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01항등식이란 무엇인가?

x에 어떤 값을 넣어도 성립하는 등식입니다.

방정식과 항등식

2x + 1 = 5 는 x = 2 일 때만 성립하는 방정식입니다. 반면 2(x + 1) = 2x + 2 는 x 에 어떤 값을 넣어도 성립합니다. 이렇게 모든 x 에 대해 성립하는 등식을 항등식이라고 합니다.

등식	성립하는 x	종류
2x + 1 = 5	x = 2 뿐	방정식
2(x + 1) = 2x + 2	모든 x	항등식
$(x + 1)^{2} = x^{2} + 2x + 1$	모든 x	항등식

문제에서 「x 에 대한 항등식」, 「모든 x 에 대하여 성립」, 「x 의 값에 관계없이 성립」 은 모두 같은 뜻입니다.

항등식의 성질

$ax^{2} + bx + c = 0$ 이 x 에 대한 항등식이면 a = b = c = 0 입니다. 계수가 하나라도 0 이 아니면 그 식은 특정 x 에서만 0 이 되기 때문입니다. 마찬가지로 두 다항식이 항등식으로 같으면 양변의 같은 차수 항의 계수가 각각 같습니다.

ax^{2} + bx + c = a'x^{2} + b'x + c'

가 항등식

\Leftrightarrow a = a', b = b', c = c'

Check

2x + 3 = ax + b 가 x 에 대한 항등식이면 x 의 계수끼리 a = 2, 상수항끼리 b = 3 입니다.