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고1 공통수학1 · 다항식

인수분해 심화, 복잡한 식을 곱으로 쪼개기

중3 인수분해를 세제곱·네제곱, 문자 여러 개짜리 식으로 넓힙니다. 새 공식을 익히고, 치환·한 문자 정리·인수정리라는 세 가지 전략으로 복잡한 식을 인수분해하는 순서를 배웁니다.

↩ 이전 자료: 항등식과 나머지정리, 대입 한 번으로 알아내기

01인수분해 공식 — 고1에서 추가되는 것

곱셈공식을 거꾸로 읽으면 인수분해 공식입니다.

세제곱 공식

지난 레슨의 곱셈공식을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 인수분해 공식이 됩니다. a3+b3,a3−b3a^{3} + b^{3}, a^{3} - b^{3} 꼴은 일차식 × 이차식으로 나뉘며, 이차식의 가운데 항 부호가 일차식과 반대라는 것을 기억하세요.

식인수분해
a3+b3a^{3} + b^{3}(a+b)(a2−ab+b2)(a + b)(a^{2} - ab + b^{2})
a3−b3a^{3} - b^{3}(a−b)(a2+ab+b2)(a - b)(a^{2} + ab + b^{2})
a3+3a2b+3ab2+b3a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}(a+b)3(a + b)^{3}
a3−3a2b+3ab2−b3a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}(a−b)3(a - b)^{3}
예제

x3+27x^{3} + 27 을 인수분해해봅시다.

  1. 1
    27=3327 = 3^{3} 이므로 a = x, b = 3 인 a3+b3a^{3} + b^{3} 꼴
  2. 2
    (x+3)(x2−3x+9)(x + 3)(x^{2} - 3x + 9)
  3. 3
    확인: 전개하면 x3−3x2+9x+3x2−9x+27=x3+27x^{3} - 3x^{2} + 9x + 3x^{2} - 9x + 27 = x^{3} + 27

세 문자 공식과 x4+x2+1x^{4} + x^{2} + 1

식인수분해
a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca(a+b+c)2(a + b + c)^{2}
a3+b3+c3−3abca^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)(a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)
x4+x2+1x^{4} + x^{2} + 1(x2+x+1)(x2−x+1)(x^{2} + x + 1)(x^{2} - x + 1)

x4+x2+1x^{4} + x^{2} + 1 은 x2x^{2} 을 하나 더하고 빼서 (x2+1)2−x2(x^{2} + 1)^{2} - x^{2} 으로 만든 뒤 A2−B2=(A+B)(A−B)A^{2} - B^{2} = (A + B)(A - B) 를 쓴 결과입니다. 이 「더하고 빼기」 기술은 다음 섹션의 복이차식에서 다시 씁니다.

Check

a3+b3+c3−3abca^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc 공식에서 a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)a^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + b + c)^{2} - 2(ab + bc + ca) 로 바꾸면, a + b + c, ab + bc + ca, abc 세 값만으로 a3+b3+c3a^{3} + b^{3} + c^{3} 을 구할 수 있습니다:a3+b3+c3=3abc+(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca): a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc + (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca).