같습니다. 다항식 A 를 다항식 $B(B \ne 0)$ 로 나눈 을 Q, 를 R 라 하면 항상 A = BQ + R 이고, 이때 R 의 는 B 의 차수보다 낮거나 R = 0 입니다.

A = BQ + R (R

의 차수

< B

의 차수, 또는

R = 0)

R = 0 이면 A 는 B 로 고 합니다. 으로 나누면 나머지는 , 으로 나누면 나머지는 일차 이하의 식입니다.

세로셈 절차

1
두 식을 모두 으로 정리합니다. 빠진 의 항은 0 으로 자리를 비워 둡니다.
2
나누어지는 식의 을 나누는 식의 최고차항으로 나눠 몫의 첫 항을 정합니다.
3
그 항을 나누는 식 전체에 곱해서 빼고, 다음 항을 내립니다.
4
남은 식의 차수가 나누는 식의 차수보다 낮아질 때까지 반복합니다. 마지막에 남은 식이 나머지입니다.

예제

$x^{3} + 2x^{2} - 5x + 3$ 을 x − 1 로 나눈 몫과 나머지를 구해봅시다.

세로셈의 줄	$x^{3}$	$x^{2}$	x
몫		$x^{2}$	+ 3x	− 2
나누어지는 식	$x^{3}$	$+ 2x^{2}$	− 5x	+ 3
빼기: $(x - 1) \times x^{2}$	$x^{3}$	$- x^{2}$
남은 식		$3x^{2}$	− 5x	+ 3
빼기: $(x - 1) \times 3x$		$3x^{2}$	− 3x
남은 식			− 2x	+ 3
빼기: $(x - 1) \times (-2)$			− 2x	+ 2
나머지				1

1
$x^{3} \div x = x^{2} \to$ 몫의 첫 항 $x^{2}. (x - 1)\cdot x^{2} = x^{3} - x^{2}$ 을 빼면 $3x^{2} - 5x + 3$
2
$3x^{2} \div x = 3x \to (x - 1)\cdot 3x = 3x^{2} - 3x$ 를 빼면 −2x + 3
3
$-2x \div x = -2 \to (x - 1)\cdot (-2) = -2x + 2$ 를 빼면 1. 가 0 이므로 끝
4
몫 $Q = x^{2} + 3x - 2$ , 나머지 R = 1. 확인: $(x - 1)(x^{2} + 3x - 2) + 1 = x^{3} + 2x^{2} - 5x + 3$

05레벨별로 풀어보기

개념을 확인했다면 아래 문제로 점검해 보세요. 답을 입력하고 채점하기를 누르면 결과가 나타납니다.

채점표

기초

0/5

응용

0/5

심화

0/3

기초동류항 정리, 공식 그대로 적용

문제 1

A = 2x^{2} + 3x - 1, B = x^{2} - x + 4

일 때, A + B 에서 x 의 를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

A = 3x^{2} - 2x + 5, B = x^{2} + 4x - 3

일 때, A − B 의 을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

(x + 3)(x^{2} - 2x + 1)

을 했을 때

x^{2}

의 를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

(x + 2)^{3}

을 했을 때

x^{2}

의 를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

(x + 2)(x^{2} - 2x + 4)

를 한 식에 x = 2 를 한 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

응용곱셈공식의 변형, 세로셈으로 나머지 구하기

문제 1

a + b = 5, ab = 6 일 때

a^{2} + b^{2}

의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

a + b = 2, ab = −3 일 때

a^{3} + b^{3}

의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

a + b + c = 4, ab + bc + ca = 5 일 때

a^{2} + b^{2} + c^{2}

의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 4

x^{3} - 4x^{2} + 6x - 1

을 x − 2 로 나눈 나머지를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 5

2x^{3} - 3x^{2} + 4x - 5

를

x^{2} + 1

로 나눈 나머지를 R(x) 라 할 때, R(x) 의 x 의 를 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

심화주어진 조건에서 필요한 값을 먼저 끌어내기

문제 1

x + y = 4, x^{2} + y^{2} = 10

일 때

x^{3} + y^{3}

의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 2

f(x) 를

x^{2} - x + 1

로 나눈 몫이 x + 2, 나머지가 3x − 1 일 때, f(2) 의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)

문제 3

x − y = 2, xy = 3 일 때

x^{3} - y^{3}

의 값을 구하시오.

기호:(sqrt, pi, <=, x^2 처럼 영문으로 써도 됩니다)