복소수, 제곱하면 음수가 되는 수

허수단위 i

실수는 제곱하면 항상 0 이상이므로 $x^{2} = -1$ 을 만족하는 실수는 없습니다. 그래서 제곱하면 −1 이 되는 새로운 수를 약속하고 허수단위 i 라고 씁니다.

i 는 어딘가에서 찾아낸 수가 아니라 풀리지 않던 문제를 풀기 위해 사람이 정한 약속입니다. 약속한 뒤에는 실수처럼 더하고 곱할 수 있습니다. 예를 들어 $(2i)^{2} = 4i^{2} = -4$ 이므로 2i 는 −4 의 제곱근 중 하나입니다.

중학교에서 제곱해서 음수가 되는 수는 없다고 배운 것과 말이 다르다고 느낄 수 있습니다. 그때는 다루는 수의 범위가 실수까지였기 때문이고, 실수 범위에서는 지금도 해가 없는 것이 맞습니다. 바뀐 것은 규칙이 아니라 수의 범위입니다.

i 를 곱하면 90° 회전

$i^{2} = -1$ 이라는 약속은 그림으로 보면 덜 억지스럽습니다. 수직선에서 어떤 수에 −1 을 곱하면 원점 반대쪽으로 건너가는데, 이것은 180° 회전과 같습니다. 그렇다면 두 번 곱해서 −1 이 되는 i 는 그 절반인 90° 회전인 셈입니다.

90° 를 돌려면 수가 직선을 벗어나 위로 올라가야 합니다. 그래서 i 를 받아들이는 순간 수가 사는 곳이 직선에서 평면으로 넓어집니다. 1 에서 i 를 네 번 곱하면 360° 를 돌아 제자리로 오는데, 이것이 04 에서 배울 $i^{4} = 1$ 입니다.

이 약속 덕분에 해가 없다고 미뤄 두었던 방정식을 모두 풀 수 있게 되었고, 회전과 파동을 다루는 전기·통신 계산도 훨씬 간단해졌습니다. 복소수를 평면 위의 점으로 보는 것은 교육과정에서 따로 다루지 않으니, 계산은 앞으로 배울 규칙대로 하고 이 그림은 i 가 왜 이상한 수가 아닌지 이해하는 데만 쓰세요.

복소수 a + bi

실수 a, b 에 대해 a + bi 꼴로 나타내는 수를 복소수라 하고, a 를 실수부, b 를 허수부라 합니다. 허수부는 i 를 뺀 b 만 말한다는 점에 주의하세요. b = 0 이면 실수, $b \ne 0$ 이면 허수, 특히 $a = 0, b \ne 0$ 이면 순허수입니다.

a 와 b 를 왜 굳이 + 로 이어 붙인 채 둘까요? 게임 캐릭터의 공격력 10 과 방어력 5 를 더해 '전투력 15' 라고 할 수 없는 것과 같습니다. 성질이 다른 값이라 하나로 합칠 수 없어서 공격력은 공격력끼리, 방어력은 방어력끼리 따로 적어 두고 묶어서 한 캐릭터로 봅니다. 실수부 a 와 허수부 b 도 끝까지 섞이지 않아서, 복소수의 덧셈·뺄셈도 실수부끼리·허수부끼리 따로 계산합니다.

복소수가 서로 같을 조건

a, b, c, d 가 실수일 때 $a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c$ 이고 b = d 입니다. 특히 $a + bi = 0 \Leftrightarrow a = 0$ 이고 b = 0. 복소수 등식 하나가 실수 등식 두 개로 쪼개지는 셈입니다. 이 조건은 a, b, c, d 가 실수일 때만 쓸 수 있습니다.

1. 1
   실수부끼리: x + 2 = 5 → x = 3
2. 2
   허수부끼리: y − 3 = 2 → y = 5

켤레복소수

복소수 z = a + bi 에서 허수부의 부호만 바꾼 a − bi 를 z 의 켤레복소수라 하고 z̄ (z 위에 줄)로 나타냅니다. 서로 켤레인 두 수를 더하면 허수부가 사라지고, 곱하면 $(a + bi)(a - bi) = a^{2} - b^{2}i^{2} = a^{2} + b^{2}$ 으로 역시 실수가 됩니다.

덧셈·뺄셈·곱셈

덧셈과 뺄셈은 실수부끼리, 허수부끼리 계산합니다. 곱셈은 i 를 문자처럼 분배법칙으로 전개한 뒤 $i^{2} = -1$ 로 바꿔 정리합니다. 결과는 항상 a + bi 꼴로 씁니다.

1. 1
   분배법칙: $6 - 2i + 3i - i^{2}$
2. 2
   $i^{2} = -1$ 이므로 $-i^{2} = 1: 6 + i + 1$
3. 3
   = 7 + i

나눗셈 — 분모를 실수로

분모에 허수가 있으면 분모의 켤레복소수를 분모·분자에 곱해 분모를 실수 $a^{2} + b^{2}$ 으로 만듭니다. 중3의 분모 유리화와 같은 아이디어입니다.

1. 1
   분모 1 − i 의 켤레복소수 1 + i 를 분모와 분자에 곱함
2. 2
   분자: $(3 + i)(1 + i) = 3 + 3i + i + i^{2} = 2 + 4i$
3. 3
   분모: $(1 - i)(1 + i) = 1 - i^{2} = 2$
4. 4
   $(2 + 4i) \div 2 = 1 + 2i$

i 의 거듭제곱

$i^{1} = i, i^{2} = -1, i^{3} = i^{2} \times i = -i, i^{4} = (i^{2})^{2} = 1$. 그다음 $i^{5} = i^{4} \times i = i$ 로 다시 처음으로 돌아옵니다. 즉 i 의 거듭제곱은 i, −1, −i, 1 이 주기 4 로 반복됩니다. $i^{n}$ 을 구할 때는 n 을 4 로 나눈 나머지만 보면 됩니다.

1. 1
   $100 = 4 \times 25 \to$ 나머지 $0 \to i^{100} = 1$
2. 2
   $50 = 4 \times 12 + 2 \to$ 나머지 $2 \to i^{50} = i^{2} = -1$

음수의 제곱근

a > 0 일 때 $\sqrt{-a} = \sqrt{a} i$ 로 약속합니다. 실제로 $(\sqrt{a} i)^{2} = a \times i^{2} = -a$ 이므로 $\sqrt{a} i$ 는 −a 의 제곱근입니다. −a 의 제곱근은 $\pm \sqrt{a} i$ 두 개이고, 그중 $\sqrt{-a}$ 는 $\sqrt{a} i$ 를 가리킵니다.

계산할 때는 먼저 $\sqrt{-a}$ 를 $\sqrt{a} i$ 로 바꾼 뒤 계산합니다. 양수에서 성립하던 $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ 를 음수에 그대로 쓰면 틀립니다.

1. 1
   $\sqrt{-4} = 2i, \sqrt{-9} = 3i$
2. 2
   $2i \times 3i = 6i^{2} = -6$
3. 3
   $\sqrt{4 \times 9} = 6$ 이 아니라 −6 이라는 점에 주의