행렬, 수를 표로 묶어 계산하기

행렬, 행과 열

여러 개의 수를 직사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶은 것을 행렬이라 합니다. 가로줄을 행, 세로줄을 열이라 하고, 행이 m개, 열이 n개인 행렬을 $m \times n$ 행렬이라 합니다. 행과 열의 수가 같은 $n \times n$ 행렬은 정사각행렬입니다.

이 레슨에서는 행렬을 행 단위로 묶어 ((1, 2), (3, 4)) 처럼 씁니다. 첫 행이 (1, 2), 둘째 행이 (3, 4) 인 $2 \times 2$ 행렬이라는 뜻입니다.

성분 $a_{ij}$ 와 서로 같은 행렬

행렬을 이루는 각 수를 성분이라 하고, i행 j열의 성분을 $a_{ij}$ 또는 (i, j) 성분이라 합니다. 행 번호가 먼저, 열 번호가 나중입니다. 두 행렬 A, B가 같은 꼴(행·열의 수가 같음)이고 대응하는 성분이 모두 같을 때 A = B 라 합니다.

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   (1, 1) 성분끼리 비교: x = 5
2. 2
   (2, 2) 성분끼리 비교: y + 1 = 4 → y = 3

덧셈·뺄셈과 영행렬

같은 꼴의 두 행렬은 대응하는 성분끼리 더하거나 빼서 덧셈·뺄셈을 정의합니다. 꼴이 다르면 더할 수 없습니다. 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬 O 라 하고, 수의 0과 같은 역할을 합니다.

1. 1
   A + B = ((1 + 5, 2 + 0), (3 − 1, 4 + 2)) = ((6, 2), (2, 6))
2. 2
   A − B = ((1 − 5, 2 − 0), (3 + 1, 4 − 2)) = ((−4, 2), (4, 2))

실수배

행렬 A의 모든 성분에 실수 k를 곱한 행렬을 kA 라 합니다. 수의 곱셈과 비슷한 성질이 성립하므로, 2A − 3B 같은 식은 문자식처럼 정리한 뒤 성분을 계산해도 됩니다.

1. 1
   2A = ((2, −4), (0, 6))
2. 2
   2A − B = ((2 − 2, −4 − 1), (0 − 4, 6 + 1)) = ((0, −5), (−4, 7))

곱셈의 정의와 곱할 수 있는 조건

행렬의 곱 AB 의 (i, j) 성분은 A의 i행과 B의 j열의 성분을 차례로 곱해 더한 값입니다. 그래서 A의 열의 수와 B의 행의 수가 같아야 곱할 수 있고, 결과는 (A의 행 수$) \times (B$의 열 수) 행렬입니다.

1. 1
   (1, 1) 성분: 1행 (1, 2) 와 1열 $(5, 7) \to 1 \times 5 + 2 \times 7 = 19$
2. 2
   (1, 2) 성분: 1행 (1, 2) 와 2열 $(6, 8) \to 1 \times 6 + 2 \times 8 = 22$
3. 3
   (2, 1) 성분: 2행 (3, 4) 와 1열 $(5, 7) \to 3 \times 5 + 4 \times 7 = 43$
4. 4
   (2, 2) 성분: 2행 (3, 4) 와 2열 $(6, 8) \to 3 \times 6 + 4 \times 8 = 50$. 결과는 ((19, 22), (43, 50))

거듭제곱

정사각행렬 A에 대해 $A^{2} = AA, A^{3} = A^{2}A, \cdots$ 로 거듭제곱을 정의합니다. 자기 자신과 곱하려면 정사각행렬이어야 합니다. $A^{n}$ 을 직접 구하기 어려우면 $A^{2}, A^{3}$ 을 계산해 규칙을 찾습니다.

1. 1
   $A^{2} = ((1 \times 1 + 1 \times 0, 1 \times 1 + 1 \times 1), (0 \times 1 + 1 \times 0, 0 \times 1 + 1 \times 1)) = ((1, 2), (0, 1))$
2. 2
   $A^{3} = A^{2}A = ((1, 2 + 1), (0, 1)) = ((1, 3), (0, 1))$
3. 3
   (1, 2) 성분이 한 번 곱할 때마다 1씩 커지므로 $A^{n} = ((1, n), (0, 1))$

교환법칙은 성립하지 않는다

행렬의 곱셈에서는 일반적으로 $AB \ne BA$ 입니다. 결합법칙과 분배법칙은 성립하므로 식을 전개할 수는 있지만, AB 와 BA 를 하나로 합치면 안 됩니다.

1. 1
   $AB = ((1 \times 0 + 0 \times 0, 1 \times 1 + 0 \times 0), (0, 0)) = ((0, 1), (0, 0))$
2. 2
   $BA = ((0 \times 1 + 1 \times 0, 0 \times 0 + 1 \times 0), (0, 0)) = ((0, 0), (0, 0)) = O$
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   $AB \ne BA$. 또 BA = O 이지만 $A \ne O, B \ne O$ — 수와 달리 곱이 O 라고 해서 둘 중 하나가 O 인 것은 아닙니다.

단위행렬 E

왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는 대각선 성분이 모두 1이고 나머지가 0인 정사각행렬을 단위행렬 E 라 합니다. 어떤 정사각행렬 A와 곱해도 A가 그대로 나오므로 수의 1과 같은 역할을 하며, 이때는 교환법칙도 성립합니다.

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   $A^{2} = ((2 \times 2 + 1 \times 0, 2 \times 1 + 1 \times 1), (0 \times 2 + 1 \times 0, 0 \times 1 + 1 \times 1)) = ((4, 3), (0, 1))$
2. 2
   3A = ((6, 3), (0, 3)), 2E = ((2, 0), (0, 2))
3. 3
   $A^{2} - 3A + 2E = ((4 - 6 + 2, 3 - 3 + 0), (0 - 0 + 0, 1 - 3 + 2)) = ((0, 0), (0, 0)) = O$