항등식과 나머지정리, 대입 한 번으로 알아내기

방정식과 항등식

2x + 1 = 5 는 x = 2 일 때만 성립하는 방정식입니다. 반면 2(x + 1) = 2x + 2 는 x 에 어떤 값을 넣어도 성립합니다. 이렇게 모든 x 에 대해 성립하는 등식을 항등식이라고 합니다.

문제에서 「x 에 대한 항등식」, 「모든 x 에 대하여 성립」, 「x 의 값에 관계없이 성립」 은 모두 같은 뜻입니다.

항등식의 성질

$ax^{2} + bx + c = 0$ 이 x 에 대한 항등식이면 a = b = c = 0 입니다. 계수가 하나라도 0 이 아니면 그 식은 특정 x 에서만 0 이 되기 때문입니다. 마찬가지로 두 다항식이 항등식으로 같으면 양변의 같은 차수 항의 계수가 각각 같습니다.

계수비교법

계수비교법은 양변을 전개해 내림차순으로 정리한 뒤, 같은 차수의 계수를 비교하는 방법입니다. 식이 전개하기 쉬울 때 좋습니다.

1. 1
   좌변 전개: $x^{2} + 3x + 2$
2. 2
   우변과 나란히 놓기: $x^{2} + 3x + 2 = x^{2} + ax + b$
3. 3
   x 의 계수끼리 a = 3, 상수항끼리 b = 2

수치대입법

수치대입법은 항등식이 모든 x 에서 성립한다는 점을 이용해, 계산이 간단해지는 x 의 값을 골라 대입하는 방법입니다. 괄호가 0 이 되는 값을 넣으면 미지수가 하나씩 사라집니다.

1. 1
   x = 1 대입: a·0 + b·2 = 3 + 1 → 2b = 4 → b = 2
2. 2
   x = −1 대입: a·(−2) + b·0 = −3 + 1 → −2a = −2 → a = 1
3. 3
   확인: 1·(x − 1) + 2·(x + 1) = 3x + 1 (모든 x 에서 성립)

어느 방법을 써도 답은 같습니다. 전개가 복잡하면 수치대입법, 대입할 특별한 값이 안 보이면 계수비교법을 고르세요.

나머지정리

다항식 f(x) 를 일차식 x − a 로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 R 라 하면 f(x) = (x − a)Q(x) + R 은 항등식입니다. 여기에 x = a 를 대입하면 (x − a) 가 0 이 되어 f(a) = R 만 남습니다. 이것이 나머지정리입니다.

1. 1
   나머지 = f(2)
2. 2
   = 4 + 6 − 2
3. 3
   = 8

x + 1 로 나눌 때는 x + 1 = x − (−1) 이므로 f(−1) 을 계산합니다. 2x − 1 로 나눌 때는 2x − 1 = 0 이 되는 $x = \dfrac{1}{2}$ 을 넣어 $f(\dfrac{1}{2})$ 을 계산합니다.

인수정리

나머지가 0 이면 f(x) = (x − a)Q(x) 이므로 x − a 는 f(x) 의 인수입니다. 따라서 $f(a) = 0 \Leftrightarrow x - a$ 는 f(x) 의 인수. 이것이 인수정리이며, 다음 레슨의 인수분해에서 핵심 도구가 됩니다.

이차식으로 나눈 나머지

이차식으로 나누면 나머지는 일차 이하, 즉 R(x) = ax + b 꼴입니다. f(x) = (x − 1)(x − 2)Q(x) + ax + b 는 항등식이므로 x = 1, x = 2 를 대입하면 f(1) = a + b, f(2) = 2a + b 가 되어 a, b 를 구할 수 있습니다. 「x − 1 로 나눈 나머지」가 곧 f(1) 이므로, 일차식으로 나눈 나머지 두 개만 알면 이차식으로 나눈 나머지를 알 수 있습니다.

조립제법의 방법

조립제법은 다항식을 x − a 로 나눌 때 계수만 적어서 몫과 나머지를 구하는 방법입니다. 세로셈과 결과는 같지만 훨씬 빠릅니다. 빠진 차수는 반드시 0 을 적어 자리를 채웁니다.

1. 1
   나누어지는 식의 계수를 내림차순으로 한 줄에 적고, 왼쪽에 a 를 적습니다.
2. 2
   첫 계수는 그대로 아래로 내립니다.
3. 3
   내린 수에 a 를 곱해 다음 계수 아래에 적고, 위아래를 더해 내립니다.
4. 4
   끝까지 반복하면 마지막 수가 나머지, 그 앞의 수들이 몫의 계수입니다. 몫의 차수는 원래 식보다 1 낮습니다.

마지막 수 0 이 나머지, 앞의 1, −3, 2 가 몫의 계수입니다. 몫은 $x^{2} - 3x + 2$, 나머지는 0. 나머지정리로 확인하면 f(1) = 1 − 4 + 5 − 2 = 0 으로 일치합니다.

나누는 식의 x 계수가 1이 아닐 때

2x − 1 처럼 x 의 계수가 1 이 아니면, $2x - 1 = 2(x - \dfrac{1}{2})$ 로 보고 $x - \dfrac{1}{2}$ 로 조립제법을 합니다. 그 결과 $f(x) = (x - \dfrac{1}{2})Q_{1}(x) + R$ 인데, 이를 $(2x - 1)\cdot (Q_{1}(x) \div 2) + R$ 로 다시 쓰면 됩니다. 즉 나머지는 그대로, 몫은 $Q_{1}(x)$ 를 2 로 나눈 것입니다.

1. 1
   $a = \dfrac{1}{2}$ 로 조립제법: 계수 2, 3, −4, 5 → 내려오는 수 2, 4, −2, 마지막 4
2. 2
   $x - \dfrac{1}{2}$ 로 나눈 몫 $Q_{1} = 2x^{2} + 4x - 2$, 나머지 4
3. 3
   2x − 1 로 나눈 몫은 $Q_{1} \div 2 = x^{2} + 2x - 1$, 나머지는 그대로 4
4. 4
   확인: $(2x - 1)(x^{2} + 2x - 1) + 4 = 2x^{3} + 3x^{2} - 4x + 5$