인수분해 심화, 복잡한 식을 곱으로 쪼개기

세제곱 공식

지난 레슨의 곱셈공식을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 인수분해 공식이 됩니다. $a^{3} + b^{3}, a^{3} - b^{3}$ 꼴은 일차식 × 이차식으로 나뉘며, 이차식의 가운데 항 부호가 일차식과 반대라는 것을 기억하세요.

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   $27 = 3^{3}$ 이므로 a = x, b = 3 인 $a^{3} + b^{3}$ 꼴
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   $(x + 3)(x^{2} - 3x + 9)$
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   확인: 전개하면 $x^{3} - 3x^{2} + 9x + 3x^{2} - 9x + 27 = x^{3} + 27$

세 문자 공식과 $x^{4} + x^{2} + 1$

$x^{4} + x^{2} + 1$ 은 $x^{2}$ 을 하나 더하고 빼서 $(x^{2} + 1)^{2} - x^{2}$ 으로 만든 뒤 $A^{2} - B^{2} = (A + B)(A - B)$ 를 쓴 결과입니다. 이 「더하고 빼기」 기술은 다음 섹션의 복이차식에서 다시 씁니다.

공통부분 치환

식 안에 같은 덩어리가 반복되면 그 덩어리를 치환(t 로 놓기)하여 t 에 대한 이차식으로 만들고, 인수분해한 뒤 마지막에 t 를 원래 식으로 되돌립니다. 되돌린 뒤 더 인수분해되는지 한 번 더 확인합니다.

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   x + 1 = t 로 치환: $t^{2} - 3t + 2$
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   = (t − 1)(t − 2)
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   t 를 되돌리면 (x + 1 − 1)(x + 1 − 2) = x(x − 1)

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 처럼 일차식 네 개의 곱은 상수항의 합이 같아지도록 둘씩 짝지어 전개하면 공통부분이 생깁니다. $(x + 1)(x + 4) = x^{2} + 5x + 4, (x + 2)(x + 3) = x^{2} + 5x + 6$ 이므로 $x^{2} + 5x = t$ 로 치환합니다.

복이차식 $x^{4} + ax^{2} + b$

$x^{4} + ax^{2} + b$ 처럼 짝수 차수만 있는 식을 복이차식이라 합니다. 먼저 $x^{2} = t$ 로 치환해 $t^{2} + at + b$ 가 인수분해되는지 봅니다. 안 되면 $x^{2}$ 항을 더하고 빼서 $A^{2} - B^{2}$ 꼴로 만듭니다.

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   $x^{2} = t: t^{2} - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4)$
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   $= (x^{2} - 1)(x^{2} - 4)$
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   = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2)

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   $x^{4} + 4 = (x^{2} + 2)^{2} - 4x^{2} (4x^{2}$ 을 더하고 뺌)
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   $= (x^{2} + 2)^{2} - (2x)^{2}$
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   $= (x^{2} + 2x + 2)(x^{2} - 2x + 2)$

한 문자에 대해 정리하기

문자가 두 개 이상이면 차수가 가장 낮은 문자(차수가 같으면 아무거나)에 대해 내림차순으로 정리합니다. 그러면 나머지 문자는 계수처럼 취급되어, 상수항 부분을 먼저 인수분해하고 전체를 이차식 인수분해(십자 곱셈)로 마무리할 수 있습니다.

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   차수가 가장 낮은 문자를 고르고 그 문자에 대해 내림차순 정리
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   상수항(그 문자가 없는 부분)을 먼저 인수분해
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   전체를 그 문자에 대한 이차식으로 보고 십자 곱셈
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   전개해서 원래 식과 같은지 확인

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   x, y 모두 2차이므로 x 에 대해 정리: $x^{2} + (y + 1)x - (2y^{2} - 5y + 2)$
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   상수항 부분: $2y^{2} - 5y + 2 = (2y - 1)(y - 2)$ 이므로 −(2y − 1)(y − 2)
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   곱이 −(2y − 1)(y − 2), 합이 y + 1 인 두 식: (2y − 1) 과 −(y − 2). 확인: (2y − 1) + (−y + 2) = y + 1
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   (x + 2y − 1)(x − y + 2)

f(a) = 0 인 a 찾기

지난 레슨의 인수정리: f(a) = 0 이면 x − a 는 f(x) 의 인수입니다. 삼차식 이상은 공식이 잘 안 먹히므로, f(a) = 0 이 되는 a 를 찾고 조립제법으로 나눠 차수를 낮춥니다. a 의 후보는 ±(상수항의 약수) ÷ (최고차항 계수의 약수) 중에서 찾습니다. 최고차항 계수가 1 이면 상수항의 약수만 보면 됩니다.

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   상수항의 약수 $\pm 1, \pm 2, \cdots$ 를 차례로 대입해 f(a) = 0 인 a 를 찾습니다.
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   조립제법으로 f(x) 를 x − a 로 나눠 몫 Q(x) 를 구합니다.
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   Q(x) 가 이차식이면 공식·십자 곱셈으로, 삼차 이상이면 다시 1 로 돌아갑니다.

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   f(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 → x − 1 이 인수
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   조립제법 (a = 1): 계수 1, −2, −5, 6 → 1, −1, −6, 나머지 0 → 몫 $x^{2} - x - 6$
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   $x^{2} - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$
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   f(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2)